第讲一元微分学应用一PPT学习教案

1、会计学1第讲一元微分学应用一第讲一元微分学应用一第六章 一元微积分的应用第一、二节 运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性第1页/共71页 . 1用导数在几何中的简单应 . 2应用导数在物理学中的简单 . )( ) 1 (法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy . )2(点处的交角求两条相交的曲线在交 . ) 1 (速度或变量的变化率求物体运动的速度、加 . )2(求变量间的相关变化率第2页/共71页 . 1用导数在几何中的简单应 . )( ) 1 (法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy : ) ,( )( , )( 00处

2、在点则曲线可微设函数yxMxfyxf , )( 0 xfk切线的斜率为 . ) 0)( ( , )(1 1 001xfxfkk法线的斜率为 ; )( 000 xxxfyy切线方程为 . )()(1 000 xxxfyy法线方程为 . ,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例第3页/共71页 . )2(点处的交角求两条相交的曲线在交 . 间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就 一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交Oxy121L2LM . ) ,( )( : , )( : 002211处相交于点设曲线yxMxfyLxfyL : 相应的切线方程分别为 .)( , )(10222

3、10111bxxfbxkybxxfbxky . 导数的问题第4页/共71页Oxy121L2LM )tan(tan12 1 2112kkkk , )()(1 )()(02010102xfxfxfxf . ) : ( )()(1 )()( arctan 02010201取锐角一般故xfxfxfxf第5页/共71页例1解解 . 1 的交角抛物线与求双曲线xyxyOxyxy 1xy M :联立方程组求交点 1xy xy . ) 1 , 1 ( ,M得交点为解此方程组 , 1 111211xxxxk , 2 1 21 )(112xxxxk . arctan3 21) 1(1 21) 1( arctan

4、故第6页/共71页例2解解 013 2yxxy上哪一点的切线与直线抛物线 ? 45 o的交角为 ) ,( 2处的切线的斜率为上任意一点抛物线yxxy , 2)(21xxk 013 的斜率为直线 yx . 3) 13(2xk , 得式由题意及曲线间交角公 , 1 231 23 xx )()(1 )()( tan02010102xfxfxfxf取锐角 . 161 ,41 ) 1 , 1( , )61 (23 和解之得所求点为即xx第7页/共71页例3解解 , 用立方抛物线和适当选取参数cA )()(cxbxaxAy 将两条射线 , )( )(1axaxky)( )(2xbbxky . , 上光滑地

5、连接起来在区间ba两曲线有是指在连接点处两条曲线“光滑连接” , . . 切线的斜率相同即在连接点处两曲线的共同的切线 . 同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函第8页/共71页 , ,有处和在点对立方抛物线而言bxax , )( cabaAyax . )( cbabAybx , 有接到含义由直线方程以及光滑连 , )(1kcabaA , )(2kcbabA(1) (2) )2() 1 (得 , )()( 2122kkacbcbabbcacabaA)3( . )( 221bakkA故第9页/共71页 : ) 1 ( (3) 值式中求代入将c ,)( )( 1221kcababakk 从而

6、. 2121kkkbkac . , , )( 2121221即可满足要求故取kkkbkacbakkA第10页/共71页 . 2应用导数在物理学中的简单 . ) 1 (速度或变量的变化率求物体运动的速度、加例4 , , 0其运动方程为发射炮弹发射角以初速度v , )cos(0tvx . 21 )sin(20tgtvy ; )1( 的运动方向炮弹在时刻求t . )2(的速度大小炮弹在时刻 t第11页/共71页解解Oxy0vvxvyv )1(时的方向炮弹在时刻 t 时的刻就是炮弹的轨迹线在时t ,而切线方向对应点上的切线方向 :反映可以通过切线的斜率来) )cos( ) 21 )sin( dd020

7、tvtgtvxy . cos sin 00vtgv , , 则轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记xt , )cos(0tvx . 21 )sin(20tgtvy第12页/共71页 , cos sin ddtan00vtgvxy , 轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻xt . ) ( cos sin arctan00取锐角vtgv : )2(分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t , ; 且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于yxvyvx . sindd , cosdd00tgvtyvvtxvyx ,时的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知t . sin22202022tgtgvv

8、vvvyxt第13页/共71页 . )2(求变量间的相关变化率 在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题. 第14页/共71页例5解解 . cm/ 0.01 ,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板 ? , cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为 , , 则面积为设圆板的半径为yx(1) .2xy . cm/ 0.01dd , , ,秒且的函数都是显然txtyx ?dd

9、 , cm 200 tyx时现要求 , (1) 得求导式两边关于将t , dd 2ddtxxty , 200 圆板面积的增加率为时故在x . )(cm/ 401. 0200 2dd秒ty第15页/共71页例6解解 8 , 8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为 5 ,/m 4 .3米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水 ?升的速度 . , 米水深为分钟后设注水ht , ,米水面的直径也是此时h . 12231 32hhhV容器内水的体积为 , . 412 , 4 ,3得求导对此式两边关于故有此外tthtV .16dd2hth , 5 其表面上升的速度为米时故当水深h . )(m/

10、204. 02516516dd2分th第16页/共71页例7解解 ,设一贴靠在铅直的墙上 5 米的梯子的下端以长度为 . m/ 3的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑 速度大小相同？yxO m 5txddtydd . 引入坐标系如图所示 . (m) (m), , yxt上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻 , , ,且有的函数均为显然tyx (1) . 5 , )(m/ 3dd222yxtx秒xy第17页/共71页 , 我们的问题是注意到速度的方向性 (2) . )(m/ 3dd秒ty , 5 222得求导两边关于对tyx , 0dd2dd2tyytxx . dd dd txyxty即有

11、 . , 3 3 , )(m/ 3dd )2( yxyxtx即得秒式及由. 25 ,5 222yxyx故而 . , 25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx , , 使的值求yxyxO m 5txddtyddxy第18页/共71页 下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形. :理和公式回忆一下几个重要的定 . )()()( abfaFbF式拉格朗日中值定理的公200000)(! 2)()()()( xxxfxxxfxfxf 泰勒公式 . )(o( )()(! 3)()(! 2)(303300200 xxxRxxxfxxxf 第19

12、页/共71页由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道: , )( 则内可导在区间若函数Ixf 0)( xf )(Ixf 0)( xf )(Ixf . )( 0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf第20页/共71页观察下面的图形, 你能得出什么结论？OxyOxy )( 不存在的点也可作为使得函数的导数xf . 函数单调性的分界点第21页/共71页综上所述, 可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 ,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 ,在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少. 提供了判断函数单调性的方法 )( 0

13、)( )( 不存在的点或的导数使得函数xfxfxf . 分界点可以作为函数单调性的第22页/共71页 . 82 的单调性讨论xxy) , 0()0 ,( :定义域282xy)4(222xx得令 , 0 y, 2 , 221xxxyy)2 , (20) , 2(02) , 0(2) , 2(00例1解第23页/共71页xxy82 ,函数综上所述 ) (2, , )2 ,( ；内单调增加在 . )2 , 0( , )0 , 2( 内单调减少在 列表可使问题明朗化第24页/共71页 . ) ,( sin 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx, ) ,( sin)( xxxxf令 , 01cos)(

14、, ) ,()( xxfCxf则, 0)( , )( 2 xfZkkx时且仅当. )( 仅在孤立点处为零即xf ) ,(sin)( xxxf从而. )( , 轴最多有一个交点与曲线就是说xxfy 例2证第25页/共71页 , )(sinlim)(lim xxxfxx而 , )(sinlim)(limxxxfxx. )( ,轴至少有一个交点与曲线由连续性xxfy , )( ,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述xxfy . ) ,( sin 内有且仅有一个实根在即方程 xx第26页/共71页满足条件：设 )( xf; 0)0( , ) ) , 0 ()( )1(fCxf, )( , ) , 0( )

15、( )2(),0(xfxf且内可导在. )()( :) ,0(xxfxg证明 , )()()( 2xxfxxfxg由于. ) , 0( 0)()(xxfxfx下一步你打算 怎么办?这个式子有点像？例3证 故关键在于证明 . 式形式拉格朗日中值定理的公第27页/共71页 , 0 )( , ), 0(上满足在由已知条件可知xtfx)0)()0()(xffxf得由 , 0)0( f, )(0 , )()(xxfxf ,)( ) ,0( xf又, )()( ,xxfxf从而 , 0)()()( 2xxfxxfxg于是. )( , ) ,0(xgx得的任意性故由 故有，拉格朗日中值定理条件第28页/共7

16、1页. )3( 是单调减少的数列证明：nnxnn, ) , 3 ,)( 1xxxfx令21ln1)(xxxxfx, 3 时当x, 0)( xf, )( ) , 3xf故 . )3( , :nxn由此可得利用函数处理数列例4证第29页/共71页函数的极值是个局部性的概念. . )( )( )U( 00的大小与内比较在xfxfx我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数第30页/共71页定理 . 0)( )( 00 xfxxf处取极值的必要条件是在点可微函数 . 实质上就是费马定理第31页/共71页 费 马Pier

17、re de Fermat (16011665) 费马，法国数学家. 出身于一个商人家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个生意兴隆的皮革商店. 费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作. ,1637写下了著名的算术时年费马研究丢番图的 : 费马大定理 . , , )2( zyxnzyxnnn的正整数不存在满足费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .第32页/共71页 . )( 0)( 0的驻点的点称为函数使xfxf . ,疑点驻点

18、只是函数的极值可由费马定理可知 .极值函数在驻点处不一定取 , 0 , 0 yx处在点 ,3xy 例如 . 0不是极值此时但xyyxO3xy 0 x第33页/共71页 . 点也是极值可疑点使得函数导数不存在的 ) ,( | ,xxy例如, 0 处不可导在点x . 0 恰好是它的极小点但xyxO | xy 0 x ?否确为极值点如何判断极值可疑点是极值可疑点 . 0)( :的点驻点 xf . 0)( 不存在点使 xf第34页/共71页Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点极小点极大点极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x不是极值点

19、Oxy0 x0 x0 x第35页/共71页极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点通过观察以上的图形你得到什么结论？第36页/共71页判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.第37页/共71页, )(U , )(U()( 00内可微在设xxCxf, )( 0的极值可疑点为点xfx; 0)( , )1(0 xfxx时若, 0)( , 0 xfxx时. )( , )( 00为极大值的极大点为则xfxfx; 0)( , )2(0 xfxx时若, 0)( , 0 xfxx时. )(

20、, )( 00为极小值的极小点为则xfxfx(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理第38页/共71页证 : , )(U0由已知条件可知xx , , , ; , , 0000上在时上在时xxxxxxxx . )( 条件满足拉格朗日中值定理函数xf, ,0时于是xx 使 , ) ,(01xx)()()(010 xxfxfxf使 , ) ,(02xx)()()(020 xxfxfxf, 0时xx 第39页/共71页由定理中 (1) 的条件, 得, 0时xx , )()(0 xfxf, 0时xx , )()(0 xfxfOxy0 x. )( , )( 00为极大值的极大点为故xfxfx由

21、定理中(2) 的条件, 得, 0时xx , )()(0 xfxf, 0时xx , )()(0 xfxfOxy0 x. )( , )( 00为极小值的极小点为故xfxfx第40页/共71页 )U( , 00内就是在是否为函数的极值点判别点xx . )( )( 0的大小与比较函数值xfxf泰勒公式泰勒公式 也体现了想想还有哪一个公式中 ?比较关系的与 )( )(0 xfxf第41页/共71页 , ) 1( )U( )( 0则阶导数内有直到在设nxxf . )()(! )()(000)(xRxxkxfxfnnkkk)( )(! 2)()()()( 200000 xRxxxfxxxfxfxfn 即.

22、, 0会是驻点如果 x :回忆泰勒公式看这一部分)(o)(! 2)()()(202000 xxxxxfxfxf 第42页/共71页)(o)(! 2)()()(202000 xxxxxfxfxf , , 则在如果函数的二阶导数存对于驻点 0别点处的二阶导数符号来判可利用函数在点 x . 0是否为极值点x第43页/共71页, , )(U()( 00有二阶导数在设xxCxf则即的驻点为且 , ) 0)( ( )( 00 xfxfx; )( , 0)( )1(00的极大点为时xfxxf ; )( , 0)( )2(00的极小点为时xfxxf . )( , 0)( )3(00的极值点是否为不能判定时xf

23、xxf 此时应另找其他方法此时应另找其他方法.什么方法？ 高阶的泰勒展开式？定理第44页/共71页. ) 1()( 322的极值求 xxf, ) ,( )(xxf的定义域：3312) 1)(1( 342) 1(32)(xxxxxxf, 0 , 0)( xxf得驻点令, )( , 1 , 1 不存在时又xfxx . 1 , 0 , 1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性, 判别极值:例5解第45页/共71页xyy) 1 ,(1)0 , 1(0) 1 , 0(1) , 1 (极小极小极大0)2( f0)5 . 0( f0)5 . 0( f0)2( f的极小点为： )(xf; 1 , 1xx极小值为

24、：. 0) 1 ( , 0) 1(ff的极大点为： )(xf; 0 x极大值为：. 1)0(f自己总结求极值的步骤0第46页/共71页. 12)( 3的极值求xxxf, ) ,( )(xxf的定义域：123)(2xxf)2)(2(3xx0)( xf令, 2 , 2 xx驻点, 6)( xxf 又, 012)2( f, 16)2( , 2 fx极大值为极大点故, 012)2( f, 16)2( , 2fx极小值为极小点例6解第47页/共71页. 1) 1()( 32的极值求 xxf, ) ,( )(xxf的定义域：22) 1( 6)(xxxf得驻点令 , 0)( xf, 1 , 0 ,1xxx1

25、)(5) 1( 6)( 22 xxxf又, 06)0( f, )( 0 的极小点是xfx . 0)0( f极小值, 0) 1( , 0) 1 ( ff而怎么办？例7解第48页/共71页首先看看函数的图形.Oxy11由图形可知:1x不是函数的极值点.问题在于如何进行解析描述.我们再看一下泰勒公式：200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(! 3)(3300 xRxxxf 第49页/共71页 , 0)( , 0)( , 000存在时且为驻点 xfxfx)()(0 xfxf)()(! 3)(3300 xRxxxf , )()( , 00此时左右两边反号在显然xxfxf

26、. 0处不取极值函数在 x , , )(U()( 00有三阶导数在设xxCxf 0)( , 0)( , )( 000 xfxfxfx的驻点为且. 0不是函数的极值点则 x就是说：第50页/共71页)3(5 24)( 2xxxf, 48) 1( f, 48) 1 ( f . 1 , 1 不是函数的极值点故xx综上所述, , )( 0的极小点是xfx . 0)0( f极小值 1 )( 处在该题也可通过讨论函数xxf . 左右两边的单调性来做第51页/共71页, , )(U()( 00阶导数处有在设nxxCxf, 0)()()( 0)1(00 xfxfxfn若 , 0)(0)(则xfn ; )( ,

27、 ) 1 (0的极值点不是为奇数时当xfxn )( , )2(0：的极值点是为偶数时当xfxn ; , 0)(00)(为极小点时xxfn . , 0)(00)(为极大点时xxfn定理第52页/共71页在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑在一定条件下, 怎样才能使用料最少、费用最省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映到数学上就是最优化问题. 优化技术应用价值很大第53页/共71页 怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？第54页/共71页回忆以前学过的知识： , ) , ()( baCxf若上必在则 , )( baxf取到它的最大值和最小值 .内在如果 ) ,( )( baxf取得其最

28、大值和最小值 , 则这些最值一定是函数的极值 . )(xf的最大值和最小值可能在区间的端点, , 处取得bxax也可能在区间内部取得.第55页/共71页求一个连续函数在 ,ba上的最大值和最小值 , 只要先求出函数内的在 ) ,( )(baxf一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值 , 其中最大者就是函数在区间 )(xf. , 上的最小值区间ba最小者就是函数, ,上的最大值ba在 )(xf第56页/共71页, )( ) 1 ( ,baxf若 , )( 为最大值则bf. )(为最小值af, )( )2( ,baxf若 , )( 为最大值则a

29、f. )(为最小值bf, ) , ()( )3(baCxf若 ) ,( 内只有唯一点一个在ba极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 .第57页/共71页 , I 0 x可疑点上只有唯一的一个极值在区间 I )( 上在区间函数而由实际问题可以断定xf )( )(0的最必为函数值，则点小存在最大xfx . )(值点小大 ) I ()( ，且在处理实际问题时：若Cxf第58页/共71页 . 2 , 2 52)( 24上的最大和最小值在求xxxfxxxf44)(3) 1)(1(4xxx , 0)( xf令:得极值可疑点)( , 1 , 0 , 1驻点xxx计算函数值:; 4) 1 ( ,

30、 5)0( , 4) 1(fff , 13)2( , 13)2(ff( 端点值 )例8解第59页/共71页 : 2 , 2 )( 上的最大值和最小值为在故xf13 13 ,13 , 4 , 5 , 4maxmaxy4 13 ,13 , 4 , 5 , 4minminy . 2 , 2 : xx最大值点为. 1 , 1 : xx最小值点为 没有什么新的东西第60页/共71页用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求它的容积一定, 问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省 ?设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h . 用料最省即指容器的表面积 A 最小. 2 2hrrA故hrV22rVhrVr22得令 , 022dd 2rVrrA, 3Vr 应用题例8解第61页/共71页 , ,3的最小点为所以AVr , 3的唯一极值可疑点是因为AVr又 A 的最小值一定存在 ,故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径 , 3Vr . 3可使用料最省高Vh . 06)42(dd 33 3 2