控制系统数学模型课件

1、控制系统数学模型第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数2.4 系统动态结构图2.5 自动控制系统的传递函数2.6 信号流图控制系统数学模型2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 微分方程微分方程 是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组 ，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输

2、出的微分方程。控制系统数学模型例例2.1 R-L-C 2.1 R-L-C 串联电路串联电路)()()()(tutRidttdiLtucr )(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()( )()()(22tudttduRCdttudLCccc 2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 控制系统数学模型)()(1ommmiixxfFxxKF 02xKFo oommixKxxfxxK21)()( :BAioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK 2121212211iooxKKKxKKfKKx

3、2112121)( 例例2.2 2.2 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 控制系统数学模型电磁力矩： 安培定律电枢反电势： 楞次定律电枢回路： 克希霍夫力矩平衡： 牛顿定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 例例2.3 2.3 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 控制系统数学模型电机时间常数电机传递系数 )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中间变量 i, Mm , Eb 可得

4、：2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 控制系统数学模型建立动态微分方程的步骤建立动态微分方程的步骤（1）根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模数学模型。型。2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方

5、程的一般方法 控制系统数学模型微分方程标准形式微分方程标准形式 (1)将与输入量有关的各项写在方程的右边； 与输出量有关的各项写在方程的左边。 (2)方程两边导数项均按降阶排列。其一般形式为其一般形式为imimmimmimononnonnonxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda11110111102.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 控制系统数学模型第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型 n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 n

6、2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统的传递函数n 2.6 信号流图控制系统数学模型2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）1 几种常见的非线性几种常见的非线性 控制系统数学模型2 2 线性化的方法线性化的方法（1 1）忽略弱非线性环节）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控

7、制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 控制系统数学模型0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) 设设 A(x0,y0)A(x0,y0)平衡点，平衡点，函数在平衡点处连续可微，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数展开成台劳级数忽略二次以上的各项，上式可以写成忽略二次以上的各项，上

8、式可以写成 其中其中这就是非线性元件的线性化数学模型这就是非线性元件的线性化数学模型202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdyk控制系统数学模型)(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令 有 例例 已知某装置的输入输出特性已知某装置的输入输出特性求小扰动线性化方程。求小扰动线性化方程。 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解解 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数)(sin000 xxxE 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微

9、分方程模型的线性化 控制系统数学模型rQShSdtdh1 hhhhdthdhhh 00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd 解解 在 处泰勒展开，取一次近似 0h代入原方程可得 例例 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程式中式中 S S 为液位容器的横截面积。若为液位容器的横截面积。若 h h 与与 Q Q 在其工作点附近在其工作点附近做微量变化，试导出做微量变化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 控制系统

10、数学模型SQhSdtdhr000 rQShhSdthd 120 在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 控制系统数学模型 如果一非线性元件输入输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1（3 3）平均斜率法）平均斜率法2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 控制系统数学模型 注意：注意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行

11、分析。0继电特性0饱和特性2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 控制系统数学模型n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 2.3 传递函数传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统的传递函数n 2.6 信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型控制系统数学模型1 拉普拉斯变换 2 传递函数3 典型环节的传递函数2.3 2.3 传递函数传递函数控制系统数学模型1 1 复数有关概念复数有关概念 （1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数复函数复函数 js )()(

12、)(sFsFsFyx 例例1 1 jssF 22)(（2 2）模、相角）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3 3）复数的共轭）复数的共轭 yxjFFsF )(（4 4）解析若）解析若F(s)F(s)在在 s s 点的各阶点的各阶 导数都存在，则导数都存在，则F(s)F(s)在在 s s 点解析。点解析。 模模相角相角 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（2 2）指数函数）指数函数atetf )( dtedteetfLtasstat 00)( as)(aseasa)t(s 1101101 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型2 2 拉氏变换的定义拉氏变

13、换的定义 0)()()(dtetfsFtfLts（1 1）阶跃函数）阶跃函数 )()(tfsF像像原像原像3 3 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换 0001)(tttf ssesdtetLstst110111100 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（3 3）正弦函数）正弦函数 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（1 1）线性性质）线

14、性性质4 4 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 00001221 nn-n-n-nnfsffsfssFstf0 0初条件下有：初条件下有： sFstfLnn 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型例例2 2 求求 ?)( tL 解解. . t1t tLtL1 例例3 3 求求 ?)cos( tL 解解. . tt nsi1cos tLtL nsi1cos 01ss101 221 ss22 ss1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（3 3）积分定理）积分定理 011

15、1-fssFsdttfL 零初始条件下有：零初始条件下有： sFsdttfL 1进一步有：进一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 个个例例4 4 求求 L Lt=? t=? 解解. . dttLtL10111 ttsss21s 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型例例5 5 求求解解. . dttt 220222111 ttsss?22 tL dttLtL2231s 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（4 4）实位移定理）实位移定理例例6 6解解. . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()(00sFe

16、tfLs F(s) ,at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 11 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（5 5）复位移定理）复位移定理 )()(AsFtfeLtA ate L teLt-5cos3 )t(eLt35cos2222155 sss-sse 例例7 7例例8 8例例9 9 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1 )(teLt155cos2 22215522 ssesas 11 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（6 6）初值定理）初值定理)(lim)(lim0sFstfst 21)(ssF 例例1010 ttf )

17、(lim)0(sFsfs 01lim2 sss1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型（7 7）终值定理）终值定理)(lim)(lim0sFstfst )(1)(bsasssF 例例1111 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例12120lim220 sss1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型5 5 用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程)( 1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L L变换变换0)0()0( yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系统微分方程系统微分方程L L-1-1变换变

18、换1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型1) 1) 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃）单位阶跃2) 2) 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t （3 3）单位斜坡）单位斜坡21 st（4 4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos)(22 ss1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6 6 拉氏变换小结拉氏变换小结控制系统数学模型（2 2）微分定理）微分定理3

19、) 3) L变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型4) 4) 拉氏反变换拉氏反变换 jjstdsesFjtf )(21)(（1 1）反演公式）反演公式（2

20、2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 已知已知，求求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa1111 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型cacacacannnn01)1(1)(. 5)5)用用L变换方法解线性常微分方程变换方法解线性常微分方程0 0 初条件初条件nm:L)().(0111sCasasasannnn )(.)(01110111sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm 011011)()(.)(asasabsbsbsC

21、nnnnmmmmttr nnsCsCsC 2211tnttneCeCeCsCLtc 21211)()(: : 特征根（极点）特征根（极点）i : : 相对于相对于 的的模态模态tie i :1 Lrbrbrbrbmmmm01)1(1)(. )().(0111sRbsbsbsbmmmm 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 设设)()(.)(21011nnnnnpspspsasasasA 0)( sAI. 当当 无重根时无重根时 niiin

22、npsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型342)(2 ssssF例例2 2 已知已知，求求?)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213121lim11 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)tteef(t)32121 3455)(22 sssssF例例3 3 已知已知，求求?)( tf解解. .34)2()34(22

23、 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型223)(2 ssssF例例4 4 已知已知，求求?)( tf解一解一. .jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11 jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12 tjtjejjejjf(t)1()1(2222 解二：解二：jsC-jsCj)-j)(s(ssF(s) 1111321 jtjttejejej )2()2(21 ttjejtsin4cos221 ttetsin2cos 22113 )(ssF(s)t etef(t)ttsin2c

24、os 22221112111 )(s)(ss221121 )(ss1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型0)()()(1 npspssAII. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11li

25、m!1lim! 11lim11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 11 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111mmpsC.F(s)p(s 11lim111212111 mm-m-mm)(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s)(s-pnmnmmms-p)(s-pCs-p)(s-pC1111 2111211)()1()(20mmmmpsCmpsCC.F(s)p(sdsd 111lim! 11m-mpsC.F(s)p(sd

26、sd 3112122)()2)(1(200mmmpsCmmC.F(s)p(sdsd 21221lim! 21m-mpsC.F(s)p(sdsd 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型)3()1(2)(2 sssssF例例5 5 已知已知，求求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 112211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(sss

27、Cs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换控制系统数学模型1 拉普拉斯变换 2 2 传递函数传递函数3 典型环节的传递函数2.3 2.3 传递函数传递函数控制系统数学模型)()()(sRsCsG )(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn 2 2 传递函数传递函数 1) 1) 定义定义: : 在零初始条件下，线性定常系统输出量在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。拉氏变换与输入量拉氏变换之比。微分方程一般形式：控制

28、系统数学模型)(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn )(.)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm )(.)(.01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 2 2 传递函数传递函数微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏变换拉氏变换：传递函数：传递函数：)asasasbsbsbs(abG(S)n1n1n1nm1m1m1m00 n1jjm1ii)p(s)z(sK控制系统数学模型 2) 2) 传递函数的性质传递函数的性质 (1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参

29、数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。第2章 自动控制系统的数学模型 2 2 传递函数传递函数控制系统数学模型 （1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。传递函数的局限性传递函数的局限性 2 2 传递函数传递函数控制系统数学模型 例例8 8 已知某系统在已知某系统在0 0初条件下的阶跃响应为：初条件下的阶跃响应为： 试求试求：（：（1 1） 系统的传递函数；系统的传递函数； （2 2） 系统的增益；系统的增益；

30、 （3 3） 系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态； （4 4） 画出对应的零极点图；画出对应的零极点图； （5 5） 求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应； （6 6） 求系统微分方程；求系统微分方程； （7 7） 当当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。时，求系统的响应。 解解. .（1 1） )4)(1()2(2)(1)()()()( ssssGssSCsRsCsG 2 2 传递函数传递函数)4)(1()2(2413111321)( ssssssssC控制系统数学模型1422

31、K ttee42141 41)4)(1()2(2)()(21111sCsCLsssLsGLtk324)2(2lim11 ssCstteessLtk41343241341132)( (2) (2) (4) (4)如图所示如图所示(3) (3) (5) (5) 341)2(2lim42 ssCs 2 2 传递函数传递函数控制系统数学模型)()(4542)4)(1()2(2)(2sRsCsssssssG rrcccLsRssCss4245:)()42()()45(12 (6) (6) 2 2 传递函数传递函数控制系统数学模型)(4)0()( 5)0()0()(:2sCcssCcscsCsL )4)(

32、1(43455145)2(2)(222 sssssssssssssC（7 7）)()2(2)0()0()5()()45(2sRsccssCss 2 2 传递函数传递函数控制系统数学模型344)5(lim11 ssCs4131113441)4)(1()5()(210 sssCsCssssC413134)(0 setcttttttreeeeetctctc 213134131321)()()(440其中初条件引起的自由响应部分其中初条件引起的自由响应部分311)5(lim42 ssCs 2 2 传递函数传递函数控制系统数学模型n 2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法

33、n 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 n2.3 2.3 传递函数传递函数n2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图n2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数n2.6 2.6 信号流图信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型 控制系统数学模型1 1 结构图的概念和组成结构图的概念和组成1) 概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。2) 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上

34、的信号处处相同。 2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型 (2)比较点： 综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点： 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。G(s)X(s)Y(s)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型 2 2 结构图的绘制结构图的绘制 例：绘制双T网络的结构图rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsususICCr画图时G

35、(s)R(s)C(s)从左向右列方程组)()()(sCsGsR2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型将上页方程改写如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型绘图绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。2.4 2.4

36、 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型 若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型 这个结构与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图 2.4 2.

37、4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型3 3 结构图的等效变换结构图的等效变换（1 1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG证明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型 (2)(2)并联并联)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsGsG证明：G(s)X(s)Y(s)X(

38、s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型(3)(3)反馈反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。用消去中间法来证明。G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)R(s)R(s)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型)()(1)()()()()()()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC 以后我们均采用(s)表示闭环传递函数

39、，负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子为前向通路传递函数。 单位负反馈时)(1)()(sGsGs2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型4 4 结构图等效变换方法结构图等效变换方法1) 三种典型结构可直接用公式2) 相邻综合点可互换位置3) 相邻引出点可互换位置注意注意: : 1) 不是典型结构不可直接用公式2) 引出点综合点相邻，不可互换位置2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H12.4 2.

40、4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型G2H1G1G3综合点移动综合点移动向同类移动向同类移动G1G2G3H1G12.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图控制系统数学模型G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1控制系统数学模型 n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数n 2.6 信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型控制系统数学模型2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自

41、动控制系统的传递函数1 系统的开环传递函数 2 闭环系统的传递函数3 闭环系统的偏差传递函数 控制系统数学模型 1 系统的开环传递函数 控制系统的典型结构: 前向通道传递函数 、 与反馈通道传递函数 的乘积称为系统的开环传递函数开环传递函数，相当于 )(1sG)(2sG)(sH)(/ )(sRsB)()()()()(21sHsGsGsRsB控制系统数学模型 2 闭环系统的传递函数 1) 1) 给定输入作用下的闭环传递函数给定输入作用下的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出系统输出 对输入对输入 的闭环传递函数的闭环传递函数为 易知 0)(sD)(sC)(sR)()()(1)()()(

42、)()(2121sHsGsGsGsGsRsCs)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssC 控制系统数学模型 2 闭环系统的传递函数 2) 2)扰动输入作用下扰动输入作用下的闭环传递函数的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出系统输出 对对扰动作用扰动作用 的闭环传递函数的闭环传递函数为 系统在扰动作用下的输出为 )(sC 0)(sR)(sD)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsDsCsD)()()()(1)()()()(212sDsHsGsGsGsDssCD控制系统数学模型 2 闭环系统的传递函数 3) 3)给定输入和扰动输入同时作

43、用下系统的总输出给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输出分量的代数和， 系统的总输出为)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsDsGsHsGsGsRsGsGsC控制系统数学模型 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 偏差偏差是指给定输入信号 与主反馈信号 之间的差值，用 表示，即 其拉氏变换为 研究各种输入作用下所引起的偏差变化规律时，常用偏差传递函数来表示。 )(tr)(tb)(te)()()(tbtrte)()()(sBsRsE控制系统数学模型 3 闭

44、环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 1) 1)给定输入作用下的偏差传递函数给定输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对给定作用下的闭环传递函数，简称闭环系统的偏差传递函数，用 表示，由得 0)(sD)(sE)(sR)(sE)()()()(11)()()(21sRsHsGsGsRssEE)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsE控制系统数学模型 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 2) 2)扰动输入作用下的偏差传递函数扰动输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对扰动作用下的闭环传递函数，简称扰动偏差传递函数，用 表示，由有 )(

45、sE0)(sR)(sD)(sDE)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsDsEsDE)()()()(1)()()()()(212sDsHsGsGsHsGsDssEDE控制系统数学模型 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 3) 3)给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差 根据线性系统的叠加原理，可求出系统在给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差为 不难发现，闭环传递函数都具有相同的分母，即这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这个分母多项式称为闭环系统的特征多项式闭环系统的特征多项式，而将称为闭环系统的特征方程。闭环特征方程的根称

46、为闭环系统的特征根或闭环系统的极点。)()()(1)()()()()()(1)()(21221sHsGsGsDsHsGsHsGsGsRsE)(1)()()(1321sGsGsGsGk控制系统数学模型 n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统的传递函数n 2.6 2.6 信号流图信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型控制系统数学模型 2.6 2.6 信号流图信号流图1 1 术语介绍术语介绍 1) 节点 结构图中所有的引出点，比较点称节点。 2)前向通路 从输

47、入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。 3)回路 起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。控制系统数学模型4)不接触回路 相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。2 2 梅逊公式梅逊公式 任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为nkkPP1 2.6 2.6 信号流图信号流图控制系统数学模型式中：n 为前向通路的条数 Pk为第k条前向通路增益 为系统特征式 =1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+fedcbaLLLLLL1k为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次。 2.6 2.6 信号流图信号流图控制系统数学模型梅逊公式梅逊公式 例例R-CR-CR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1)