导数大习题练习带答案

1、欢迎阅读导数大题练习1 .已知 f(x) = xlnx ax, g(x) = X 2,(I)对一切x (0, +刃，f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(n )当a= 1时，求函数f(x) 在m, m+ 3(m 0)上的最值；(川)证明：对一切x (0,+旳，都有lnx+ 1二_2成立.e ex22、 已知函数f(x)alnx-2(a 0) . (I)若曲线y=f (x)在点P (1, f)处的切线与直线y=x+2x垂直，求函数y=f (x)的单调区间；(n)若对于-x.= (0, ：)都有f (x)2(a 1)成立，试求a的取 值范围；(川)记g (x)=f (x)+x b (b

2、R).当a=1时，函数g (x)在区间e“ , e上有两个零点， 求实数b的取值范围.3、设函数f (x)=l nx+(x a)令 F(x) = I n x x, a R. (I)若a=0,求函数f (x)在1 , e上的最小值；(n)若函数f (x)在1 ,2上存在单调递增区间，试求实数 a的取值范围；2(川)求函数f (x)的极值点.14、 已知函数 f (x)ax2 _(2a 1)x 2ln x (a R).2(I )若曲线y二f (x)在x =1和x =3处的切线互相平行，求a的值；(n )求f (x)的单调区间；(川)设g(x) =x2 -2x，若对任意xr (0,2，均存在他(0,

3、2，使得f(xj ： g(X2)，求a的取值范围.25、已知函数 f(x)=+alnx-2(a0)x(I )若曲线y= f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+ 2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；(n )若对于任意x“0, :都有f x j,2(a 一1)成立，试求a的取值范围；i. * I I- I 么 I(川)记g(x) = f(x) + x b(b R).当a= 1时，函数g(x)在区间e_1,e】上有两个零点，求实数b 的取值范围.6已知函数f(x)如.x(1) 若函数在区间(a,a+3(其中a0)上存在极值，求实数a的取值范围；2(2) 如果当x _1时，不等式f(x)

4、一上恒成立，求实数k的取值范围.x +11.解：(I)对一切 *(0, ：), f (x) g(x)恒成立，即 xl nx-ax-x2-2 恒成立.也就是a乞I nx x 在(0,七)恒成立1分x欢迎阅读则 F (x)=2x x -2 (x 2)(X -1)x2 一 x2，在(0,1)上 F (x) :：: 0，在(1 :：)上 F (x)0 ,因此，F(x)在x = 1处取极小值，也是最小值,即 Fmin(x)二 F(1) =3,所以 a,.4 分(n )当 a - -1 时，f(x)=xlnx x,1 f (x) = In x 2，由 f (x) = 0 得 x ： 2 .6 分e 当 0

5、 ： m ： 1 时，在 x 三m,)上 f (x) ： 0，在 x 三(,m 3上 f (x)0eee11因此，f (x)在X = p处取得极小值，也是最小值.fmin(X)= -一2 . ee由于 f (m) ：0, f (m 3) -(m 3)ln(m 3) 10因此，fmax(x)二 f (m 3) = (m 3)ln( m 3)18 分1 当m 2时，f(x) _0，因此f (x)在m,m - 3上单调递增，e所以 fmin (x)二 f (m)二 m(ln m 1)，fmax(x) = f(m 3) =(m 3)ln( m 3)19 分x 2(川)证明：问题等价于证明 xl nx

6、x x(x(0, ：), 10分exe1111分由(n )知a - -1时，f(x)=xlnx x的最小值是-一2，当且仅当x 2时取得, eex 21 x设 G(x) x (x (0, ：)，则 G (x)二一矿，易知 e eeGmax (x)二G(1) = -1_但 2，从而可知对一切x (0,；)，ee，当且仅当x=1时取到， 12分e都有lnx 14- 成立e ex13分2 a2、解：(1)直线y=x+2的斜率为 1.函数f ( x)的定义域为(0, + g),因为 f (x)二，所以x x2 a2x _ 2f (1)21，所以 a=1.所以 f (x) In x - 2 f (x )

7、2 由 f (x)0 解得 x 0 ；由1 1xxf(x)： 0解得0v xv 2.所以f (x)的单调增区间是(2, +g)，单调减区间是(0, 2).4分2 a ax _ 2 2 2(n) f (x) = - p -二一厂,由 f (X) 0 解得 x -;由 f (x) :： 0 解得 0 :： x ： 所以 f (x)x x xaa在区间(2：)上单调递增，在区间(0, 2)上单调递减所以当x=2时，函数f (x)取得最小值，aaa2 ymin =f( )因为对于X (0,都有 f(x) 2(a-1)成立，aa aaea是(0, 2) 8 分e2x + x 2(rn)依题得 g(x)

8、In x x -2 -b，则 g(x)2由 g (x)0解得 x 1;由 g( x 0 解xx得0vxv 1.所以函数g(x)在区间(0，1 )为减函数，在区间(1，+X)为增函数.又因为函数g(x)g(e)-0彳 - -在区间e 1,e上有两个零点，所以g(e)_0 .解得1 b0成立.5分2注意到抛物线g (x)=2x22ax+1开口向上，所以只要g0，或g() 0即可26分 由 g 0,即 84a+10,得 a 9，41 13由 g () 0，即卩a 1 0，得 a ： ，2 22所以a ： 9 ,4q所以实数a的取值范围是(：,9).422x 2ax+1 0 成立.解法二：f(x)=丄

9、 2(xa) =2x 一2 7 x一 1 依题意得，在区间丄,2上存在子区间使不等式21 又因为x0，所以2a (2x -).x设g(x2x 1，所以2a小于函数g (x)在区间-,2的最大值x21 又因为g (x) = 2 -，x12由 g(x) = 2 - 20解得 x x21yjn由 g(x)=2-x2 汀解得2.所以函数g (x)在区间(二2)上递增，在区间2所以函数又g(2)二1g(X)在,或x=2处取得最大值.291992 , g(2)=3，所以 2a : 2 , a ： 4所以实数a的取值范围是(：,9).422x2 -2ax +1o(川)因为 f(x)二a ，令 h (x)=2

10、x2 2ax+1xI* I显然，当a0恒成立，f (x) 0,此时函数f (x)没有极值点;9分当a 0时，(i)当 0恒成立，这时f (x)0,此时，函数f (x)没有极值点；(ii )当 0 时，即 a 时,10分易知，当 aa 7 : % ：旦时，h (x) V0,这时 f (x)V0;2 2当 0 ： x ： a 寸 2 或 x - a 2 时，h (x) 0,这时 f (x) 0;所以，当a .时,是函数f (x)的极大值点;X = a ； _2是函数f (x)的极小12分当a2时，x=a a 2是函数f (x)的极大值点；x=a a 2是函数f (x)的极小值点.1当a=2时,f

11、(x)(x-2)22x值点.综上，当a、2时，函数f (x)没有极值点;2 224 .解：f (x)二 ax _(2a 1)，(x 0).1 分x(I ) f (1 f (3)，解得 a=2.3 分3(n ) f (x(ax_1)(2) (x 0).4 分x 当a乞0时，x 0，ax -仁：0，在区间(0,2) 上, f (x)0 ;在区间(2,：)上 f (x) ：0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,；).5分11 当 0 ： a ；：一时， 2，2a I 谀-二一“11在区间(0,2)和(1 ,二)上, f (x) 0 ;在区间(2,)上 f (x： 0，aaI*

12、 II I11故f (x)的单调递增区间是(0,2)和(一，代)，单调递减区间是(2,).6分aa故f(x)的单调递增区间是(0,二).7分当a 2时，x【2,11在区间(0,丄)和(2, V)上，f(x) 0 ；在区间(-,2)上f(x)：o ,aa故f(x)的单调递增区间是(0,-)和(2,；)，单调递减区间是(-,2).8分aa(川)由已知，在(，2上有 f(X)max g(x)max.9 分由已知，g(x)max ，由()可知，1 当a乞时，f(x)在(0,2上单调递增，故 f(x)max 二 f(2) =2a-2(2a 1) 2ln 2 = -2a-2 21 n 2，1所以，-2a

13、-2 2ln 2 丄时，f(x)在(0,丄上单调递增，在丄,2上单调递减，2aa故 f(x)max 二 G) 一2- 1 -2lna.a2a111由 a 可知 In a In In 1， 2In a *2， -2ln a ： 2， 22e所以，一2 -靳 a : 0， f(X)max : 0，综上所述，a I n 2-1.12分5、( I )直线y = x+ 2的斜率为1，函数f(x)的定义域为0,-，12 a,2 a因为 f (x) -一 +，所以 f (1)= T +一 = 一1，所以 a= 1x x11所以 f (x+ln X 2, f (X 卜2xx由 f x 0解得 x2 ;由 f

14、x : 0解得 0V xv 2所以f(x)得单调增区间是2,=，单调减区间是0,2/ tt、2 a ax -2(t ) f (x)2x x x(2,2由f x 0解得x ;由f x ： 0解得0 ： x :aa22所以f(x)在区间(-，=：)上单调递增，在区间(0,-)上单调递减aa22所以当x上 时，函数f(X)取得最小值ymin二f (-)aa因为对于任意x“0,：:都有f x .2(a_1)成立，2所以f (-) .2(a -1)即可a2222则 aln 22(a-1)，由 al n2 a 解得 0 ： a ： 22aaea所以a得取值范围是(0,-) 8分e2|x 2 + x 2(ID )依题意得 g (x ) ln x _ 2 - b，则 g (x )2xx由 g x 0 解得 x 1，由 g x ： 0 解得 0v xv 1 所以函数g(x)在区间e,e上有两个零点，g(e )02 所以 0，则 f ( x)= -虫疥，1 分xxx/ I .当 0 : x ：:1 时，f (x)0 ; 当 x 1 时，f (x) :：: 0 . f(x)在(0,1)上单调递增；在(1,；)上单调递减，函数f(x)在x=1处取得极大值. 3分1函数f(x)在区间(a,a+3)(其中a:0)上存在极值, 日: 解得 1 ：a ：1 . .