高考数学总复习 3.3 热点专题——导数综合应用的热点问题课件 文 新人教B版

1、1 13.3热点专题热点专题导数综合应用的热点问题导数综合应用的热点问题热点一利用导数研究函数性质的综合问题热点一利用导数研究函数性质的综合问题利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有涉及主的重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有涉及主要有以下两种考查形式：要有以下两种考查形式：2 2(1)研究具体函数的单调性、极值或最值，常涉及分类研究具体函数的单调性、极值或最值，常涉及分类讨论思想讨论思想(2)由函数的单调性、极值或最值，求解参数的值或取由函数的单调性、极值或最值，求解参数的值或取值范围值范

2、围【例例1】 (2017成都模拟成都模拟)已知关于已知关于x的函数的函数f(x)ln xa(x1)2(aR)(1)求函数求函数f(x)在点在点P(1，0)处的切线方程；处的切线方程；(2)若函数若函数f(x)有极小值，试求有极小值，试求a的取值范围；的取值范围；(3)若在区间若在区间1，)上，函数上，函数f(x)不出现在直线不出现在直线yx1的上方，试求的上方，试求a的最大值的最大值3 34 45 56 67 7【方法规律方法规律】 函数性质综合问题的难点是函数单调性函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论和极值、最值的分类讨论(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的

3、单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置进行讨论导数等于零的点的位置进行讨论8 8(2)极值讨论策略：极值的讨论以单调性的讨论为基础极值讨论策略：极值的讨论以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点，根据函数的单调性确定函数的极值点(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端

4、点的函数值讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值大的为最大值，最小的为最小值9 910101111故函数故函数f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0，1)和和(a1，)，单，单调递减区间是调递减区间是(1，a1)当当0a11，即，即1a2时，在区间时，在区间(0，a1)和和(1，)上上，f(x)0；在区间；在区间(a1，1)上，上，f(x)0，故函数故函数f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0，a1)和和(1，)，单调，单调递减区间是递减区间是(a1

5、，1)当当a10，即，即a1时，在区间时，在区间(0，1)上，上，f(x)0，在区间在区间(1，)上，上，f(x)0，故函数，故函数f(x)的单调递增区间的单调递增区间是是(1，)，单调递减区间是，单调递减区间是(0，1)1212热点二利用导数研究方程的根或函数的零点问题热点二利用导数研究方程的根或函数的零点问题此类试题一般以含参数的三次式、分式、以此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：

6、(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题参数的值或取值范围问题1313141415151616令令h(x)g(x)，则，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意从而对任意xR，h(x)0，所以，所以g(x)h(x)是是(，)上的单调增函数上的单调增函数于是当于是当x(，x0)时，时，g(x)g(x0)0；当；当x(x0，)时，时，g(x)g(x0)0.因而函数因而函数g(x)在在(，x0)

7、上是单调减函数，在上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数上是单调增函数下证下证x00.17171818【方法规律方法规律】 对于方程解的个数对于方程解的个数(或函数零点个数或函数零点个数)问问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围确定其中参数范围1919变式训练变式训练2(2017济南模拟济南模拟)已知函数已知函数f(x)exaxa(aR且且a0)(1)若函数若函数f(x)在在x0处取得极值，求实数处取得极值，求实数a的值，并求的值，并求此时此时f(x)在在2，1上的最大值；上的最大值；(2)若函数若函数f(x)

8、不存在零点，求实数不存在零点，求实数a的取值范围的取值范围2020【解析解析】 (1)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1，f(x)ex1.在区间在区间(，0)上，上，f(x)0，f(x)单调递减；在区间单调递减；在区间(0，)上，上，f(x)0，f(x)单调递增单调递增在在x0处，处，f(x)取得极小值，取得极小值，a1.21212222当当a0时，函数时，函数f(x)存在零点，不满足题意存在零点，不满足题意当当a0时，令时，令f(x)exa0，解得，解得xln(a)在区间在区间(，ln(a)上，上，f(x)0，f(x)单调递减；在单调递减；在区间区

9、间(ln(a)，)上，上，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增，当当xln(a)时，时，f(x)取得最小值取得最小值函数函数f(x)不存在零点等价于不存在零点等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得解得e2a0.综上所述，实数综上所述，实数a的取值范围是的取值范围是(e2，0)2323热点三利用导数解决不等式问题热点三利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题是近几年高考热点，常涉及不利用导数解决不等式问题是近几年高考热点，常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题等式恒成立、证明不等式及大小比较问题(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以不等式恒成立

10、问题一般考查三次式、分式、以e为底为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间区间A上恒成立上恒成立(存在性存在性)，求参数取值范围，求参数取值范围(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立范围内成立2424(3)大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构，可为底的指数式或对数式、三角式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题转化为用导数研究其单调性或最值的函

11、数问题角度一不等式的恒成立问题角度一不等式的恒成立问题【例例3】 (2017西安八校联考西安八校联考)已知函数已知函数f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若若m1，求函数，求函数f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若对任意的若对任意的x0，不等式，不等式x2(m2)xf(x)恒成立，恒成立，求求m的取值范围的取值范围2525【解析解析】 (1)当当m1时，时，f(x)(1x)exx2，则则f(x)x(2ex)，由由f(x)0得，得，0 xln 2，由由f(x)0得得x0或或xln 2，故函数故函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，ln 2)，单调递减区间，单调递减区间为为(，

12、0)，(ln 2，)262627272828292930303131【方法规律方法规律】 求解不等式恒成立时参数的取值范围问求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解可采用直接构造函数的方法求解32323333(2)已知函数已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)求函数求函数f(x)在点在点(0，f(0)处的切线方程；处的切线方程；求函数求函数f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；若存在若存在x1，x21，1，使得，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是是自然对数的底数自然对数的底数)，求实数，求实数a的取值范围的取值范围3434353536363737(2)对对f(x)求导，得求导，得f(x)axln a2xln a，可得，可得f(0)0.因为因为f(0)1，所以函数，所以函数f(x)在点在点(0，f(0)处的切线方程处的切线方程为为y1.由由知，知，f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.因为当因为当a0，a1时，总有时，总有f(x)在在R上是增函数，上是增函数，又又f(0)0，所以不等式，所以不等式f(x)0的解集为的解集