山西省太原市2020届高三数学上学期阶段性(期中)考试试题(含解析)

1、山西省太原市 2020 届高三数学上学期阶段性(期中)考试试题(含解析)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每出的小题给四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)1. 已知集合 M=, N=，贝U MU N=A. (0,1 ) B. (-f1)U( 2, +s)C. (- 1,0 ) D. (-f,- 2 )U (- 1, +f)【答案】 B【解析】【分析】解出集合M N,然后进行并集的运算即可.【详解】M=x| 1 v x v 1, N=x|x v 0,或 x 2; MU N=x|x v 1,或 x 2= ( f, 1)U( 2,

2、 +f).故选： B【点睛】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，描述法的定义，以及并集的运算2. 函数的定义域是 ( )A. ( 0,1 ) B. C. D. 0,1【答案】 C【解析】【分析】求函数定义域只需保证函数各部分有意义即可【详解】由解得0 v x w 1,所以函数f (x)的定义域为(0, 1.故选： C【点睛】本题考查函数定义域的求法,一般说来给出的函数要保证函数解析式有意义3. 给定函数：；，其中在区间上单调递减的函数序号是()A. B. C. D. 【答案】 B解析】视频4. 已知等比数列中，+=,-=，则=A. - B. C. - 4 D. 4【答案】A【解析】【分析】

3、利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果.【详解】t等比数列an中，ai+a2=，ai - a3=，解得，3.a 4=1X(-)=-.故选：A.【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式求第4项的方法，也考查运算求解能力，是基础题.5. 巳知函数，贝U =A. - B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出log 23的范围为(1, 2),然后结合函数的解析式可得f (log 23) =f (1+log 23)【详解】由题意可得：1 0 ,0 ,0B.0 ,0C. 0 ,0D.0, 0 ,0,当x=0时，f (0) =b,结合函数图象得b 0,由此利用排除

4、法能求出结果.【详解】T函数f (X)=, X=- c时，函数值不存在，结合函数图象得c0,排除B和D;当 x=0 时, f ( 0) =,结合函数图象得 b 0,排除 C故选： A【点睛】本题考查命题真假的判判断和函数的图象和性质等基础知识，同时也考查化归与 转化思想，是基础题9. 已知+1 ()在(0, +s)内有且只有一个零点，则在-1,1上的值域为A. - 4,0 B. - 4,1 C. - 1,3 D. , 12【答案】 B【解析】【分析】f ( x) =2x (3x- a), x ( 0, +)，当 a 0, f (0) =1,f (x)在(0, +8)上没有零点；当 a0 时，f

5、 ( x) =2x (3x- a) 0 的解为 x, f (x) 在(0,)上递减，在(，+8)递增，由 f (x)只有一个零点，解得 a=3，从而f (x) =2x3- 3x2+1, f ( x) =6x (x - 1), x - 1, 1，利用导数性质能求出 f (x )在-1, 1上的值 域即可【详解】t函数f (x) =2x3- ax2+1 (a只)在(0, +8)内有且只有一个零点， f ( x) =2x (3x- a), x( 0, +8), 当 aW0 时，f( x) =2x (3x - a) 0,函数f (乂)在(0, +8)上单调递增，f (0) =1,f (x)在(0, +

6、8)上没有零点，舍去； 当 a 0 时，f( x) =2x (3x - a) 0 的解为 x, f ( x)在(0,)上递减，在(，+8)递增，又f (x )只有一个零点， f() =- +1=0,解得 a=3,32f (x) =2x - 3x+1, f ( x) =6x (x - 1), x - 1, 1,f ( x ) 0 的解集为(-1, 0),f (x)在(-1 , 0) 上递增，在(0, 1) 上递减，f(- 1) =- 4，f(0) =1，f(1) =0， f( x) min=f(- 1) =- 4, f(x) max=f (0) =1,故函数的值域是 - 4, 1 ,故选： B【

7、点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,进行分类讨论求最值,再求出值域,同时也考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题10. 巳知集合P= , Q=，将PUQ的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列 的前 n 项和，则使得 1000成立的的最大值为A. 9 B. 32 C. 35 D. 61【答案】 C【解析】【分析】数列an的前n项依次为：1, 2 , 3 , 22 , 5 , 7 , 23,利用分组成等差数列和等比数列的 前 n 项和公式求解 .【详解】数列an的前n项依次为：1, 2, 3, 22, 5, 7, 23,利用列举法可得：当n=35时，PUQ中的所有元素从小到大依次排

8、列，构成一个数列 an,所以数列an的前 35 项分别 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,， 69， 2， 4， 8， 16， 32， 64Sn=29+ +=29+=9671000所以 n 的最大值 35.故选： C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法 考查了推 理能力与计算能力，属于中档题.11. 已知是定义在 R上的奇函数，且满足，=1 ,数列满足=-1,(),其中是数列的前n项和 则 =A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1【答案】 A【解析】【分析】推导出 Sn=2an+n 从而 an=

9、Sn- Sn-1=2an+n- 2an-1-( n- 1 ) 得 a n- 1是首项为- 2 公差为 2 的等比数列，求出a5= 31 ,a6=- 63 ,由f (2 x)=f(x),f (1)=1 ,得f (x)关于直线T=4，x=1对称，由函数f (x)是定义在R上的奇函数，得到函数f (x)是一个周期函数，且由此能求出 f ( a5) +f ( a6 )【详解】数列an满足ai=- 1, (n N+),其中S是数列an的前n项和，/S n=2an+n,an=Sn Sn- i=2an+ n 2an -1 _ ( n 1),整理，得 =2，a i - 1= - 2, an- 1是首项为-2,

10、公差为2的等比数列，/an- 1= - 2x2 1 ,/a n=1 - 2x2 1.a 5=1 2X2 = 31, = 63 ,f( 2- x) =f(x), f(- 1) =1,/ f ( x )关于直线 x=1 对称，又函数f (x)是定义在R上的奇函数函数f (x)是一个周期函数，且 T=4,/ f ( a5) +f( a6) =f (- 31 ) +f(- 63)=f( 32- 31) +f(64- 63) =f(1) +f(1) =- f(- 1)- f(- 1) =- 1- 1=- 2. 故选： A.【点睛】本题考查函数值的求法,考查等比数列、函数的奇偶性和周期性等基础知识,考 查

11、运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.12. 已知定义在(0,+ a)上的可导函数，满足，则下列结论正确的是A. B. C. 【答案】 A【解析】【分析】根据条件构造新函数 g (x) =xf (x),求函数的导数，结合函数的单调性与选项即可得到结论【详解】xf ( x) = (x- 1) f (x), f ( x) +xf ( x) =xf (x)设 g( x ) =xf ( x ),则 g( x) =f ( x) +xf ( x),即 g( x) =g (x),则 g( x) =ex，则 g(x)=xf (x) =ex，则 f (x) =, (XM0),函数的导数f ( x)=,由f

12、 ( x) 0得x 1，此时函数单调递增，由f( x)v 0得Ov x V 1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f (x)取得极小值，所以 故选： A【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，根据条件构造新函数，再利用导数研究新函数的 单调性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在题中横线上)13. 已知集合 A= - 1, 0, 1 , B=，若 AH B=0，贝U B=;【答案】 0,3【解析】【分析】根据AH B=0可得出O B,进而求出 m=O,解方程x2 - 3x=0即可求出集合 B.【详解】 AH B=0 ; O B；.

13、m=0 B=0, 3.故答案为： 0 , 3 .【点睛】考查描述法、列举法的定义,元素与集合的关系,交集的定义及运算14. 已知函数在 =0 处的切线经过点 (1, - 1) ,则实数 =；【答案】 -3【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f( 0),再求出f (0),求出切线方程，然后求解a即可;【详解 I： y= ( ax+1) ex, f ( x) = (ax+a+1) ex, f( 0) =a+1，又 f ( 0) =1,切线方程为：y - 1= ( a+1) (x - 0)函数y= (ax+1) ex在x=0处的切线经过点(1, - 1),可得：-1 -仁a+1，解得a=-3.故

14、答案为：-3.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查数学转化思想方法， 是中档题15. 在数列 中， =1 ， = ()，记为数列 的前 n 和项，若 =，则=；【答案】 49【解析】【分析】由条件可得=，运用数列恒等式：an=ai?，化简可得 an=，可得=2 (),由裂项相消求和可 得所求和S,解方程可得n的值.【详解】数列an中，ai=1, an=an-1 (n2),可得 =，即有an=ai?=1? ? ? = ，可得 =2()，则 Sn=2(1- +- +-)=2( 1-)，由 Sn=,即有 2 ( i )=,解得 n=49.故答案为： 49. 【点睛】本题考查数

15、列的通项公式和求和，注意运用数列恒等式和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.16. 已知函数 =，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ；【答案】 (0,i)【解析】【分析】由题意设g ( x) =ex e-x- 2x , x R,贝U g (x)是定义域R上的奇函数，且为增函数；问题 等价于g (x2+a) g (- 2ax)恒成立，得出x2+a- 2ax，利用判别式0恒成立， g ( x)是定义域R上的增函数；不等式f (x2+a) +f (2ax) 2恒成立，2化为 g( x2+a) +g( 2ax) +2 2 恒成立，22即 g (x +a) g (2ax) =g (

16、2ax)恒成立，.x +a 2ax 恒成立，即 x2+2ax+a 0 恒成立； =4a 2 4av0,解得0 v a v 1,.实数a的取值范围是(0, 1).故答案为： (0， 1) 【点睛】本题考查了利用新构造函数，用导数判定新函数的单调性和利用奇偶性来解决问题， 也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知集合 A= ， B=| ；求An b；(2) 若 =，求函数的值域 .【答案】 (1)1,2) (2)【解析】【分析】(1) 分别求出集合A,B,由此能求出An B. (2)由An B=x|1xv 2

17、 , f(x)= ()乂+在1 ,2) 上是减函数，能求出函数f (x )的值域.【详解】(1)：集合 A=x|1 v 2=x|1 xv 4, B=y|y=log 2x, x A=y|0 0,且al(1) 判断的奇偶性，并证明你的结论 ; 若关于的不等式w |在-1,1上恒成立，求实数a的取值范围【答案】 (1) 偶函数 (2)【解析】【分析】(1)函数f (x)是定义域 R上的偶函数，用定义法证明即可；(2)由f (x)是R上的偶函 数，问题等价于f ( x)Wx在0 , 1上恒成立；讨论x=0和xM0时，求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数f (x) =x (-)是定义域 R上的偶函数

18、，证明如下：任取 x R,贝U f (- x) = - x (-) =x (-), f ( x) - f (- x) =x (-)- x (-) =x (- 1) =0, f (- x) =f (x), f (x)是偶函数；(2)由(1)知f (x)是R上的偶函数，不等式 f (x) 1,求实数a的取值范围是,1)U( 1, +8).【点睛】本题考查了用定义法判断函数的奇偶性问题和利用偶函数的性质求参数的范围问题, 再转化为不等式恒成立问题,进行分类讨论,是中档题.20. 已知函数 =,；(1) 讨论的单调性 ; 若不等式在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】( 1 )见解析( 2

19、)【解析】【分析】(1)求出导函数后，按 aw0, 0v av, a=, a分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系 即可求单调区间(2)由(1 )的单调性分类求 f (x)的最小值，用最小值使不等式成立代替 恒成立.【详解】(1)： f ( x) =ax2+ (1 - 2a) x - 2lnx , x 0,-f( x)=, 当 a0 时，令 f ( x) v 0,得 0 v xv 2 ;令 f ( x) 0，得 x2 ； 当 av 0 时，令 f ( x) =0,得 x=-或 x=2 ；(I)当- 2，即-时，令 f ( x)v 0,得 0v x v 2 或 x -；令 f ( x) 0,得

20、2 v xv-；(n)当-=2时，即a=-时，贝U f ( x) v 0恒成立；(川)当-v 2 时，即 av-时，令 f( x) v 0,得 0 v x v-或 x 2； 令 f( x) 0, 得-v xv 2；综上所述：当a0时，f （x）在（0, 2）上递减，在（2, +1 上递增；当-时，f （乂）在（0, 2）和（-，+R）上递减，在（2,-）上递增；当a=-时，f （x ）在（0, +1上递减；当av-时，f （乂）在（0,-）和（2, +R）上递减，在（-,2）上递增.（2）由（1）得当a-时，f （乂）在（0, 1 ）上递减， f （ 1） =1 - a，.-;当av-时，（I

21、）当-w 1,即aw - 1时，f （x）在（0,-）上递减，在（-,1 ）上递增， f （-）=2- +2ln （- a）2- , aw- 1 符合题意；（H）当- 1，即-1 v av-时，f （x ）在（0, 1 ）上递增，- f （ 1） =1 - a ,.- 1 v a v-符合题意；综上，实数a的取值范围为（-g,-.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断,先求出函数的导数,用二次函数开口和根的大小讨论导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论，最后求最值,属于中档题.第 II 卷（ 选做题共 30 分）一、选择题 （本大题共 2 小题,每小题 5 分, 满分

22、 10 分,在每小题给出的四个选项中 , 只有一项 是符合题目要求的,请将其字母代码填入下表相应位置 ）21. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1,1）,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 则点 P 的极坐标为A. （1 , ） B. （, ） C. （cosl , sin1） D. （cos1, sin1）【答案】 B【解析】【分析】推导出p =, tan 0 =1,从而 0 =，由此能求出点 P的极坐标.【详解】在平面直角坐标系 xOy中，点P的坐标为（1, 1）,p =,tan 0 =1, .0 =.点 P 的极坐标为(, ).故选： B【点睛】本题考查点的极坐

23、标的求法，直角坐标与极坐标的互化等基础知识， 考查数形结 合思想，是基础题22. 在平面直角坐标系 xOy中，若直线y=x与曲线（是参数，,有公共点，则下列说法正确的 是A. 0 t C. = D. =【答案】 B【解析】【分析】将曲线的参数方程代入直线y=x的方程，并化简得，结合条件t 0,，于是得到0 ，于是得出答案【详解】将代入 y=x 得 2+tcos 0 =tsin 0, 即卩 t （sin 0- cos 0）=2，所以，因为t 0,且t，所以0.故选： B【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化,考查对公式的应用与转化能力,属于中等题二、填空題 （本大题共 2 小题, 每小题

24、5 分, 满分 10 分）23. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线：（是参数），曲线：（是参数），若曲线与相交于 A,B两个不同点,则 |AB|= ；【答案】【解析】【分析】首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组，根据一元二次方程根和系数的关系求出A、B的坐标，在求出|AB|的长.【详解】曲线 C1：（t 是参数），转换为直角坐标方程为：x- y- 1=0，曲线 C2：（0 是参数），转换为直角坐标方程为： ，建立方程组：得至：23x2- 4x=0 ，解得：x=0 或所以：A( 0，- 1 )， B()，所以：|AB|= .故答案为：【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间

25、的转换，一元二次方程根和系数 关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24. 在极坐标系中，点P的坐标为(1,),点Q是曲线=2上的动点，则|PQ|的最大值为 ;【答案】 2【解析】【分析】直接利用方程之间的转换，利用两点间的距离公式求出结果【详解】点P的坐标为(1,转换为直角坐标为 P( 0， 1 )，曲线 p 2 (1+s in 20) =2,转换为直角坐标方程为： ，贝点P (0,1 )至( 0,- 1)的距离最大.最大距离为 2故答案为: 2.【点睛】本题考查直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,两点间的距离公式的应用.三、解答题 (本大题共 1 小题, 满分 10分,

26、解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤 )25. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线：=0( a0)，曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1) 求曲线,的极坐标方程 ;已知极坐标方程为=的直线与曲线，分别相交于P, Q两点(均异于原点 O),若|PQ|= - 1,求实数 a 的值；【答案】 (1) (2)2【解析】【分析】( 1)直接利用转换关系， 把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.(2)利用(1) 的结论，进一步利用极径求出参数的值22【详解】(1)在平面直角坐标系 xOy中，曲线G: x - 2ax+y =0 ( a0),转换为

27、极坐标方程为：P2=2ap cos 0,即：p =2acos0.曲线C2的参数方程为(a 为参数)，转换为直角坐标方程为：x2+(y- 1) 2=1，转换为极坐标方程为：P =2cos 0.(2)已知极坐标方程为0 =的直线与曲线 G, C分别相交于P, Q两点，由，得到： P()， Q()，由于： |PQ|=2 - 1 ,所以：,解得： a=2. 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,极径的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力.选修45不等式选讲一、选择题 (本大题共 2 小题,每小题 5 分, 满分 10 分,在每小题给出的四个选项中 , 只有一项 是符合题目要求的,请将其字母代码填入下表相应位置 )26. 不等式的解集为A. (0,1 ) B. (-a,0)U( 1 , +s)C. (- 1,0 ) D. (-a, - 1 )U( 1 , +a)【答