二阶与三阶行列式PPT学习教案

1、会计学1二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x第1页/共120页;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211

2、222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.第2页/共120页 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的矩阵：称列）的矩阵：)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶为为矩矩阵阵（称称表表达达式式 第3页/共120页11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabx

3、axa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式第4页/共120页 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD 第5页/共120页 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 第6页/共120页则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 第7页/共120页33323123

4、2221131211)6(339aaaaaaaaa列的矩阵列的矩阵行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)7(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（7 7）式称为矩阵（）式称为矩阵（6 6）所确定的）所确定的. .第8页/共120页323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .

5、.列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 第9页/共120页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线等法则对角线等法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa第10页/共120页对应的对应的称四阶方阵称四阶方阵 44434241343332312423222114131211a

6、aaaaaaaaaaaaaaaA44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA 表表达达式式使使用用类类似似沙沙路路法法则则？多多少少个个乘乘积积项项，能能不不能能四四阶阶行行列列式式展展开开后后共共有有为为四四阶阶行行列列式式，请请问问：第11页/共120页解解的的沙沙路路法法则则！个个乘乘积积项项；不不能能用用所所谓谓共共有有24!4 第12页/共120页第二章第二章 行列式行列式第二节第二节 n 阶行列式阶行列式式式一、余子式和代数余子一、余子式和代数余子的展开法则的展开法则二、行列式按行（列）二、行列式按行（列）三、小节、思考题三、小

7、节、思考题第13页/共120页n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义阶方阵阶方阵对任意对任意n,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA用用记记号号nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 相相联联系系表表示示一一个个与与矩矩阵阵 A,的数或表达式的数或表达式)det(AAA或或记记为为的的行行列列式式为为常常称称第14页/共120页1定义定义阶行列式阶行列式对对 nnnnjninijinjaaaaaaaaa111111在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和行和第第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做阶行列式叫做元素

8、元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，ijjiijMA 1记记叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija第15页/共120页例如对例如对,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA ,23M .23的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素 a注意：注意：只只与与该该元元素素所所处处位位置置一一个个元元素素的的代代数数余余子子式式多多少少无无关关！相相关关；而而与与该该元元素素等等于于亦亦即即仍仍有有代代数数余余子子式式仍

9、仍然然不不变变！，它它的的的的值值换换成成比比如如上上例例中中，即即便便把把3323aa2323MA 第16页/共120页,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 行列式，有行列式，有按照这个定义，对三阶按照这个定义，对三阶131312121111MaMaMa 131312121111

10、AaAaAa 上式推广后即得上式推广后即得第17页/共120页定理定理1 1 n n 阶行列式等于它的任一行（列）的各阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 nkikikininiiiiAaAaAaAa12211 ni, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 第18页/共120页列列展展开开：阶阶行行列列式式也也可可以以按按第第事事实实上上，jn nj, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa12211第19页/共120页

11、0532000140003202527102135 D例例2 计算行列式计算行列式解解0532000140003202527102135 D 53200140032021351252 第20页/共120页14325)10( .700)122(50 5320140325)2( 53200140032021351252 第21页/共120页例例3 3 计算计算上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211解解 =nnnnaaaaaaa000)1(333223221111 nnnnaaaaaa00022211211第22页/共120页nnnnaaaaaaaa000)1(44433

12、433112211 nnaaa2211 第23页/共120页例例 4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 第24页/共120页同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 第25页/共120页矩矩阵阵，有有同同理理，对对所所有有三三类类初初等等 ijijCR )()( iiCR )()(kCkRjiij11111 k 111111101111011 第26页/共120页 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的

13、计算化为低阶行列式计算的重要工具列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. nkikikininiiiiAaAaAaAaD12211. 2 ni, 2 , 1 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa12211的行、列！的行、列！建议挑选含零最多建议挑选含零最多在按行、按列展开时，在按行、按列展开时，. 3第27页/共120页第二章第二章 行列式行列式第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例二、应用举例三、小节、思考题三、小节、思考题第28页/共120页 行列式与它的转置行列式相等即，行列式与它的转置行列式相等即，行列式行列式 称为行列式称为行列式

14、的转置行列式的转置行列式. TAA记记 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112 Annaaa2211nnaaa21122121nnaaa,.AAT 第29页/共120页证明证明 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112纳纳法法证证明明，对对行行列列式式的的阶阶数数进进行行归归然然有有对对一一阶阶行行列列式式而而言言，显显成立；成立；1111aaT 行行展展开开，有有，按按第第一一时时结结论论成成立立，则则对对现现假假设设对对阶阶数数为为TAn1 1121211111nnAaAaAa ，按第一列展开，有，按第一列展开，有而对而对 A niiiiMa1111)

15、1(第30页/共120页 Annaaa2211nnaaa21122121nnaaaTnnTTAaAaAa1121211111 .1), 2, 1(11式式阶行列阶行列，且它们均为，且它们均为转置余子式转置余子式对应的对应的中的余子式中的余子式表示与行列式表示与行列式其中，其中， nniMAMiTTi于是，由归纳假设，知于是，由归纳假设，知), 2, 1(11niMMiTi 进而，得进而，得.AAT 证毕证毕 niTiiiMa1111)1(第31页/共120页说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成

16、立的对列也同样成立.性质性质3 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即式对应的行（列）相同，即同样用数学归纳法可证：同样用数学归纳法可证：性质性质2 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零. .第32页/共120页nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(21222222111

17、11211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如第33页/共120页nii ,21 ni ,21 ni ,21 nii 1ni 1 ni 1 或（对列），有或（对列），有.（列列）展展开开即即可可行行边边的的行行列列式式都都按按第第事事实实上上，只只要要对对等等号号两两i为为记成分块矩阵形式，即记成分块矩阵形式，即第34页/共120页 （行列式的（行列式的“初等变换初等变换”）若将初等行）若将初等行（列）变换用于（列）变换用于 n n 阶行列式：阶行列式：

18、行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. . nnnniniinaaaaaaaaa212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211 .行展开即得行展开即得按第按第事实上，等号两端同时事实上，等号两端同时i第35页/共120页（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数同一数 k 然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，对应的元素上去，行列式的值不变行列式的值不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111

19、11njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakc)()()()(1222221111111 k例如例如从等号右端从等号右端看，利用性看，利用性质质3、性质、性质4的（的（1）及性）及性质质2即得等号即得等号左端。左端。第36页/共120页 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式写成分块形式，则设行列式写成分块形式，则njiA ,1 njjicji ,1)1( nijicij ,1)1( nijcji ,1)1( Bnij ,1第37页/共120页,571571 266853.825825 3615675673612

20、66853例如，有例如，有某一行（列）元素全为零的某一行（列）元素全为零的行列式等于零行列式等于零对对 n 阶行列式及数阶行列式及数 k,有有 AkkAn 第38页/共120页nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 若有两行（列）元素对应成比例，则若有两行（列）元素对应成比例，则行列行列式等于零，即式等于零，即第39页/共120页计算行列式常用方法计算行列式常用方法：利用运算把行列式：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的

21、值或或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。)(krij例例1 计算计算4阶行列阶行列式式3351110243152113 D第40页/共120页7216011206480213133151120435121313351110243152113 D解解8200001080011202131151000108001120213172160648011202131 40820821 第41页/共120页性质性质5 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即）的对应元素的代数余子

22、式乘积之和等于零，即).(, 02211jiAaAaAajninjiji ,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jA第42页/共120页,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时所以当所以当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第43页/共120页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1ki

23、kiAAanjkjij当当当当 ;, 0,1kjkjAAaniikij当当当当第44页/共120页阶行列式阶行列式已知已知例例52445701033555680122244412111 mB.3424144544AAAAA 及及试试求求代代数数余余子子式式之之和和行展开，得行展开，得按行列式的第按行列式的第解解4)1(335554544434241mAAAAA ，即即得得式式作作乘乘积积之之和和，由由性性质质行行对对应应元元素素的的代代数数余余子子行行与与第第再再用用行行列列式式的的第第542第45页/共120页)2(0224444544434241 AAAAA两式，两式，、联立联立)2()1

24、()1(335554544434241mAAAAA )2(0224444544434241 AAAAA x4 y2 02435yxmyx即即解解得得. 81124544 myAA. 4434241 xAAA第46页/共120页性质性质6 6 设设 U U 是有如下分块形式的是有如下分块形式的 ( ( n + p n + p ) ) 阶阶矩阵：矩阵：BABDOABOCAUppnnppnn 推推论论是同阶方阵，则有是同阶方阵，则有若若BA,BAAB 矩阵乘积的行列矩阵乘积的行列式等于行列式的式等于行列式的乘积！乘积！第47页/共120页.1113cbabacacb 求求行行列列式式例例解解 将第二

25、列加到第一列，由性质将第二列加到第一列，由性质4、性质、性质2可得可得. 0111111)(111111 cbacbaccbabcbaacbacbabacacb二、应用举例二、应用举例第48页/共120页.4的的行行列列式式等等于于零零证证明明奇奇数数阶阶反反对对称称矩矩阵阵例例证明：证明：知，知，再由性质，再由性质知，知，又由性质，又由性质得得是奇数，则由是奇数，则由阶反对称矩阵，阶反对称矩阵，是是设设41,AAAAAAnnATTT 即得即得,)1(AAn AAn)1( 是奇数，故必有是奇数，故必有而而nAA 即即. 0 A第49页/共120页阶行列式阶行列式计算含字母计算含字母例例4511

26、11baaccbbacacbcbaA 解解1000211)1()1(2334 baaccbacbcbaArr按第按第4行行展开展开第50页/共120页1000211)1()1(2334 acaccbacbcbaArrbaaccbacbcba baaccbaaccbacbcbacc )(2)1()1(2131第51页/共120页baaccbaaccbacbcbacc )(2)1()1(2131cbabaccabccbcbarr2200)1()2(1213 cbabaccabccba22)( abccba3333 按第按第1列列展开展开.解解毕毕第52页/共120页. 3,261 AAOBAT其中

27、其中计算行列式计算行列式例例. 882221-1T3-1T1 AAAAAAAOBAT解：解：)AA1(11 AAI第53页/共120页 (行列式中行与列具有行列式中行与列具有同等的地位同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立也同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值行列式的行列式的6个性质个性质第54页/共120页思考题思考题1阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddc

28、cccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知第55页/共120页思考题思考题1解答解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 1、2、3、4行行分别提取公因分别提取公因子子 a、b、c、d（1）交换）交换1、2两列；两列；（2）交换）交换3、4两列；两列；（3）交换）交换2、3两列。两列。第56页/共120页dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第57页/共120页思考题思考题2阶行列式阶行列式设设nnnDn0010301

29、0021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 第58页/共120页思考题解答思考题解答解解 由由知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 nnDn00103010021321 第59页/共120页nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn )1(),3,2(1icniinjnj00003000020111112 第60页/共120页第二章第二章 行列式行列式第四节第四节 行列式的计算行列式的计算常常见见方方法法一一、行行

30、列列式式计计算算的的几几种种二、小节、思考题二、小节、思考题第61页/共120页：行列式计算的方法行列式计算的方法换换”的的、利利用用行行列列式式“初初等等变变1“降阶法。”“降阶法。”、2 “递推法。”“递推法。”、3“归纳法。”“归纳法。”、4“升阶法。”“升阶法。”质质”的的、利利用用行行列列式式“加加法法性性6“拆边法。”“拆边法。”、5 “分块矩阵法。”“分块矩阵法。”第62页/共120页求解行列式求解行列式例例19333333333233331 D到其余各列得到其余各列得列元素乘列元素乘将行列式的第将行列式的第解解1-39333333333233331 D6300030003100

31、302 “降阶法”之例“降阶法”之例第63页/共120页6300030003100302 行展开，有行展开，有将此行列式按第三行该将此行列式按第三行该612)1(333 D!666)1()2(3 第64页/共120页例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解法解法1 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2“初初等等变变换换法法”之之例例第65页/共120页 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第第1行

32、的行的 (-1)倍分别加到倍分别加到其余各行！其余各行！第66页/共120页阶行列式阶行列式计算计算例例n3xyxyxyaaaaxaDn 000000000之例之例“递推法”“递推法”列展开，列展开，按第按第将将解解nDnyxxyxyaxDDnnn 11)1(可可得得11 nnayxD第67页/共120页整整理理得得11 nnnayxDD221 nnnayxDD112ayxDD 再相加，得再相加，得后，后，个式子两边分别同乘以个式子两边分别同乘以将上述将上述22,11 nxxxn22111 nnnnnayxxayayDxD xx )( 2nx2)( nx所以所以而而,111xaaD )(221

33、1 nnnnnnyxxyyxaxD) 另解：按第一行展开。第68页/共120页例例2 2（续）（续） 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD “升阶法”之例“升阶法”之例解法解法2倍分倍分行的行的新的第新的第增加一行一列后，用增加一行一列后，用)1(1 可得可得别加到其余各行上去，别加到其余各行上去，第69页/共120页 1001nnabbabbDbababb 01011bababbbanbba 0000)1(列上去，列上去，倍加到新的第倍加到新的第时，用每一列的时，用每一列的当当1)(1baba 1)( )1( nbabna.,上上述述答答案案也也符符合合时时当当ba

34、 第70页/共120页 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(之例之例“归纳法”“归纳法”第71页/共120页，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 提提出出，就就有有因因

35、子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第), 2()(11nixxi 则得则得行为止行为止倍，一直进行到第倍，一直进行到第减去上一行的减去上一行的，从最后一行起，每行，从最后一行起，每行那么，对那么，对,21xDn第72页/共120页)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第73页/共120页阶行列式阶行列式计算下列计算下列例例n5之例之例“分块矩阵法”“分块矩阵法”aaaA11 列，即得列，即得换到第换到第列依次列依次行，再将

36、第行，再将第行依次换到第行依次换到第将第将第解解22nnaaaaA11 第74页/共120页性质性质利用分块矩阵行列式的利用分块矩阵行列式的BABOOAppkk 即得即得aaaaaaaaaA 111122)1( naa另解：另解：1.按第一行展开；按第一行展开；2.初等变换。初等变换。第75页/共120页阶行列式阶行列式计算下列计算下列例例n6之例之例“拆边法”“拆边法”7257257257 nD列列拆拆成成两两组组数数的的和和，得得将将第第解解1第76页/共120页7257257257 nD7257257252 7257257055 第77页/共120页7257257252 nD725725

37、7055 列展开，得列展开，得对后一行列式，按第对后一行列式，按第加到下一行上去加到下一行上去）倍）倍行起，每一行的（行起，每一行的（对前一个行列式，从第对前一个行列式，从第1;11 第78页/共120页20522052052 nD1725772575 n152 nnD略略）即即可可解解得得再再用用“递递推推法法”（此此处处nnnnnnD552525221221 第79页/共120页即即21107 nnnDDDnnnnnnDDDDDD2)5(2)5( 25122211 nnnDD251 递推可得递推可得nnnnnnD552525221221 另解：第80页/共120页注意：注意：几几种种方方法

38、法。方方法法，往往往往要要综综合合使使用用不不会会孤孤立立地地只只使使用用一一种种一一般般解解题题过过程程中中，大大都都二、小结二、小结常见的就这几种，还有常见的就这几种，还有行列式的解题方法中，行列式的解题方法中，.诸诸多多性性质质来来计计算算行行列列式式的的但但一一般般要要会会利利用用行行列列式式“定定义义法法”等等等等子子”法法、包包括括原原始始的的技技巧巧较较高高的的所所谓谓“析析因因第81页/共120页等于多少？等于多少？）（，列式列式阶行阶行，则，则，式式阶行列阶行列且且维列向量，维列向量，都是都是，若若211233221132121321444 nm第82页/共120页解解)(

39、,21123 21231123, 23211321, 32211321, nm 第83页/共120页思考题思考题2求下列方程的根求下列方程的根0781241221101168134112111113232 xxxxxx第84页/共120页思考题思考题2解答解答0781241221101168134112111113232 xxxxxx性性质质，于于是是想想到到要要用用行行列列式式的的加加法法列列元元素素不不同同，故故而而第第注注意意到到两两个个行行列列式式只只有有3解解第85页/共120页3232327681234121211011178124122110116813411211111xxxx

40、xxxxx 0781241221101168134112111113232 xxxxxx即化为即化为第86页/共120页即即323232181141121111178124122110116813411211111xxxxxxxxx 范德蒙德行列式范德蒙德行列式0)1)(2)(1)(21)(11)(12( xxx大下标减去大下标减去小下标元素小下标元素于是，得到于是，得到121 xxx或或或或第87页/共120页第二章第二章 行列式行列式第五节第五节 行列式的应用行列式的应用公式公式一、伴随矩阵及逆矩阵一、伴随矩阵及逆矩阵用用二、克拉默法则及其应二、克拉默法则及其应四四、小小结结、思思考考题题

41、的方程组的重要定理的方程组的重要定理于方程个数于方程个数三、关于未知数个数等三、关于未知数个数等第88页/共120页定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.也记作也记作 adjA.A一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式注意下标注意下标TijnnnnnnAAAAAAAAAAA212221212111 第89页/共120页定理定理1. IAAAAA 证明证明 ,ijaA 设设则则 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA2122212121112

42、12222111211第90页/共120页 AA. IA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1. IA nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOO故故第91页/共120页时，也有时，也有事实上，当事实上，当0 A1 nAA)4(章章后后证证明明学学完完第第推推论论时，有时，有当当阶矩阵阶矩阵对对0, AAn1 nAA证明证明两边取行列式，得两边取行列式，得对对IAAA nnAIAIAAAAA .,命命题题得得证证等等式式最最两

43、两端端同同除除以以 A.证毕证毕. IAAAAA 即即第92页/共120页定理定理2 2 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明证明必要性必要性，若，若 可逆，可逆，A.11IAAA 使使即即有有, 11 IAA故故且可顺便得到且可顺便得到所以所以. 0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 11 AA第93页/共120页IAAAAA , IAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕。证毕。，可得，可得同理，由同理，由IAAAAA .)(1AAA .1 AAA由由时时充分性，当充分性，当,0 A第94页/共120页, 1

44、 IBA显然显然, 0 A故故,1存在存在因而因而 A于是于是BIB BAA1 111 AIAABA证毕证毕 .,1 ABIBAIABA则则或或且且为为方方阵阵若若推论推论证明证明.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA .为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义第95页/共120页,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩阵阵求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩阵阵B

45、A例例 1 1第96页/共120页010430321 0143 4 , 0 .A可逆可逆所以所以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得代数余子式的符号不能丢代数余子式的符号不能丢可得可得由由,331212321 A第97页/共120页 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故第98页/共120页.)3()2()1(AA列式列式除以原矩阵的行除以原矩阵的行；到到对角线元调换符号

46、后得对角线元调换符号后得将副将副对调主对角线元；对调主对角线元；即即 .543222的逆矩阵的逆矩阵阶矩阵阶矩阵求求例例 A可逆，且可逆，且知知由由解解AA022 511 A412 A321 A222 A所所以以 24352211221221111AAAAAAAA.解解毕毕说说明明：的的阶阶矩矩阵阵的的求求逆逆，有有所所谓谓对对2,“两调一除”法“两调一除”法第99页/共120页试求试求阶方阵，且阶方阵，且是是设矩阵设矩阵例例, 033 mAA12 AAA解解mAmAAAA 13122即得即得233)2()2()2(mmAmAm .解解毕毕,1AAA ,1 nAA,mA AkkA3 23331

47、321211311)2(1)2()2()2(22mmmmmAmmAmmAmAAAAA 另另第100页/共120页 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.第101页/共120页定理定理 3 如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabx

48、axaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 第102页/共120页.,332211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1第103页/共120页证明证明 njnnjn

49、nnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n第104页/共120页,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj ,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 2.,332211DDxDDxDDxDDxnn 第105页/共120页由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故.,332211DDxDDxDDxDDxnn 也是方程组的也是方程组的 解解. 1逆否命题逆否命题 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的解，则它的系数行列式必为零. . 1第106页/共120页齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 300022112222