D51定积分概念与性质PPT学习教案

1、会计学1D51定积分概念与性质定积分概念与性质一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的近似计算定积分的近似计算定积分的概念及性质 第五五章 四、四、 定积分的性质定积分的性质第1页/共32页1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及 x以及两直线bxax,所围成 ,求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab第2页/共32页1xix1ixxabyO1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx

2、将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii第3页/共32页niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限.令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi第4页/共32页设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(

3、,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为第5页/共32页iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限第6页/共32页Oab x,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max

4、1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作第7页/共32页baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(第8页/共32页Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值aby

5、x1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO第9页/共32页O1 xyninix1,nii取),2, 1(ni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解:将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32ni第10页/共32页iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)

6、12)(11 (61nn注注注 O1 xyni2xy 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值xx d102第11页/共32页,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n第12页/共32页121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iixninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim

7、) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni第13页/共32页, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn21例12. 右矩形公式第14页/共32页baxxfd)(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12 ixix222 i

8、xmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab21112120246推导推导4. 抛物线法公式第15页/共32页baxxfd)(等分，分成将mnba2,xyyyiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab上作抛物线(如图)4(6212221iiimiyyymabimiimimyyyymab21112120246,222iixx在ayObx12 ixix222 ixmx20 x则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：第16页/共32页xxId14102解解: :计算yi(见右表)的近似值.13993. 3I14159. 3Iixiyi00.04.0000010.

9、13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为1204d3.14159261Ixx计算定积分第17页/共32页(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4证证:iiinixgf)()

10、(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab第18页/共32页bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc第19页/共32页abc,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(第20页/共32页0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(

11、xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(第21页/共32页xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 第22页/共32页.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2,

12、 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx第23页/共32页, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 第24页/共32页Oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfa

13、bniin)(lim11)(1lim1niinfn第25页/共32页计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01TOtgv vTt221TgS 第26页/共32页1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式第27页/共32页OxO1xn1n2nn 11. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx第28页/共32页如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsi