系统地能控性、能观测性、稳定性分析报告

1、实验报告课程 线性系统理论基础实验日期 年_月_ 日专业班级 _姓名 _ 学号同组人实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌 握如何使用MATLA进行以下分析和实现。1、系统的能观测性、能控性分析;2、系统的稳定性分析；3、系统的最小实现。二、实验内容（1）能控性、能观测性及系统实现（a） 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结 果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal（b）已知连续系统的传递函数模型,G(s)二s + as3 10s22

2、7s 18当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性;一6.666-10.6667-0.333301(c)已知系统矩阵为A =101,B =1 ,1012 一1一(d)求系统G(s) =s+1s310s227s 18的最小实现(2)稳定性已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)100(s 2)s(s 1)(s 20)，(a)代数法稳定性判据试对系统闭环判别其稳定性(b)根轨迹法判断系统稳定性已知一个单位负反馈系统开环传递函数为G(s)k(s+3)2s(s 5)(s 6)( s 2s 2)，试在系统的闭环根轨迹图上选择点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳

3、定性。(c) Bode图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为2 7Gl(sHs3 5s2 4s，G2(s)=2.7s35s2 -4s用Bode图法判断系统闭环的稳定性。(d)判断下列系统是否状态渐近稳定、是否 BIBO!定。_ 0 1 O qx=00 1x+0u, 丫 =匚25 5 0250 0 -5 也0C = 1 0 2 1,判别系统的能控性与能观测性;三、实验环境1、计算机120台；2、MATLAB6.漱件 1 套。四、实验原理（或程序框图）及步骤1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如（1-1 ）所示。系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包

4、 括能控性、能观测性的定义和判别。系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）, 若存在一个分段连续的输入函数 U（t），在有限的时间（t 1-t 0）内， 能把任一给定的初态 x（t o）转移至预期的终端x（t 1），则称此状态 是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完 全能控的。能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的 系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时 不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能 控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。输出能控性判别式为：Rank

5、Qy 二RankCB CABCABp（2-1）状态能控性判别式为：RankQc =Rank B ABAn4B -n（2-2）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）, 如果对to时刻存在ta, tota：，根据t 0,t a上的y(t)的测量值， 能够唯一地确定系统在to时刻的任意初始状态Xo,则称系统在to 时刻是状态完全能观测的，或简称系统在t 0,t a区间上能观测。状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系 统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判 别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状 态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种

6、判别法。状态能观测性判别式为：Ra nkQRa nkC CACAn【=n(2-3)系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状 态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。 其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现 具有最简形式。五、程序源代码1.(a) 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, min real；gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵num=6 -0.6 -

7、0.12;den=1 -1 0.25 0.25 -0.125;H=tf(num,den, Ts ,0.1) Lc=gram(ss(H), c)H =6 zA2 - 0.6 z - 0.12zA4 - zA3 + 0.25 zA2 + 0.25 z - 0.125Sample time: 0.1 sec ondsDiscrete-time tran sfer fun cti on.Lc =10.76517.87693.6759 -0.00007.876910.76517.87691.83793.67597.876910.76513.9385-0.00001.83793.93852.6913Ctr

8、b :计算矩阵可控性A=-2.2-0.7 1.5 -1;0.2-6.3 6 -1.5;0.6-0.9 -2 -0.5;1.4-0.1 -1 -3.5B=6 9;4 6;4 4;8 4;Tc=ctrb(A,B);ran k(Tc)A =-2.2000 -0.70001.5000-1.00000.2000-6.30006.0000-1.50000.6000-0.9000-2.0000-0.50001.4000-0.1000-1.0000-3.5000ans =3Obsv:计算可观察性矩阵A=-2.2-0.7 1.5 -1;0.2-6.3 6 -1.5;0.6-0.9 -2 -0.5;1.4-0.1

9、 -1 -3.5B=6 9;4 6;4 4;8 4;C=1 2 3 4;Qo=obsv(A,C);Ro=ra nk(Qo)A =-2.2000-0.70001.5000-1.00000.2000-6.30006.0000-1.50000.6000-0.9000-2.0000-0.50001.4000-0.1000-1.0000-3.5000Ro =4Lyap:解 lyapunov 方程A=0 0 -6;1 0 -11;0 1-6;B=1 2 3;4 5 6;7 8 0;X=lyap(A,B)X =-3.2833-3.9000-0.1167-5.5000-8.6500-0.40000.2833-

10、0.0000-0.0333Ctrbf:对线性系统进行能控性分解A=0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6;B=3；1；0；C=0 0 1;Abar,Bbar,Cbar,T,K=ctrbf(A,B,C)Abar =-3.0000 0.0000 -0.00009.4868 -3.3000 0.95398.6189 -3.13440.3000Bbar =-0.0000-0.00003.1623Cbar =-0.94350.33150T =-0.1048 0.3145 -0.9435-0.2983 0.8950 0.33150.94870.31620K =1 1 0Obsvf:对线性系统进行能观性

11、分解A=-2 1;1 -2;B=1；0；C=1 -1;AO,BO,CO,T,K=obsvf(A,B,C)AO =-1.000000.0000 -3.0000BO =0.70710.7071CO =01.4142T = 0.70710.70710.7071 -0.7071K =1 0Min real最小实现num=1 1;den=1 5 20;sys=tf( nu m,de n)A B C D=tf2ss( nu m,de n) sys=ss(A,B,C,D);sysr= min real(sys)sys =s + 1sA2 + 5 s + 20 Con ti nu ous-time tran

12、sfer function.A = -5 -201 0B =10C =1 1D =0sysr =a = x1 x2 x1 -5 -20 x2 10b = u1x1 1x2 0c = x1 x2y1 1 1d = u1y1 0Con ti nu ous-time state-space model.(b)已知连续系统的传递函数模型,G(s)二s + a32s310s227s 18当a分别取-1 , 0, 1时，判别系统的能控性与能观测性;a=-1num=1,-1;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss( nu m,de n)n=len gth(a)Qc=ctrb(a,b)n c

13、=ra nk(Qc)if n=nc,disp(系统可控),else disp(系统不可控),end Qo=obsv(a,c)no=ran k(Qo)if n=no,disp(系统可观),else disp(系统不可观),end a=0num=1,0;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss( nu m,de n) n=len gth(a)Qc=ctrb(a,b)n c=ra nk(Qc)if n=nc,disp( 系统可控), else disp(系统不可控),end Qo=obsv(a,c)no=ran k(Qo)if n=no,disp( 系统可观), else disp(

14、系统不可观),enda=1num=1,1;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss( nu m,de n) n=len gth(a)Qc=ctrb(a,b)n c=ra nk(Qc)if n=nc,disp( 系统可控), else disp(系统不可控),end Qo=obsv(a,c)no=ran k(Qo)if n=no,disp( 系统可观), else disp(系统不可观),end6.666-10.6667-0.3333 1_01矩阵为A =101，B =1，c = 11012 一1 一0 2】,判别系统的能控性与能观测性;a=6.666 -10.6667 -0.3

15、333;1 0 1;0 1 2; b=0;1;1;c=1 0 2;d=0;n=len gth(a)Qc=ctrb(a,b)n c=ra nk(Qc)if n=nc,disp( 系统可控), else disp(系统不可控),end Qo=obsv(a,c)no=ran k(Qo)的最小实现if n=no,disp( 系统可观), else disp(系统不可观),end(d)求系统 G(s)=二2s3 +10s2 +27s+18num=1 1;den=1 10 27 18;G=tf( nu m,de n);Gs=ss(G);Gm=mi nreal(Gs);Am=Gm.aBm=Gm.bCm=Gm

16、.cDm=Gm.d1 state removed.Am =3.5391 -12.15405.1323 -12.5391Bm =0.0606-0.2425Cm =0.2500 0.0625Dm =0(2)稳定性(a)代数法稳定性判据已知单位反馈系统的开环传递函数为:试对系统闭环判别其稳定性100(s 2)s(s 1)(s 20)num=0 0 100 200; den=1 21 20 0;z,p,k=tf2zp( nu m,de n)z =-2P =0-20-1k =100(b)根轨迹法判断系统稳定性已知一个单位负反馈系统开环传递函数为G(s)二k(s+3)s(s 5)(s 6)(s2 2s 2

17、)，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点 系统闭环的稳定性。n1=1,3;d1=co nv(1,0,co nv(1,5,co nv(1,6,1,2,2);s1=tf( n1,d1);rlocus(s1);k,poles=rlocfi nd(s1)(c) Bode图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为G1(s)二2.7s35s2 4sG2(s)二2.7s35s2 -4s用Bode图法判断系统闭环的稳定性。G1(s)num=2.7;den=1,5,4,0;w=logspace(-1,2,47);mag,pha=bode (nu

18、m,de n, w); magdB=20*log10(mag);subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;title(Bode Diagram);xlabel(Freque ncy(rad/sec);ylabel(Gain dB);subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel(Freque ncy(rad/sec);ylabel(phase deg)G2(s)num=2.7;den=1,5,-4,0; w=logspace(-1,2,47); mag,pha=bode (nu m,de n, w); magdB=20

19、*log10(mag); subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;title(Bode Diagram); xlabel(Freque ncy(rad/sec); ylabel(Gain dB);subplot(212); semilogx(w,pha); grid on;xlabel(Freque ncy(rad/sec); ylabel(phase deg)(d)判断下列系统是否状态渐近稳定、是否0 1 0x=001 x+0u, y =250 0510BIBO稳定。I- 25 5 0 XA=0 1 0;0 0 1;250 0 -5;B=0;0;10;C

20、=-25 5 0;D=0;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)六、实验数据、结果分析(b) a=-1a =-10 -27 -1810 00 1 0b =100c =0 1 -1d =0n =3Qc =1 -10730 1 -100 0 1 nc =3系统可控Qo =0 1 -11 -1 0-11 -27 -18 no =3系统可观a=0a =-10 -27 -181 0 00 1 0b =100c =0 1 0d =0n =3Qc =1 -10730 1 -100 0 1 nc =3系统可控Qo =0 1 01 0 0-10 -27 -18 no =3系统可观a=1a =-10 -27 -

21、1810 00 1 0b =100c =0 1 1d =0n =3Qc =1 -10730 1 -100 0 1 nc =3系统可控Qo =0 1 11 1 0-9 -27 -18 no =2一6.666-10.6667-0.333301(c)已知系统矩阵为A =101，B =1，1012 _1 一C=1 0 2 1,判别系统的能控性与能观测性;n =3Qc =0 -11.0000 -84.99261.0000 1.0000 -8.00001.0000 3.00007.0000nc =3系统可控Qo =1.0000 0 2.00006.6660 -8.66673.666735.7689 -67.4375 -3.5551 no =3系统可观(d)求系统G(s)二s3 1027s 18的最小实现Am =3.5391 -12.15405.1323 -12.5391Bm =0.0606-0.2425Cm =0.2500 0.0625Dm =0(2)稳定性(a)代数法稳定性判据z =-2P =0-20-1k =100(b)根轨迹法判断系统稳定性&PU8 皂WKV 严 e.EmEUJ_201510Root Locus5-10-15-20-20-15-10-50510Real Axis (sacands)selected_point =-7.7666 +