中国海洋大学寿险精算讲义

1、中国海洋大学寿险精算讲义第五章净责任准备金net premium reserves中国海洋大学寿险精算讲义本章结构n净责任准备金（受益责任准备金）（net premium reserves）n净责任准备金的定义和原理(definition and principle of net premium reserves)n用前瞻法确定常见险种的净责任准备金(use prospective formula to evaluate net premium reserves)n净责任准备金的其他公式(other formulas for net premium reserves)n完全离散场合责任准备金的

2、递推公式(recursion formulas for fully discrete reserves)n半连续责任准备金的确定(reserves on a semi-continuous basis)n一年缴费若干次责任准备金的确定(reserves based on true mthly premiums )n分数期责任准备金的确定 (reserves at fractional durations)n责任准备金的计算基数（reserves formulas in terms of commutation function）n修正责任准备金（modified reserves）中国海洋大学

3、寿险精算讲义本章中英文单词对照n净责任准备金 （受益责任准备金）n前瞻亏损n保费差公式n缴清保费公式n过去法公式n未来法公式nNet premium reserve (Benefit reserves)nProspective lossnPremium-difference formulanPaid-up insurance formulanRetrospective formulanProspective formula中国海洋大学寿险精算讲义1、责任准备金产生的原因0t未来责任未来收入w未来责任未来收入差值责任准备金中国海洋大学寿险精算讲义1、责任准备金产生原因n净保费厘定原则：净均衡原则

4、，保证了以保单发行日为参照点保险公司的未来保费收入现时值和未来保险赔付的现时值相等（at the date of policy issue,there is equivalence between two acturial present value,that is , equivalence between future benefit acturial present value and future net premiums acturial present value,PVFB=PVFP ）。n但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。(af

5、ter a period of time,however,there will no longer be an equivalence between the two acturial present value, for the insurer,usually PVFBPVFP )中国海洋大学寿险精算讲义2、净责任准备金的定义和原理n定义：n保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。实质n责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现时值之差(net premium reserves are the difference between the tw

6、o actuarial present value,this is a liability that should be recognized in any financial statement of an insurer,it is also an asset for the insured )中国海洋大学寿险精算讲义3、责任准备金图解0t未来责任未来收入w未来责任未来收入差值责任准备金仍在保障范围内的被保险人数差值责任准备金对每位仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现值中国海洋大学寿险精算讲义4、责任准备金的分类n按覆盖责任分：n净责任准备金（受益责任准备金）（net premium re

7、serves）n费用责任准备金(expense reserves)n修正责任准备金(modified reserves)n按被保险人缴费、保险人赔付的方式分：n完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费）n完全离散责任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴费）n半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）中国海洋大学寿险精算讲义5、用前瞻法确定净责任准备金（以终身寿险为例）n前瞻亏损（prospective loss）n其中 UtULvpa（ 完 全 连 续 ）( ) 0ux tx t uUtf upu 是保单签发 年后被保险人的剩余寿命中国海洋大学寿险精算讲义5、用前瞻法确定净责任准备金（以完全

8、连续终身寿险为例）n前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金（前瞻亏损的期望也就是未来责任精算现值与未来收入精算现值之差）n用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法()()UtxtUx tx tV AELE vPE aAPa前瞻法公式、未来法公式中国海洋大学寿险精算讲义6、前瞻亏损现值方差的计算2222222()()()(1)()()(1)()(1)()()(1)()(1)uuxxtxuuxxtuxxx tx tx tx txP AP ALvP A avP AP AVar LVarvP AVar vP AAAAAA中国海洋大学寿险精算讲义n已知：n利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在未来任意时刻t

9、的净责任准备金及前瞻损失的方差0.04,0.06中国海洋大学寿险精算讲义22220.04,0.060.4,0.25,10,()0.040.4,10()()0()()10.25xxxxx txx txtxx txx txtx tx tAAaP AAAaaV AAP AaP AVarLAA中国海洋大学寿险精算讲义n已知n利率按6计算n求：100,0100 xlxx3535(1)()(2)() ,0,10,20,60(3)() ,0,10,20,60ttP AV AtVarLt中国海洋大学寿险精算讲义353535653535356503535353535(1)1001/651/65,06510.25

10、865112.7333()0.02xttttttlxptptAvpdtaAaAP Aa 中国海洋大学寿险精算讲义35353535222353535(65)35652 (65)235()()()()1111656511652tttttttttttV AAP AaP AVarLAAeAatteAt中国海洋大学寿险精算讲义00.00000.1187100.05770.1001200.12890.1174300.22710.1073400.36190.0861500.55080.0508600.82140.009735()tV A()tVarLt中国海洋大学寿险精算讲义1000()1001000 ()

11、 10.50.03 txxx tifV AP Ashow a， 中国海洋大学寿险精算讲义solutions()()(1)()1 ()1()1 0.122.22()0.030.0105txx txx tx txx txx ttxx txV AAP A aaP A aP AaV AaP A 中国海洋大学寿险精算讲义: 1:()()1()()2txx txx ttxx tP AP AuAAuV AP A如果，且，试用 表示中国海洋大学寿险精算讲义: 1 1:1 1:1: 1: 1:()()()11,1()()11(1)211txxx tx tx tx tx tx tx txtxx tx ttxx t

12、x tx tx tx txx ttxx txx tx txx txx tx txx txxP AP AAAuP AAAAAAAE AAE AuAAuAAAV AAP A aAAAAAAAAAAA 11112x tx tuuA中国海洋大学寿险精算讲义7、前瞻法应用的推广完全连续场合完全离散场合中国海洋大学寿险精算讲义（1）终身寿险，终身缴费()()txx txx tkxx kxx kfullycontinuousV AAP A afullydiscreteVAPa中国海洋大学寿险精算讲义（2）n年定期寿险，n年缴费111:111:(),()0,0,x t n tx nx t n ttx nx k

13、 n kx nx k n kkx nfullycontinuousAP AatnV AtnfullydiscreteAP aknVkn中国海洋大学寿险精算讲义（3）n年生存寿险，n年缴费 1 1 1: 1 1 1:(),()1,1,x t n tx nx t n ttx nx k n kx nx k n kkx nfullycontinuousAP AatnV AtnfullydiscreteAP aknVkn中国海洋大学寿险精算讲义（4）n年两全保险，n年缴费:(),()1,(),1,x t n tx nx t n ttx nx k n kx nx k n kkx nfullycontinu

14、ousAP AatnV AtnfullydiscreteAP AaknVkn中国海洋大学寿险精算讲义（5）h次缴费终身寿险:(),(),x thxhx t h ttxx tx khxx k h kkxx kfullycontinuousAP A athV AAthfullydiscreteAP akhVAkh中国海洋大学寿险精算讲义（6） h次缴费n年两全保险:(),(),1,1,hx t n tx nx t h thtx nx t n thx k n kx nx k h khkx nx k n kfullycontinuousAP AathnV AAhtntnfullydiscreteAPa

15、khnVAhknkn 中国海洋大学寿险精算讲义（7） h次缴费n年定期保险11:11:1:11:(),(),0,0,hx t n tx nx t h thtx nx t n thx k n kx nx k h khkx nx k n kfullycontinuousAP AathnV AAhtntnfullydiscreteAPakhnVAhknkn 中国海洋大学寿险精算讲义（8）m年延期、m年缴费的终身生存年金:(),(),(),x txmtmx t mttxmx txkxmkmxk mkkxmxkfullycontinuousaPaatmVaatmfullydiscreteaPakmVaa

16、km中国海洋大学寿险精算讲义n设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿命K的概率函数为n该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6%。根据净均衡保费原则确定：（1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。（2）在净均衡保费场合，确定在各年期末责任准备金。（3）如果不使用净均衡原则，求使得保单签发时保险人未来损失变量为正的概率不超过1/4的最低保费01 0,1,2,34kqk中国海洋大学寿险精算讲义例5. 6答案n（1）趸缴保费场合n（2）期缴保费场合n（3）参照时刻0123责任准备金00.890.920.94参照时刻0123责任准备金00.180.380.577中国海洋大学寿险精算讲义例5.

17、6提示（趸缴保费场合）002030 P r() 10 411 412 413 4KkLkvAkvAkvAkv保 单 签 发 时40123P r() 10 311 312 3AKkLkvkvkv签 发 一 年 后 中国海洋大学寿险精算讲义例5.6提示（期缴净保费场合）012233 Pr() 10 411 412 413 4KkLkvPakvPakvPak保 单 签 发 时44112233 Pr() 10 311 312 3vPaKkLkvPakvPakvPa签 发 一 年 后 中国海洋大学寿险精算讲义n（3）01100001P r(0)4ln(1)0(1)01lnln111 P r(0)P r(

18、)ln441ln11 p=0.458lnkkhLppppppdLvLvkddddvppdhLkhqvhppdv求 使 得的 最 低 保 费，令，即由 题 意 可 知 ， 满 足 这 一 条 件 的 最 大 整 数中国海洋大学寿险精算讲义n例：82岁签发的一份4年期完全离散式，保额为1000的定期保险，被保险人生存至第二年末，给出下列条件：n（1）n（2）该保单均衡净保费120n（3）n试计算保单签发二年后保险公司未来损失变量现值的方差0i 84850.12 0.13qq中国海洋大学寿险精算讲义12121222228484851000120(01)010001201000 120 1880110

19、001201000 120 276020 120240Pr(0)0.12 Pr(1)0.13 0.880.1144 Pr(2)1 0.120.1144JJLVaJJLVaJLVaJLaJqJp qJ ，当时当时当时，0.7656中国海洋大学寿险精算讲义Pr(J=0)=0.12Pr(J=1)=0.1144Pr(J=2)=0.76562L=8802L=7602L=-240E(2L)=8.8,var(2L)=203026.56中国海洋大学寿险精算讲义8、责任准备金的其他公式n（1）保费差公式（premium-difference formula）n责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。n（2）

20、缴清保险公式（paid-up insurance formula）n责任准备金等于部分受益的精算现值。n（3）后顾方法公式（retrospective method）n责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulated cost of insurance）之差。中国海洋大学寿险精算讲义（1） （premium-difference formula）保费差公式推导n以n年两全保险为例:()()()()()tx nx t n tx nx t n tx t n tx nx t n tx t n tx t n tx nx t n tkx nx k n kx nx k n kV AAP

21、AaAP AaaP AP AaVPPa中国海洋大学寿险精算讲义（2） （paid-up insurance formula）缴清保费公式推导n以完全连续n年两全保险为例:()()()1()1()1tx nx t n tx nx t n tx nx t n tx t n tx t n tx nx t n tx t n tx nkx nxk nkxk nkV AAP AaP AaAAP AAP APVAP中国海洋大学寿险精算讲义（3） （retrospective method）后顾方法推导n以完全连续n年定期两全保险为例:1:1:1:()()()()()()()()sx nx s n sx nx

22、 s n stx sx s tx s t n s ttx sx nx s tx s t n s ttx ss tx s tx nx s tx nsx nx nx s tx s ts tx ntx sV AAP AaAEAP AaEaAP AaEV AV AP AaAV AE 中国海洋大学寿险精算讲义（3） （retrospective method）后顾方法推导:1:1:1:1:()()()0()0()()():(cos) x ksx nx nx s tx s ts tx ntx ssx nx nx tx tttxx nx nx ttxx ttxtxx nx kkx nxkxV AP AaAV

23、 AEsV AP AaAV AP AskEAkaccumulatedt of insuranceEPaAVPE特别地，当时，代入上述表达式其中对完全离散两全保险:kxnx ksk中国海洋大学寿险精算讲义9、应用前瞻公式和后顾公式的选择n在保障时间超出缴费期的场合，前瞻公式更为便利。n在尚未提供受益的递延期内，后顾公式更为方便。,()htxx tthV AA|:,()()txxmx tmtmVaPa s中国海洋大学寿险精算讲义n一种完全离散的保额为1000的3年期两全保险，已知：（1）i=6% (2) (3)n计算：年龄xx+1x+21000900810yl:31000332.51xP21:3:

24、31000()xxVVxl中国海洋大学寿险精算讲义n由后顾公式：:311:3:3:1122:3:3:2211:3:3221:3:31000 (1)10001000 ()1000 332.51 1.06 100280.5190010001000 ()1000 (1)(1)(1)610.891000()6xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl PidVP sklVP skl PilPididlVV10.89280.51330.38()请同学们自己用前瞻公式进行计算中国海洋大学寿险精算讲义n已知：n计算：20110:100.01212,0.01508,0.06942,0.1443xxxxPPP

25、V2010 xV中国海洋大学寿险精算讲义n后顾法2010201020:10101020:101010:10 11101:10:10:10:10:1020101020:10()11110.06942()0.1143(0.015080.01212)/ 0.069420.15694xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVP skVVPP sVP skVPssPVVPP s中国海洋大学寿险精算讲义11:112:2:2112: 1 1: 1211221:1 1 112:()1()()x hx hhhxx hx hhhxx hhhx hx hhxhxx hx hx hx hx hhhhhx hx

26、hxnnnxx nx nx nxP aAVEP aAVEaVVPPSSEAEPSaaVVPPPVVSPPPVVPVPP其 中1 1:nxx nx nPV中国海洋大学寿险精算讲义 11:10:1 11 1:0.08 0.024 0.20.0240.08 0.20.008nxxxx nxnxxnxx nx nx nx nVPPPPPPVPPV P已知，求解：中国海洋大学寿险精算讲义10、责任准备金其它变形公式11 ()1 ()111 ()11111111x tx txtxx tx tx tx txxx tx txxxxx txx tx tx tx txtxxxxAaAVAPaP aaaaaaPaa

27、aAAaaaAAAVaAA （）中国海洋大学寿险精算讲义n计算在哪些时刻有n已知：n求哪些时刻t01013.1216.11112.815.81212.415.31311.9214.81411.3614.3x tax ta txtxVV 中国海洋大学寿险精算讲义1x ttxxaVa t100.180.19110.20.21120.220.23130.250.26140.290.281x ttxxaVa 1x ttxxaVa 中国海洋大学寿险精算讲义n考虑向个50岁的人发行保额为1000的完全离散5年期的人寿保险，根据附录的生命表表6%的利率追踪这组保单的预期现金流量，并附得出净保费责任准备金的值

28、。 中国海洋大学寿险精算讲义保单年度保费收入a利息收入b 死亡赔付c 基金年末余额 剩余有效保单 责任准备金 1234515050:51000lP15050:510000.06lP501000d111abc51l中国海洋大学寿险精算讲义11、半连续责任准备金的确定n以h次缴费n年定期两全保险为例n其他险种场合可以同理推导。半连续责任准备金都可以转换为完全离散责任准备金的函数:1111:11:()()(),hthx nx t n tx nx t n thhx t n tx t n tx nx nx t n tUDDhhttx nx nV AAP AaiiAAPPaiVVth中国海洋大学寿险精算讲

29、义11、半连续责任准备金的确定11:11:1 1:1 1:()()()()()()txtxhhtxtxttx nx nhhttx nx ntttx nx nx nhhhtttx nx nx nUDDiVAViVAViVAViVAViVAVViVAVV假 设 下 ：中国海洋大学寿险精算讲义20:20:20:0.25,0.4,0.551.01,0.03, ()0.02()xxxx nx nAAAidP AV A已知死亡服从均匀分布，求中国海洋大学寿险精算讲义12 0:2 0:2 02 011:2 0:2 01()()x nx nxxxxxVAPAaAEiAA其 中12020:201 1120:20

30、:20:20:20120:20120:20120:201:20:20:2020:0.250.40.550.05 0.51.010.050.0505110.55150.030.02150.05()xxxxxxxxxxxxxxxxxxx nAAE AAAAAEAEAEAEAAadVA ，050.4990.5中国海洋大学寿险精算讲义12、recursive formulas for fully discrete reservesnWe consider a general insurance for (x) providing a death benefit of bj+1at the end of

31、 year of policy year j+1,purchased by net annual premiums j with j payable at the beginning of policy year j+1,the reserve h-1V at the end of policy year h-1 is given by1h-1|11100kkxhkkxhhkkxhkkVbVqVp 中国海洋大学寿险精算讲义12、 recursive formulas for fully discrete reserves11|1110011|111111111|11111111()()(kkh

32、xh kkx hhkkx hkkkkhx hh kkx hhhkkx hkkkkhx hhh kkx hhkkx hkkhx hhx hh kVbVqVpb VqbVqVpb VqbVqVpb VqVpbV 11|111111111|001111111111)()()()()(1)kkkx hhkkx hkkkkhx hhx hhkkx hh kkx hkkhx hhx hhhhhx hx hhhhhx hhx hqVpb VqVpbVqVpb VqVpVVb VqVpVVib qV p 1中国海洋大学寿险精算讲义12、完全离散责任准备金的递推公式n解释n 为第年死亡受益， 为第年初缴付保费。

33、则第h1年为每个现存的被保险人准备的责任准备金加上每个现存的被保险人缴付的保费积累到年末正好可以为每个在这一年内死亡的被保险人提供 元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备 元责任准备金。 1111()(1)hhhx hhx hVibqV p hbhhbhV中国海洋大学寿险精算讲义12、完全离散责任准备金的递推公式n解释n 称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，死亡受益超过责任准备金部分的数额。n该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值；二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值

34、。 1111111111111111111()()(1)(1)(1)() ()()hhhx hhx hhhx hhx hhhhx hhhhhx hhx hhhhhhhx hhhVbv qVv pbv qVv pVbV v qv VVib qVqViiVVVqbV 中国海洋大学寿险精算讲义12、完全离散责任准备金的递推公式1111hxhhxhxhhxVhVhVVh年期初准备金期 年末准备金1年期中准备金2中国海洋大学寿险精算讲义n已知：n计算：202023 1524 150.04 ,0.585 ,0.6iVV38p中国海洋大学寿险精算讲义2023 15382024 1539202023 1538

35、3824 153838380.585()0.6()(1)0.585 1.04(1)0.60.979VAprospectiveVAprospectiveViqpVppp中国海洋大学寿险精算讲义n对（x）签发的一份完全离散式终身寿险，保费均衡缴纳，已知：n（1）n （2）第h年期初责任准备金为200n（3）第h年净风险保额为1295n计算（h1）年末责任准备金 10.05,0.004,16.2x hxiqa 中国海洋大学寿险精算讲义11112001295200(1.05)1295(0.004)204.82()(1)()1295 204.82 1499.8211 16.2 0.04761499.82

36、21.1616.2200 20.16 178hxxhh xh xh xhxxx hhh xh xhxxxhhxxhxVpbVVVVpiqbVVbAdapbbaaV .84中国海洋大学寿险精算讲义nA deferred annuity issued to (x) for an annual income of 1commencing at age x+n is to be paid for by net annual premium during the dererred period,the benefit for death prior to age x+n is the net premi

37、um reserve.Assuming the death benefit is paid at the end of the year of death,determine the net annual premium and the net premium reserve at the end of year k for k less than or equal to n中国海洋大学寿险精算讲义solutions1111111101() 1hhhxhhhhhhhhhhhhhhbV qVVvVbVhnvVVhnvvVvVhnvv V由 题 意 知 ，（）对，进 行 累 加00122 (1)v

38、VhvvV11v V233 (2)hvvV22vV111 (3)nnnnnhvvVvV01100 ()()1nnnnnnxnnnxnxnnnkkkkkhnvvvvVvVvVav aavaashnavVVs类 似 地 对，进 行 累 加 ，中国海洋大学寿险精算讲义exercisen一份（x）的3年期两全保单，保额为3元，死亡给付在死亡年末，采用平衡原理决定均衡纯保费，保费在被保险人存活的每年期初缴纳，每年保费支付额为元，保单签发1、2年后的责任准备金分别为0.66、1.56，计算n（1）qx （2）qx+1n（3）var(0Lx)（4） var(1Lx)中国海洋大学寿险精算讲义13、一年缴m次保

39、费的责任准备金的确定 n完全离散终身寿险()()( )mmkxkxxkxVVm PV for an insurance with true mthly premiums=(the corresponding fully discrete reserve)+(a fully discrete reserve for term insurance over the premium paying period for a fraction, (m), of thethe reserve() true mthly premium for the plan of insurance)( )mxkxm P

40、Vextra reserve for lost premium中国海洋大学寿险精算讲义13、一年缴m次保费的责任准备金的确定()()()()()()()()()()()()( )( )1且1( )( )( )( )( )() ( )( )( )()mxxxxxxxxxxmmmmxxxxxmmmmmxxxxxxxxmxxxxxmxam amAPadaPaPdaaPm a Pm PaPm PAm Pm PaaPPdm PPmm dPP 中国海洋大学寿险精算讲义()()()()()()()()()()()()() ( )( )()( ( )( )( )1 ()( )mmmkxkxx kxx kx k

41、xx kmmxx kxx kmmxxx kx kmxxx kmxx kmxxx kmxkVVAPaAP aP aPaPPaaPmm dPaPm amm PdP am PV()()()( )( )xmmkxkxxkxmxkVVm PVm PVextra reserve for lost premium中国海洋大学寿险精算讲义14一年缴费m次的完全离散n年定期两全保险的责任准备金 n“损失保费”部分形成的额外责任准备金等于缴费期内每次缴纳 元纯保费的纯寿险完全离散责任准备金 的一部分，比例为 ()()1:( )hmhmhkkhkx nx nx nx hVVmPV()1:( )mhhkx nx hm

42、PVextra reserve for lost premium():mhx nP():mhx nP1:hkx hV( )m中国海洋大学寿险精算讲义15、分数期责任准备金n近似方法11(1) (),01(1)(1)(1)k skkkkkkVsVsVssVsVssunearned premium 中国海洋大学寿险精算讲义15、分数期责任准备金11111111111(1)(1)11(1)111(1)1(sk sxksx k ssx k skxxx kyx tsx k sxx kx kx ksx k sx kx ksk sxkx kkx kx kkx kkVibqpVyqs qUDDqqtqsqs qppsqsqvVs bqV psqbqV 假设下，根据责任准备金递推公式有11111)(1)(1)()(1)1(1)()(1)(1)kkx ksk sxkkkx kx kk sxkkkkkkiVpvVsViV s psqVsVsVsVsVs 中国海洋大学寿险精算讲义16、责任准备金的转