现代信号理论3(信号的表示)

1、 第三章 信号的矢量表示n信号的表示 信号信号: 随时间或空间变化的物理量。 ( )( , )yx tyf x y z 怎样高效的表怎样高效的表示信号？示信号？信号的特征表示：1( )( )( )Nkkkkkx tatat( )kx ta信号逼近信号逼近信号的矢量表示信号的矢量表示表示的可行性？唯一性？表示的可行性？唯一性？线性独立、基和维数线性独立、基和维数: :n线性独立线性独立 （线性空间的概念） 123121123,.,.,0,.nnniiinVnx x xxa aaa xx x xx线性空间 中的 个矢量若没有不全为零的数使： 则称线性独立，否则，为线性相关。线性独立保证表示的唯一性

2、。线性独立保证表示的唯一性。n基 空间的最大线性独立组1123123123,.,.,.niiinnnxa xxVVnx x xxx x xxVx x xx 满足：的线性组合，且表示唯一。即 线性空间 中的 个矢量1. 线性独立；2. 中的每个矢量均可表示为线性空间的基不是唯一的。线性空间的基不是唯一的。n维数 最大线性独立组中矢量的个数。表示的实现：表示的实现：怎样得到信号的参数（离散）表示？( )kx ta？分析：1( )niinixatxM 由 1,)(,)1,2,.,jnjijiixajn 两端用作内积 (解线性方程组解线性方程组矩阵表示：1121111121(,)(,)(,)( ,)(

3、,)(,)(,)( ,)nnnnnnnaxaxGaaG = 或 称称a为信号为信号x的矢量表示（相对基的矢量表示（相对基）思考：思考：n上面用来作内积的矢量必须是基中成员吗？n怎样建立一个线性方程组，使求解更容易？怎样选择基？怎样选择基？正交基：正交基：1(,)0ijijij 1(,)0ijijij 双正交性双正交性双正交基（双正交基（逆转基逆转基）：11( )( ,)(,)( ,)1,2,.,niininjiijjjixatxMxaaxjn 由 11(,)(,)nniiiiiixxxL L2 2空间信号的最佳逼近和投影定理：空间信号的最佳逼近和投影定理：n问题问题 有限维空间M以外的信号如何

4、表示：n思路思路 有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。2,nxnxMSxLxxxxxM ；n投影定理：1 11(,)0 xa exx e11222211( ,)( ,)minxxx e exxxx e exx最小均方下的最佳逼近最小均方下的最佳逼近xxx1 1 xa e多维空间中的最佳逼近：多维空间中的最佳逼近：2121,.,nnni iinMe eexLxaexM是由基张成的子空间，表示 在中的正交投影问题的描述：问题的描述：222minnz Mxxxz？222222,0-nnnzMxxMxzMxxxzxzxzxzxxxzxxxzxxxzxxxzxzxxxxxzxx设任意的则，即（

5、，）（，）（）（），（）（）（，）（，）证明：证明：正交投影的计算：正交投影的计算：21211,.,-1,2,.,( -,)01,2,.,( ,)( ,)1,2,.,nnnjni ijiniijjiMe eexLx xMx xejnxae ejna e ex ejn是由基张成的子空间，12i,.,( ,)1,2,.,nie eeax ein当是正交基时，解线性方程组解线性方程组基的正交化：基的正交化：nGram-SchmidtGram-Schmidt正交化过程正交化过程问题：问题： 找一组两两正交的单位矢量找一组两两正交的单位矢量e1 e2 en 使使e1 e2 en与与a1 a2 an等价等

6、价。 称为把称为把a1 a2 an规范正交化问题规范正交化问题。12,.,nnMa aa是由基张成的子空间正交化方法过程：正交化方法过程： 设a1 a2 an是基 取矢量组 容易验证b1 b2 bn两两正交 且b1 b2 bn与a1 a2 an等价 11212211132113321221111;(,);( ,)(,)(,);(,)( ,).(,)(,)nnknnkkkkbaa bbabb ba ba bbabbb bb ba bbabb b正交化方法过程：正交化方法过程： 把b1 b2 br单位化 即得Mn的一个规范正交基111|1bbe 222|1bbe rrrbbe|1 n信号空间内积的

7、不同定义，将产生不同的正交性，从而有不同的正交函数（信号）集合。常用正交函数集合：常用正交函数集合：权内积权内积n权内积*( ( ), ( )( ) ( )( )f x g xx f x gx dxba权函数权函数复正弦函数：复正弦函数：22111;0, 1,.( 1,1)2( )( 1,1),1( )21( )2j ntj ktkkj ktkenLx tLx ta eax t edt构成信号空间上的规范正交基。任意的信号均有其中傅立叶级数展开傅立叶级数展开傅立叶系数傅立叶系数采样函数：采样函数：22( )( )(, );|( )|;0, 1,.sin(2()222sin (2()22()2B

8、B( ),( )( )( ,)( )( )2( )sin (2()2BBiikkkkkkx tX fLB BX fdte niB tiBeBBcB tiBB tBx tx ta e tax ex t e tdtkBx tcB tB 带限信号空间：规范正交基。为任意的带宽在（- ， ）的信号均有其中1()22dtkxBB采样定理采样定理采样函数：采样函数：n1BB( ),( )()sin (2 ()22T( )()sin (2 ()22( )2()()()222kkx tkix txcB tBBkix txcB tBBx tnBTxxxBBB任意的带宽在（- ， ）的信号均有若只在有限时间区间

9、内研究信号，则可用个离散样本的矢量表示 （，）重构公式重构公式勒让德正交多项式：勒让德正交多项式：n采用采用Gram-SchmidtGram-Schmidt正交正交化过程，由区间化过程，由区间-1-1，11上的幂函数产生的规范上的幂函数产生的规范正交多项式。正交多项式。0122334242n1;23;25 31()2 227 53();2 229 35153();2848.21( )21( )(1)2!nnnnnnttttttnP tdP ttn dt其中 通过函数映射，可以推通过函数映射，可以推广到任意区间。广到任意区间。切比雪夫正交多项式：切比雪夫正交多项式：n采用权函数采用权函数 的的权

10、内积，由区间权内积，由区间-1-1，11上的幂函数产生的规范上的幂函数产生的规范正交多项式。正交多项式。0001;2( )( )cos( arccos )( )1nnnTT tT tntT t其中 通过函数映射，可通过函数映射，可以推广到任意区间。以推广到任意区间。21/ 1 t22242212( )Re(1) (1)(1).241( )( )( )34nnnnnnnnT ttitnntttttT ttTtTtn 递推公式：随机信号的正交展开：随机信号的正交展开：n希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。1( )lim( ),Nkknkx ta e ttT( )kx ta 用一组随机变量表示随

11、机信号。用一组随机变量表示随机信号。n分析（利用离散采样）1( )limsin (2),Nknkx txcWti( )kx tx问题：问题： 随机变量不是统计独立的，其信号随机变量不是统计独立的，其信号特性难以分析。特性难以分析。分析：分析：n用一组规范正交基来表征随机信号。1( )lim( ),Nkknkx ta e ttT( ) ( )TkiTax t e t dt 选择适当的正交基，使得到的随机变选择适当的正交基，使得到的随机变量互不相关。量互不相关。分析：分析：*,121212121212()( )( ) ( )( )( )( )( , )TTijijTTTTijxTTE a ae t e tE x t x tdt dte t e tR t t dt dt 转换为解积分方程。转换为解积分方程。21221111( )( , )( )( ,)( )( )TjxjjTTijijjji