【数学】四川省2021年理科数学卷文档版

1、精品word可编辑资料- - - - - - - - - - - - -2021 年一般高等学校招生全国统一考试（四川）理科第 22 页，共 13 页- - - - - - - - - -1. 设集合 a= x/ x+ 1 x -2 0, 集合b = x/ 1 x 3，就 ab =a.x/-1x3 b.x/-1x1c.x/1x2d.x/2x32. 设 i 是虚数单位，就复数22i -= ia.-ib.-3ic.i.d.3i3. 执行如下列图的程序框图，输出s 的值是a. -3 b2311c-d2224. 以下函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是pa.yb .y= cos2x= sin

2、2 x+2+ p 2c .y= sin 2x+ cos2xdy.= sin x + cosx2y25. 过双曲线 x（ a ） 4331的右焦点且与 x 轴垂直的直线， 交该双曲线的两条渐近线于a ，b 两点，就 ab3（ b ） 2 3（ c） 6（ d） 4 36. 用数字 0， 1， 2， 3， 4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有（ a ） 144 个（b ） 120 个（ c） 96 个（d ） 72 个17. 设四边形 abcd 为平行四边形，ab6 ， ad4 .如点 m， n 满意 bm3mc ， dn2nc ，就 amnm（ a ） 20（b ）

3、15（ c） 9（ d） 6ab8. 设 a，b 都是不等于 1 的正数，就“ 333 ”是“ log a 3logb 3 ”的（ a ）充要条件（b ）充分不必要条件（ c）必要不充分条件（d ）既不充分也不必要条件9. 假如函数 fx1m2 x22n8 x1 m0，n0 在区间 1 ，22单调递减， 就 mn 的最大值为（ a ） 16（ b） 18（ c） 25（ d ） 81210. 设直线 l 与抛物线22y4x 相交于 a ，b 两点，与圆x5y2r 2r0 相切于点 m ，且 m 为线段 ab 的中点 .如这样的直线 l 恰有 4 条，就 r 的取值范畴是（ a ） 1，3（ b

4、） 1，4（ c） 2，3（ d） 2，48二.填空题11. 在2x1 的绽开式中，含的项的系数是（用数字作答） ；12. sin15sin 75；13. 某食品的保鲜时间y（单位： 小时） 与储存温度 x（单位： c ）满意函数关系 yekxb（ e2.718为自然对数的底数， k、b 为常数）；如该食品在 0 c 的保鲜时间设计 192 小时，在 22 c 的保鲜时间是48 小时，就该食品在33 c 的保鲜时间是小时；14. 如图，四边形 abcd 和 adpq 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点m 在线段 pq 上， e、f分别为 ab 、bc 的中点；设异面直线em 与 af 所

5、成的角为，就 cos的最大值为；215. 已 知 函 数f x2x ，g xx2ax（ 其 中 ar ）； 对 于 不 相 等 的 实 数x1 , x2 ， 设mf x1f x2， ng x1g x2，x1x2x1x2现有如下命题：（ 1）对于任意不相等的实数x1, x2 ，都有 m0 ；（ 2）对于任意的a 及任意不相等的实数x1 , x2 ，都有 n0 ；（ 3）对于任意的a，存在不相等的实数x1, x2 ，使得 mn ；（ 4）对于任意的a，存在不相等的实数x1, x2 ，使得 mn ；其中的真命题有（写出全部真命题的序号） ；三.解答题16. 设数列 an的前 n 项和 sn2ana3

6、 ，且a1,a21,a3 成等差数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）记数列 1 的前 n 项和 t ，求得nan| tn1|11000成立的 n 的最小值；17. 某市 a,b 两所中学的同学组队参与辩论赛，a 中学举荐 3 名男生， 2 名女生， b 中学举荐了 3 名男生，4 名女生，两校举荐的同学一起参与集训，由于集训后队员的水平相当，从参与集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队（ 1）求 a 中学至少有 1 名同学入选代表队的概率.（ 2）某场竞赛前；从代表队的6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 x 表示参赛的男生人数，求x 得分布列和数学期望 .18.

7、 一个正方体的平面绽开图及该正方体的直观图的示意图如下列图，在正方体中， 设 bc 的中点为 m ，gh 的中点为 n（ 1 请将字母f ,g, h 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）3（ 2）证明：直线mn / / 平面 bdh（ 3）求二面角 aegm 的余弦值 .19.如图， a,b,c,d为平面四边形abcd 的四个内角 .（ 1）证明：tan a21cos a ; sin a（ 2）如 ac180o, ab6, bc3,cd4, ad5, 求tan atan b22tan c2tan d 的值；220.如图，椭圆e： 2 +2abx2y21ab0 的离心率是22，过点p（ 0,

8、1）的动直线b 两点，当直线 l 平行与 x 轴时，直线 l 被椭圆 e 截得的线段长为 22 .1 求椭圆 e 的方程；（ 2）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点qap 不同的定点 q，使得qbpapbl 与椭圆相交于 a ，恒成立？如存在，求出点 q 的坐标；如不存在，请说明理由；421. 已知函数f x2 xaln xx2ax2aa, 其中a0.22（ 1）设g x是f x的导函数，争论g x的单调性；（ 2）证明：存在a0,1,使得fx0在区间 1,+ 内恒成立，且f x0在1,+ 内有唯独解 .数学（理工类）试题参考答案一、挑选题：此题查考基本概念和基本运算；每道题5 分，满分

9、 50 分1.a2.c3.d4.a5.d6.b7.c8.b9.b10.d二、填空题：此题考查基本学问和基本运算；每道题5 分，满分 25 分611. -4012.2213. 2414.515. 三、解答题共 6 小题，共 75 分16. 此题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础学问， 考查运算求解才能；（ i）由已知 sn2ana1有ansnsn 12an2an 1 n2即 an2an 1 n2从而 a22a1, a34a1 .5又由于a1, a21,a3 成等差数列，即 a1a32a21.所以 a14a122a11 ，解得a12 .所以，数列 an是首项为 2，公

10、比为 2 的等比数列 .故 an2n .（ ii ）由（ 1）得 11 .na2n11 n11111 1n22所以 tn22223211n212n .由 | tn1|11000，得 |11 2n1|11000，即 21000 .由于 2951210001024210 ，所以 n10 .于是，使|tn1|11000成立的 n 的最小值为 10.17. 此题主要考查随机大事的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础学问，考查运算求解才能、应用意识，考查运用概率与统计的学问与方法分析和解决实际问题的才能；（ i）由题意，参与集训的男女生各有 6 名.参赛同学全从 b 中抽取（等价于 a 中学

11、没有同学入选代表队）的概率为c c13334c c6633100因此， a 中学至少 1 名同学入选的概率为1199 .100100（ ii ）依据题意， x 的可能取值为1， 2， 3.c c113c5，4p x13 36p x22cc c43233，65c3c11c5，4p x3336所以 x 的分布列为：6因此， x 的期望为 ex1p x12p x23p x3131e x 1232 .55518. 此题主要考查简洁空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的运算等基础学问，考查空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能；（ i）点 f、g、h 的位置如下列图 .（ ii ）

12、连结 bd，设 o 为 bd 的中点 .由于 m 、n 分别是 bc、gh 的中点，所以 om/ /cd ，且 om1 cd ，2nh / / cd ，且 nh1 cd ，2所以 om / / nh , omnh ，所以 mnho 是平行四边形，从而 mn / /oh ，又 mn平面 bdh ， oh平面 bdh ，所以 mn / / 平面 bdh .（ iii ）方法一，连结 ac ，过 m 作 mpac 于 p.在正方体 abcdefgh 中， 所以 mpeg .ac / / eg ，过 p 作 pkeg 于 k ，连结 km ， 所以 eg平面 pkm ，从而 kmeg .所以pkm 是

13、二面角 aegm 的平面角 .设 ad2 ，就 cm1,pk2 ，7在 rt cmp 中，pmcmsin 452 .2在 rt cmp 中，kmpk 2pm 232 .2所以 cospkmpk22 .km3即二面角 aegm 的余弦值为 22 .3dxyz方法二：如图，以 d 为坐标原点，分别以da, dc , dh 方向为x, y, z 轴的正方想，建立空间直角坐标系设 ad=2 ，就 m （ 1，2， 0）， g（ 0， 2， 2），e（ 2， 0， 2）， o（ 1，1， 0），所以， ge2,2,0, mg1,0,2 .设平面 egm 的一个法向量为m1x,y, z ，n1 ge由n1

14、 mg0,2x2 y0得0,x2 z0取 x2,得n12,2,1 .在正方体 abcd-efgh中， do平面 aegc,就可取平面 aeg 的一个法向量为 n2do1,1,0 ,所以 cosn1, n2n1 n222022n1n2441110322故二面角 a-eg-m的余弦值为3.19. 此题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简洁的三角恒等变换等基础学问，考查运算求解能力、推理论证才能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想；sin a2sin 2 a（ i） tan a221cos a.2cos a2sin a cos asin a222（ii ）由 ac180 ，得 c180a,

15、d180b .8由（ i），有 tan atan btan ctan d22221cosa sin a1cosb sin b1cos180 sin180a1cos180basin180b22连结 bd ，sin asin b在 abd 中，有在 bcd 中，有bd 2bd 2ab2bc 2ad22 ab ad cosa ， cd22bc cd cosc ，所以 ab2ad 22 ab ad cosabc 2cd22bc cd cos a ，就 cos aab2ad 2bc 2cd 2625232423，2 ab adbc cd 265347于是 sin a1cos2 a3 212 10.77连

16、结 ac ，同理可得cosbab2bc2ad 2cd 2623252421，2ab bcad cd2635419于是 sin b1cos2 b1 1 26 10.1919所以 tan atan btan ctan d222222sin asin b142192 102 104 10.320. 此题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、 直线与椭圆的位置关系等基础学问，考查推理论证才能、运算求解才能，考查数形结合、化归与转化、特别与一般、分类与整合等数学思想；（i）由已知，点 2,1 在椭圆 e 上.211,因此，a2b2a2b2c2 ,a2c2,9解得 a2,b2 .x2y2所以椭圆的方

17、程为1.42（ii ）当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于c、 d 两点.| qc | pc |假如存在定点 q 满意条件，就| qd | pd |1，即 | qc | | qd |.所以 q 点在 y 轴上，可设 q 点的坐标为0, y0 .当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于m 、n 两点 .就 m 0,2, n 0,2 ，由 | qm| pm |，有| y02 |21 ，解得 y1 或 y02 .| qn | pn | y02 |210所以，如存在不同于点p 的定点 q 满意条件，就q 点的坐标只可能为下面证明：对任意的直线l ，均有 |qa | pa

18、 | .| qb | pb |当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.q0, 2 .当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为ykx1 ， a 、b 的坐标分别为 x1 , y1,x2 , y2 .x2y2联立42ykx1得2,2k11) x24kx20 .其判别式16k82k24k10 ，22所以， x1x22k2, x1x22.12k1因此 11x1x22k .x1x2x1x2易知，点 b 关于 y 轴对称的点的坐标为b x2, y2 .10又 ky12k1 , ky2211kk，qaqbx1x1x2x2x1所以 kqakqb，即 q, a, b 三点共线 .所以 | qa | qa | x1 | pa |.|qb|qb| x2 | pb |故存在与 p 不同的定点q0, 2 ，使得 | qa| pa| qb | pb |恒成立 .21. 此题主要考查导数的运算、导数的争论函数中的应用、函数的零点等基础学问，考查推理论证才能、运算求解才能、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、