空间向量与平行、垂直关系

1、空间向量与平行、垂直关系3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系【根底稳固】, 的法向量分别为 a=-1,2,4,b=x,-1,-2,并且 , 那么 x的值为ba10b-10cd-解析: 由于 , 所以它们的法向量也相互垂直 , 所以 ab=-1, 2,4 x,-1,-2=0,即-x-2-8=0,解得 x=-10.2. 直线 l 的一个方向向量为 n=2,-3,1,假设直线 l 平面 , 那么以下向量中能作为平面的法向量的是 da0,-3,1b2,0,1c-2,-3,1d-2,3,-1解析: 问题即求与 n 共线的一个向量 .n=2,-3,1=-2,3,-1.应选 d.垂直,

2、 直线 l 的一个方向向量为 u=1,-3,z,向量 v=3,-2,1与平面平行 , 那么 z 等于c a3b6c-9d9解析: 由于 l ,v 与平面平行 , 所以 uv, 即 u v=0, 所以 1 3+ 3 2+z1=0, 所以 z=-9. 应选 c.4. 在空间有四点 a1,2,3,b-1,0,5,c3,0,4,d4,1,3,那么直线 ab与 cd的关系为 aa 平行b 垂直第 11页c 相交但不垂直d 无法确定解析:=-2,-2,2,=1,1,-1,由于 =-2 , 所以 ab cd.选 a.5. 如下图, 正方体 abcd-a1b1c1 d1 中,e,f 分别在 a1d,ac上,

3、且 a1e= a1d, af=ac,那么b(a) ef 至多与 a1d,ac之一垂直(b) ef a1 d,efac cef 与 bd1 相交 def 与 bd1 异面解析: 以 d为原点,所在直线分别为 x,y,z轴, 建立空间直角坐标系 dxyz 图略, 设正方体棱长为 3, 那么a3,0,0,b3,3,0,c0,3,0,d0,0,0,d10,0,3, a13,0,3,e1,0,1,f2,1,0,所以 =1,1,-1,=-3,-3,3,=-3,0,-3,=-3,3,0,由于 =-3+0+3=0,=-3+3+0=0,=-3,所以 ef a1d,ef ac,ef bd1.应选 b.6.2021

4、 重庆高二检测 直线 a,b 的方向向量分别为 m=4,k,k-1 和 n=k,k+3, 假设 ab, 那么 k=.解析: 由于 a b, 所以其方向向量 m= n r.所以解得 k=-2.答案:-20,2,b1,-1,c-2,1, 是平面内三点 , 设平面的法向量为 a=x,y,z,那么 xyz=.解析:=1,-3,-,=-2,-1,-,由于 a,b,c 是平面内三点 ,a 为的法向量 ,所以得解得那么 xyz= yy-y=2 3 -4.答案:2 3 -4【才能提升】8. 在如下图的空间直角坐标系中,abcd-a1b1c1d1 是棱长为 1 的正方体 ,给出以下结论 :平面 abb1a1 的

5、一个法向量为 0,1,0;平面 b1cd的一个法向量为 1,1,1;平面 b1 cd1 的一个法向量为 1,1,1;平面 abc1d1 的一个法向量为 0,1,1.其中正确结论的个数为 ba1b2c3d4解析: 由于=0,1,0,abad,aa1 ad,又 abaa1=a, 所以 ad平面 abb1a1, 所以正确 ;由于=-1,0,0,而1,1,1=-1 0, 所以1,1,1不是平面b1cd的法向量 , 所以不正确 ;由于=0,1,-1,=-1,0,1,1,1,1=0,1,1,1=0,b 1ccd1=c,所以1,1,1是平面 b1cd1 的一个法向量 , 所以正确 ;由于=0,1,1,而 0

6、,1,1=20, 所以 0,1,1不是平面abc1d1 的法向量 , 即不正确 .因此正确结论的个数为 2, 选 b.=1,5,-2,=3,1,z,假设,=x-1,y,-3,且平面 abc,那么=.解析: 由于, 所以=0,所以 3+5-2z=0, 所以 z=4.由于=x-1,y,-3,且平面 abc,所以即解得故=,-,-3.答案:,-,-310. 如图, 正方形 abcd和矩形 acef所在的平面相互垂直 ,ab=, af=1,m是线段 ef的中点 .求证:1am 平面 bde; 2am平面 bdf.证明:1 建立如下图的空间直角坐标系.设 acbd=n,连接 ne,那么点 n,e 的坐标

7、分别是 ,0,0,0,1,所以=-,-,1.又点 a,m的坐标分别是 ,0,1,所以=-,-,1,所以=,且 ne与 am不共线 ,所以 ne am.又由于 ne. 平面 bde,am.平面 bde,所以 am平面 bde.2 由1 知=-,-,1,由于 d,0,0,f,1,所以=0,1.所以.同理. 又 df bf=f,所以 am平面 bdf.【探究创新】11. 如图, 在四棱锥 p-abcd中, 底面 abcd是矩形 , 且 ad=2,ab=1,pa平面 abcd,e,f分别是线段 ab,bc的中点.1 证明:pffd;2 判定并证明 pa上是否存在点 g,使得 eg平面 pfd.1 证明: 由题意知 ,pa平面 abcd,bad=90,ab=1,ad=2,如图, 建立空间直角坐标系 axyz,那么 a0,0,0,b1,0,0,f1,1,0,d0,2,0.不妨令 p0,0,t,那么=1,1,-t,=1,-1,0,所以=1 1+1-1+-t 0=0,所以, 即 pffd.2 解: 存在.设平面 pfd的法向量为 n=x,y,z,由得令 z=1, 解