平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示

1、1e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a 1 12 2思思考考：一一个个平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量e e 、 e e 与与该该平平面面 内内的的任任一一向向量量 a a之之间间的的关关系系. .1e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1 122 +aee 1 11 12 22 2这这就就是是说说平平面面内内任任一一向向量量a a都都可可以以表表示示成成 e e + + e e 的的形形式式一、平面向量基本定理：一、

2、平面向量基本定理： 1 12 2 这这里里不不共共线线的的向向量量e e 、 e e 叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组基基底底. . 1 12 21 12 21 11 12 22 2 如如果果e e 、 e e 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 a a = = e e + + e e（1）同一个平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN

3、 NaE E思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ 21（可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE 思考?0)3(2211，则有什么结论，则有什么结论若若ee ?)4(21221121，则有什么结论，则有什么结论若若eeeea 变式变式:e:e1 1,e,e2 2不共线不共线,AB=2e,AB=2e1 1+ke+ke2 2,CB=e,CB=e1 1+3e+3e2 2

4、, ,若若A,B,CA,B,C三点共线三点共线, ,求求k k的值。的值。)1800( 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 与与 反向反向abOABabOAa0 Bbb AOBab则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作ab90 与与 垂直垂直，abOAB ab注意注意: :在两向量的夹在两向量的夹角定义中角定义中, ,两向量必两向量必须是须是同起点同起点的的 与与 同向同向abOABaba二、向量的夹角二、向量的夹角的的夹夹角角为为和和中中正正练练BCABABC,: 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时

5、，会为我们研究问题带来方便基底时，会为我们研究问题带来方便 1 12 21 11 12 22 21 12 2一一个个平平面面向向量量用用一一组组基基底底e e , ,e e 表表示示成成 = = e e + + e e的的形形式式，我我们们称称它它为为向向量量的的分分解解。当当e e , ,e e 互互相相垂垂直直时时，就就称称为为向向量量的的正正交交分分解解。 在直角坐标系内，取两个坐标轴上的单位向量在直角坐标系内，取两个坐标轴上的单位向量 为一组基底为一组基底,任作一个向量任作一个向量 ,由平面向量由平面向量的基本定理得，有且只有一对实数的基本定理得，有且只有一对实数 x, y，使得，使得

6、 ，我们把，我们把(x,y)叫做向量叫做向量 的（直角）的（直角）坐标，记作坐标，记作 。式子。式子 叫做叫做向量向量 的坐标表示的坐标表示.j j, ,i ij jy yi ix xa aa ay y) )( (x x, ,a a y y) )( (x x, ,a a a a显然显然( (0 0, ,0 0) )0 0( (0 0, ,1 1) ), ,j j( (1 1, ,0 0) ), ,i ixoya aj ji ia a与与 相等的向量的坐标也是相等的向量的坐标也是( (x,yx,y) )三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示A AOxyaA(x, y)a1 1点点A A的坐标与向量

7、的坐标与向量 a a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同概念理解概念理解在平面直角坐标系内，在平面直角坐标系内， 每一个平面向量都可以每一个平面向量都可以用一有序实数对用一有序实数对唯一唯一表示表示!2以以原点原点O为起点为起点作作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定j ji i解：由图可知解：由图可知例例2 如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、b 、c 、d ，并，并求它们的坐标求它们的坐标AA2A1jiAAAAa3221 )3 , 2( a同理，同理，)3 , 2(32 jib)3, 2(32 jic)3, 2(32

8、 jid 课堂小结课堂小结: :一、平面向量基本定理：一、平面向量基本定理： 1 12 21 12 21 11 12 22 2 如如果果e e 、 e e 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 a a = = e e + + e e二、向量的夹角二、向量的夹角三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示在平面直角坐标系内，在平面直角坐标系内， 每一个平面向量都可以每一个平面向量都可以用一有序实数对用一有序实数对唯一唯一表示表示!两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的例例3. .设不共线，点设不共线，点P在在AB上，上，求证：求证： OB、OAR, 1O