线性代数第二章答案.doc

1、.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换 :x12y1 2y2 y3x23y1 y2 5y3x33y12y23y3求从变量 x1x2 x3 到变量 y1 y2y3 的线性变换 .解由已知 :x12 2 1y1x23 1 5y2x33 2 3y2y12 2 11 x7 4 9y1y21故3 1 5x26 3 7 y2y23 2 3x3324y3y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x32. 已知两个线性变换x1 2y1 y3y13z1 z2x22y1 3y2 2y3y2 2z1 z3x3 4y1 y2 5y3y3z2 3z3求从 z1z2z3 到 x1 x2 x3 的线性变

2、换 .解由已知x2 0 1y12 0 13 1 0 z112 3 2 y20 1 z2x22 3 22x34 1 5y4 1 501 3 z23精选文档.613z112 4 9 z210 1 16 z3x16z1 z2 3z3所以有 x12z4z9z2123x310z1z216z31111233.设A 1 11 , B1 2 4求 3AB2A 及 ATB111051111123111解 3AB 2A 311112 42 111111051111058111213223 05 62 111217 202901114292111123058ATB 111 12 405 61110512904. 计

3、算下列乘积 :4317(1) 12 32;5701431747321 135解 12 3217(2)2316570157720 1493(2) (123)2 ; 1精选文档.3解(123)2(132231)(10)12(1 2);(3)1322(1) 222 4解1(12)1(1)121 233(1) 323 6131(4)21 4 0012;11 3 4131402131解214 001267811 3 41312056402a11a12a13x1(5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 ; a13 a23 a33 x3解a11a12a13x1( x1 x2 x3) a12

4、a22a23x2a13a23a33x3x1(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) x2x3a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x35. 设A1 2, B1 0问:1 31 2精选文档.(1)ABBA 吗 ?解ABBA因为 AB34BA1 2463 8(2)(A B)2A22ABB2 吗?解 (A B)2A22AB B2所以 ABBA因为 AB2 22 5( AB)2222 28 142 52 514 29但A2 2AB B23 86 81 010 164 118 123 415 27所以 (

5、A B)2A22AB B2(3)(AB)(AB)A2B2 吗 ?解(AB)(AB)A2B2因为 AB2 2AB0 22 50 1( AB)( AB)220 20 6250 10 9而A2 B23 810 284 113 41 7故 (A B)(A B) A2B26. 举反列说明下列命题是错误的:（也可参考书上的答案）(1)若 A20 则 A0;解 取 A0 1则 A20 但 A00 0(2)若 A2A,则A0 或 AE;解 取 A1 1则 A2A,但A0且A E0 0精选文档.(3)若AXAY,且A0,则XY.解取A1 0X11Y1 10 01 10 1则 AXAY,且A 0,但X Y.7.

6、设A1 0求 A2A3Ak1 ,解 A21 01 0101121A3 A2A10 1 01 021131Ak10k11 08.设A010 0, 求 Ak .解首先观察1010221A201010220000002A3A233 23A033 2003A4A3A44 362044 3004精选文档.55 410 3A5 A4A 055 4005kkk 1k( k1)k 2k2A0kkk100k用数学归纳法证明 :当 k 2时, 显然成立 .假设 k 时成立，则 k1 时，kk k1k(k 1)k 210Ak 1 Ak A 02kk k 10 100k00k 1 (k1)k 1(k1)kk 10k1

7、(k2k 11)00k 1由数学归纳法原理知:kk k 1k(k 1)k 2Ak02kk k 1（也可提取公因式，变成书上的答案）00k9. 设 AB 为 n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明BTAB 也是对称矩阵 .证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而 BTAB 是对称矩阵 .精选文档.10.设AB 都是 n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明 充分性:因为AT ABT B且 ABBA 所以(AB)T(BA )TATBT AB即 AB 是对称矩阵 .必要性 : 因为 ATABTB且(AB)T AB所以AB(AB)TBTATBA11.

8、 求下列矩阵的逆矩阵 :1 2(1) 2 5 ;解 A1 22 5. | A|=1,故 A-1 存在 . 因为A*A11A2152,A12A2221故A1 1A*52.| A|21(2) cos sin ; sin cos解Acossin. | A|=110,故 A-1存在. 因为sincosA*A11A21cossin,A12A22sincos所以A 11 A*cossin.| A|sincos121(3)342;541精选文档.121解 A 342 . | A|=210, 故 A-1 存在 . 因为541A11A21A31420A* AAA1361,12223232 142A13A23A3

9、3所以A1 1A* | A|a1 a02(4)21013 3 1 .221671(a1 a2a 10) .n0ana1a20解 A, 由对角矩阵的性质知0an110a1A1a2.01an12. 解下列矩阵方程 :(1)2 5X46;1 321解X2 514635462231 321122108精选文档.21111 3(2)X 210;43211111 32111解X2104321111 11 31012 323 4323 302 218 5233(3)14X20311 21 101 ;解X141312011 2011 1124311 012 11011 216 61 01 11 012301

10、240 1 01 0 0143(4)100X001201 .0 0 10 1 01200 1 011431 0 01解X1002010 0 10 0 11200 1 00 1 01431 0 02101 0 02010 0 11340 0 11200 1 0102精选文档.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组x12x23x3 1(1) 2x1 2x2 5x3 23x15x2x33解方程组可表示为1 2 3x112 2 5x223 5 1x33x11 2 311故x22 2 52x33 5 13x11从而有 x20x30x1x2x32(2) 2x1 x2 3x3 13x1 2x2 5x3 0解方程

11、组可表示为:100111x12213x21325x03x1111125故x221310x332503x15故有x20x3314. 设 AkO (k 为正整数 ), 证明 (EA)1EAA2Ak 1证明因为 AkO所以 EAkE又因为精选文档.E Ak(E A)(E A A2Ak 1)所以(EA)(E A A2Ak 1) E由定理 2 推论知 (EA)可逆且(EA) 1EAA2Ak 1证明一方面有 E(EA) 1(EA)另一方面由 AkO有E(EA)2)A2Ak 1(Ak 1k(A AA )(EAA2A k 1)(E A)故(E A) 1(E A)(EAA2Ak 1)(E A)两端同时右乘 (E

12、A)1就有(E A) 1(E A)EAA2Ak115.设方阵 A满足A2 A 2E O, 证明A及A 2E都可逆,并求 A 1及(A 2E) 1. 证明 由A2 A 2E O得A2A2E, 即 A(AE)2E或A1(A E) E, 2由定理 2 推论知 A 可逆且 A 11(AE)2由 A2A2E O得A2A64即 (A2)(3 )4EEEE AE或(A 2E) 1(3E A) E 4( A2E)11EA由定理 2推论知 (A2E)可逆且4(3)证明由 A2A2E O得A2 A2E两端同时取行列式得|A2 A|2即|A| AE|2,故|A| 0精选文档.所以 A可逆,而A2EA2| A2E|

13、A2|A|20 故 A2E 也可逆 .由A2A2EOA(AE)2EA 1A(A E) 2A 1EA 11(A E)2又由 A2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(2 )(A3)4EAEE所以 (A2E) 1(A 2E)(A 3E)4(A 2E) 1( A2E) 11(3EA)416.设A为 3阶矩阵, |A|1, 求 |(2 A)-1-5A*|.2解因为A11 A*, 所以| A|(2A)15A*| |1A15| |1 |1A15A1|2A A22=|-2 A-1|=(-2) 3 | A-1 |=-8|A| -1=- 8 2=-16.17. 设矩阵 A 可逆 , 证明其伴随阵 A

14、*也可逆 , 且 (A*) -1=( A-1 )*.证明由 A 11 A*, 得 A*=| A|A-1, 所以当 A可逆时 有| A| A*|=|A| n| A-1 |=| A| n-110,从而 A*也可逆 .因为 A*=| A| A-1, 所以(A*)1| A|1A又A1(A1)* |A|(A1)* 所以| A 1|(A*)1|A| 1A |A|1| A|( A 1)* (A 1)*18. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为A*证明 :(1)若| A|0, 则 | A*|0;精选文档.(2)| A*| A| n 1证明(1)用反证法证明 . 假设 | A*| 0则有 A*(A*) 1E 由此

15、得A A A*(A*) 1| A| E(A*) 1 O所以 A*O这与 | A*|0矛盾，故当 |A| 0时有|A*| 0(2)由于 A 11 A*, 则AA*| A| E 取行列式得到|A| A|A*| A|n若| A|0则|A*| A| n 1若| A|0由 (1)知 | A*| 0此时命题也成立因此 | A*| A| n103 319.设A110,ABA2B求 B.1 2 3解由ABA2E 可得 (A 2E)B A故233103 303 3B(A2E) 1A11 011 01 2 31211 2 311 01 0 120设 A0 2 0且AB E A2B求 B1 0 1解由AB EA2B

16、 得(A E)BA2E即(A E)B(A E)(A E)0 0 11 0 所以(A因为|A E| 010E)可逆从而1 0 02 0 1B AE0 3 01 0 2精选文档.21 设Adiag(121)*28求BA BABAE解由 A*BA2BA8E 得(A*2E)BA8EB 8(A* 2E) 1A 18A(A*2E) 18(AA*2A) 18(| A| E2A) 18(2E2A) 14(EA) 14diag(212) 14diag(1,1, 1)222diag(121)1000010022已知矩阵 A 的伴随阵 A*101003 0 8且ABA 1BA 13E求B解由|A*|A|38得|A|

17、2由ABA 1 BA 1 3E得ABB3AB3(AE) 1A3A(EA 1) 1A3(E1A*) 16(2E A*) 1210 00106 0 0601 000 6 001 0 106 0 6003 060 3 01精选文档.23.设P 1AP,其中 P14,10 ,求A11.110 2解由P1AP,得A P P1所以 A11A= P 11P 1.|P| 3P*1 4P11141 1311而1110111 00 20 2111410142731 2732故A11331102111168368433111124 设AP P其中P 10211115求 (A) A8(5E 6A A2)解()8(5E

18、 62)diag(1158)diag(555)diag(6630) diag(1 1 25)diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P 11 P()P*|P|11110 02222 10200 030311100 01211 1 141111 1 125设矩阵 A、B 及 AB 都可逆证明 A1B 1也可逆并求其逆阵证明因为精选文档.A 1(A B)B 1B1A1A1B 1而A1 ()1 是三个可逆矩阵的乘积所以A1(A)1 可逆即A1B1可逆AB BB B(A 1B1)1A 1(A B)B 1 1B(A B) 1A1 21 01 03126 计算01 010

19、 12100210 02300030 003解 设 A1 2A2 1B3 1B2 310 120 3121203A EE BAA BB则111112O A2O B2O A2B2而A1B1 B21 23123520 1210324A2B22 123430 30309A1E EB1A1 A1B1 B21 252所以0124OA2 OB2O A2B200430 00912101 0311 252即01010 1210 124（最后一行的 -9也可除00210 0230 04300030 0030 009以 -1变成 9，从而变成书上的答案）27.取A BCD1 0,验证AB|A| |B|0 1CD|C| |D|101 0200 0AB 0101 02002010解CD 1010 1010 0201401 0 101 0 1精选文档.而| A| |B|1 10|C| |D|1 1故AB|A| |B|CD|C| |D|34O28.设A43O2 02 2, 求|A