高等数学ACH111软件外包课件

1、高等数学ACH111软件外包第十一章第十一章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区区 间间 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 高等数学ACH111软件外包第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 高等数学

2、ACH111软件外包1.引例引例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量1、分割、分割), 2 , 1(nisnLi 个个子子弧弧段段任任意意分分成成将将,),(iiis 任任取取.),(iiiisM .),(1 niiiisM .),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值个个子子弧弧段段的的长长度度表表示示第第isi 2、近似、近似3、求和、求和4、取极限、取极限0 is 一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念),(yx 高等数学ACH111软件外包,),(,),(,),(,.,.)

3、,(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并并作作和和作作乘乘积积点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设2.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L,0这和的极限存在这和的极限存在时时若当各小弧长的最大值若当各小弧长的最大值 .),(lim),(,),(,),(10 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf 即即记作记作第一类曲线积分第一类曲线积分积分或积分或上对弧长

4、的曲线上对弧长的曲线在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数高等数学ACH111软件外包.),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式1.推广推广曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf .),(),(.2 LdsyxfLyxf记记为为上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分在在闭闭曲曲线线函函数数曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 高等数学ACH111软件外包.),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 3

5、.存在条件：存在条件：.),(,),(存存在在弧弧长长的的曲曲线线积积分分对对上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf规定：规定：)(,)(21LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf ),(),(),(),(ABLBALdsyxfdsyxf第一类曲线积分与第一类曲线积分与L的方向无关的方向无关注意：注意：高等数学ACH111软件外包4. 性质性质szyxfd),() 1 ( （, 为常数)szyxfd),()2( 由 组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf( l 为曲线弧为曲线弧

6、 的长度的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(高等数学ACH111软件外包二、对弧长曲线积分的计算二、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(0)()(,)(),()(),(),(,),(2222 dtttttfdsyxfttttttytxLLyxfL，则则且且具具有有一一阶阶连连续续导导数数上上在在其其中中方方程程为为的的参参数数上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设0 基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分xyOxdydsd注意到

7、注意到 22)()(dydxsd tdtt)()(22 x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 高等数学ACH111软件外包注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc )()()()(),(),(22 dtttttfdsyxfL（3）如果方程为）如果方程为极坐标极坐标

8、形式形式:),()(: rrL则则sdyxfL ),()sin)(,cos)(rrfd)()(22rr高等数学ACH111软件外包(5)可利用区域对称与函数奇偶性化简一类曲线积分：可利用区域对称与函数奇偶性化简一类曲线积分： 为为偶偶函函数数关关于于若若为为奇奇函函数数关关于于若若则则轴轴对对称称关关于于设设分分段段光光滑滑曲曲线线一一类类曲曲线线积积分分)(,),(2)(, 0),(:,)(:1xyfdsyxfxyfdsyxfyxLLL(4)推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf0 y高等数学ACH111

9、软件外包例例1. 计算计算,dLsy其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B.)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL 高等数学ACH111软件外包例例2 2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3 3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzaya

10、xxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I)20 , 0(.,sin,cos:, 222 aazayaxdsyxzI的的一一段段其其中中求求练练习习)328(3a 高等数学ACH111软件外包例例4. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44高等数学ACH111软件外包例例5 5 . 0,22222zyxazyxdsxI为为圆圆周周其其中中

11、求求 解解由变量的对称性由变量的对称性, , 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球球面面大大圆圆周周长长 dsa)0 , 0(.sin,cos:,)( 22 aayaxLdsyxIL的的一一段段其其中中求求练练习习)(3a 高等数学ACH111软件外包三、几何与物理意义三、几何与物理意义,),()3(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()1( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()2(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面

12、面面面积积sL),(yxfz 高等数学ACH111软件外包 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念.),(lim),(10iniiiLsfdsyxf .),(lim),(10iniiiisfdszyxf 的的长长度度表表示示曲曲线线 LdsL 几何意义几何意义物理意义物理意义 质量质量小结小结对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算(参数方程，直角坐标系，极坐标系参数方程，直角坐标系，极坐标系)()()()(),(),()(),(),(:22 dtttttfdsyxfttytxLL.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积高等数学ACH111软件外包计算法计算法(将重积分化为累次积分将

13、重积分化为累次积分)二重积分的计算二重积分的计算.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf （1）直角坐标系下）直角坐标系下（直线穿刺，摆动扫描）（直线穿刺，摆动扫描）.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd,: D).()(21 r（2）极坐标系）极坐标系（射线穿刺，转动扫描）（射线穿刺，转动扫描） Ddyxf ),( （X型区域）型区域）垂直穿刺，左右摆动垂直穿刺，左右摆动 （Y型区域）型区域）水平穿刺，上下摆动水平穿刺，上下摆动高等数学ACH111软件外包利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重

14、积分的计算. 的的奇奇函函数数是是关关于于的的偶偶函函数数是是关关于于轴轴对对称称，则则：关关于于、且且设设xfxfdxdyyxfdxdyyxfyDDDDDDD0),(2),(,)112121xy 的的奇奇函函数数或或关关于于是是关关于于的的偶偶函函数数且且关关于于是是关关于于轴轴均均对对称称的的区区域域，则则：轴轴、是是关关于于设设yxfyxfdxdyyxfdxdyyxfyxDDDDDDD0),(4),()214321高等数学ACH111软件外包一一、选选择择题题: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(= =( ( ) ) ( (A A) ) 1010),(dxyxfdyx； ( (

15、B B) ) xdxyxfdy1010),(； ( (C C) ) 1010),(dxyxfdy； ( (D D) ) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设设D为为222ayx , ,当当 a( ( ) )时时, , Ddxdyyxa222. . ( (A A) ) 1 1 ； ( (B B) ) 323 ； ( (C C) ) 343； ( (D D) ) 321 . .测测 验验 题题DB高等数学ACH111软件外包 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B

16、)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 .AA高等数学ACH111软件外包BA高等数学ACH111软件外包 ( (A A) ) 101020zdzrdrdI；( (B B) ) 11020rzdzrdrdI； ( (C C) ) 11020rrdrdzdI； ( (D D) ) zzrdrddzI02010. .BD高等数学ACH111软件外包期末考题期末考题的的值值为为、二二重重积积分分 1221yxxdxdy分分应应为为在在柱柱坐坐标标下下化化为为三三次次积积则则