浅谈函数定义域的类型与求1

1、浅谈求函数定义域的方法谷城县第二中学洪旭论文导读：定义域、值域、对应关系是函数的三要素，其中函数的定义域是函数三要素的关键，函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围。关键词：函数，定义域函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键，特别是函数性质必须从定义域出发,它在解决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。本文介绍求函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域，在解函数题中强调定义域对解题结论的

2、作用与影响，树立起“定义域优先”的观点，对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。 一 、常规类型给出函数的解析式求定义域，它的解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域，一般原则是：如果为整式，其定义域为R;如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；如果是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；如果是基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等），掌握其函数定义域。如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；f(x)=的定义域是;例1：求函数的定义域。解：要使函数有意义

3、，则必须满足由解得 或。 由解得 或 和求交集得且或x5。故所求函数的定义域为二、实际问题型在实际问题中函数的定义域除满足解析式外，还要考虑实际意义,在实际问题中定义域受实际意义的制约，否则所求函数关系式可能是错误。如：例2：将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线为d，截面的面积为S，求面积S以x为自变量的函数关系式？解：设截面的一条边长为x，对角线为d，另一条边为，由题意得：S=x故函数解析式为：S=x如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时，S的值

4、即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：即：函数关系式为：S=x（）这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性 。三、 抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况:（1）已知的定义域，求的定义域。它的解法是：若已知的定义域是a，b，则求的定义域是解，即为所求的定义域。例3：已知的定义域为2

5、，2，求的定义域。解：令，得，即，因此，从而，故所求函数的定义域是（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。 它的解法是：若已知的定义域是a，b，则求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即为所求f(x)的定义域。例4：已知的定义域为1，2，求f(x)的定义域。解：1x2,22x432x+15故函数f(x)的定义域是评述：例3和例4是互为逆向的，解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题，抓住已知条件，从而得到要求函数的未知数。例5：已知函数y=f(x+1)的的定义域是-2,3,求y=f(2x-1)的定义域。解：函数y=f(x+1)的的定义域是-2,3, -2x3 ,-1x+14,定义域

6、-1,4。再由-12x-14,得故y=f(2x-1)的定义域是。四、逆向求解型 已知函数的解析式并给出其定义域，需要求出所给函数解析式中参数的取值范围。特别是已知函数定义域为R，求参数的范围问题，通常需要转化为恒成立的问题来解决。例6：已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须使0恒成立，因为的定义域为R，即无实根当k0时，恒成立，解得；当k=0时，方程左边=30恒成立。综上所述，k的取值范围是。评述：不少学生容易忽略k=0的情况，希望通过这个例题提醒学生注意。例 7：已知函数y=的定义域是R，求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，对一切xR都成立，由于项

7、的系数是m，所以应分或进行讨论。解：当时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是，解得综上所述，所求实数m的取值范围是。五、 隐藏其中型 函数的单调区间是其定义域的子集，从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往容易导致错解，事实上定义域隐蔽在问题中，因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例8：求函数的单调区间 解：先求函数的定义域： 函数定义域为 令，当时，u为减函数，当时， u为增函数。 又在上是增函数 函数在上是减函数，在上是增函数。即函数的单调递增区间，单调递减区间是。评述：在做题时，如果没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解；在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。六、含有参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须分类讨论。例9：已知的定义域为0，1，求函数的定义域。解：因为的定义域为0，1，即所以函数的定义域为满足下列不等式组的解集：，解得即两个区间与的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当时，的定义域为；（2）当时，的定义域为；（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时不能构成函数。综上所述，在求函数的定义域时,要以基本函数的定义域为基础,遵循以上几条规则.当函数的解析