数学分析函数的导数(3)课件

1、数学分析函数的导数(3)3.4 3.4 导数的计算导数的计算( (隐、参隐、参) ) 20081117数学分析函数的导数(3)一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xfy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化时隐函数不易显化或不能显化时, 如何求导如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.数学分析函数的导数(3)例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyee

2、xy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求求导导方方程程两两边边对对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 数学分析函数的导数(3)例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求求导导方方程程两两边边对对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy

3、. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.数学分析函数的导数(3)例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy数学分析函数的导数(3)二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数

4、的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu数学分析函数的导数(3)例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设数学分析函数的导数(3)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导

5、导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 数学分析函数的导数(3)一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 数学分析函数的导数(3)三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参

6、数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t数学分析函数的导数(3),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)( ,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx数学分析函数的导数(3),)()(二阶可导二阶可导若函

7、数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即数学分析函数的导数(3)例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax数学分析函数的导数(3).),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即数学分析函数的导数(3)例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,

8、cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt数学分析函数的导数(3)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000

9、)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 数学分析函数的导数(3)例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdttdtd )tan(数学分析函数的导数(3)四、

10、相关变化率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?数学分析函数的导数(3)例例9 9解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为分分米米其其速速率率为为上上升升

11、米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为分后分后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140分分米米 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500数学分析函数的导数(3)例例1010解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量

12、流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小小时时米米 dtdV小小时时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率060,20米米时时当当 h4000m数学分析函数的导数(3)五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导按隐函数的求导 法则求导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两