高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修2-2

1、1.1.3导数的几何意义主题主题1 1 导数的几何意义导数的几何意义1.1.如图如图(1)(1)l1 1是否为曲线在点是否为曲线在点A A处的切线处的切线? ?l2 2是否为曲线在是否为曲线在点点B B处的切线处的切线? ?l2 2是否为曲线在点是否为曲线在点C C处的切线处的切线? ?提示：提示：l1 1不是曲线在点不是曲线在点A A处的切线；处的切线；l2 2是曲线以点是曲线以点B B为切为切点的切线，不是以点点的切线，不是以点C C为切点的切线为切点的切线. .2.2.你能不能类比圆的割线和切线的动态关系，结合图你能不能类比圆的割线和切线的动态关系，结合图(2)(2)直观地感知，当直观地

2、感知，当P Pn nPP时对应的一般曲线的切线？时对应的一般曲线的切线？提示：提示：当当P Pn nPP时，割线趋于确定的位置，这个确定位时，割线趋于确定的位置，这个确定位置上的直线就是曲线在点置上的直线就是曲线在点P P处的切线处的切线. .3.3.问题问题2 2从直观上感知了从直观上感知了“割线逼近切线割线逼近切线”的变化过程，的变化过程，进一步，如图进一步，如图(3)(3)如何研究割线方程和切线方程的变化如何研究割线方程和切线方程的变化关系？关系？提示：提示：割线逼近切线，不妨设点割线逼近切线，不妨设点P(xP(x0 0,y,y0 0) )，P Pn n(x(x0 0+x,f(x+x,f

3、(x0 0+x).+x).割线割线PPPPn n的方程为的方程为y yf(xf(x0 0)= ,)= ,当当P Pn nPP，即，即x0 x0时，变化的最终结果是时，变化的最终结果是000f(xx) f(x )(x x )x =f(x=f(x0 0),),故切线方程故切线方程就是就是 y yy y0 0=f(x=f(x0 0)(x)(xx x0 0).). 00 x 0f(xx) f xlimx 结论结论: :导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率，用符号处的切线的斜率，用符号表示为表示为f(xf(x0 0)

4、=_)=_=_ =_ . .00 x 0f(xx) f(x )limx k k【微思考微思考】求曲线在某点求曲线在某点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处的切线方程时易忽略什么？处的切线方程时易忽略什么？提示：提示：易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上. .主题主题2 2 导数的概念导数的概念已知函数已知函数y yx x2 2, ,完成下表：完成下表：2 24 46 68 810101212结论：导函数的定义：结论：导函数的定义：当当x x变化时，变化时，f(x)f(x)是是x x的一个函数，称它为的一个函数，称它为f(x)f(x)的导的导函数函数( (

5、简称导数简称导数) )，即即f(x)=y= _ .f(x)=y= _ . x 0f xxf xlimx 【微思考微思考】导函数导函数f(x)f(x)与函数在与函数在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )相同吗？相同吗？它们有什么区别与联系它们有什么区别与联系? ?提示：提示：不相同不相同.y=f(x).y=f(x)导函数为导函数为f(x),f(f(x),f(x x0 0) )是是y=f(x)y=f(x)在在x x0 0处的导数处的导数. .【预习自测预习自测】1 1函数函数y yf(x)f(x)在在x xx x0 0处的导数处的导数f (xf (x0 0) )的几何意义的几

6、何意义是是 ( )( )A A在点在点x x0 0处的斜率处的斜率B B在点在点(x(x0 0，f(xf(x0 0)处的切线与处的切线与x x轴所夹的锐角的正切轴所夹的锐角的正切值值C C曲线曲线y yf(x)f(x)在点在点(x(x0 0，f(xf(x0 0)处切线的斜率处切线的斜率D D点点(x(x0 0，f(xf(x0 0)与点与点(0,0)(0,0)连线的斜率连线的斜率【解析解析】选选C.C.由导数的几何意义可知函数由导数的几何意义可知函数y yf(x)f(x)在在x xx x0 0处的导数处的导数f (xf (x0 0) )，即为曲线在点，即为曲线在点(x(x0 0，f(xf(x0

7、0)处处的切线的斜率的切线的斜率2.2.设设f (xf (x0 0) )0 0，则曲线，则曲线y yf(x)f(x)在点在点(x(x0 0，f(xf(x0 0)处处的切线的切线 ( )( )A A不存在不存在B B与与x x轴平行或重合轴平行或重合C C与与x x轴垂直轴垂直D D与与x x轴斜交轴斜交【解析解析】选选B.B.曲线在点曲线在点(x(x0 0，f(xf(x0 0)处的切线斜率为处的切线斜率为0 0，切线平行或重合于切线平行或重合于x x轴轴3.3.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+4x+5+4x+5的图象在的图象在x=1x=1处的切线在处的切线在x x轴上的轴上的截距为截距

8、为 ( )( )A.10A.10 B.5 B.5 C.-1 D. C.-1 D. 37【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+4x+5,+4x+5,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2+4,+4,所以所以f(1)=7,f(1)=7,即切线斜率为即切线斜率为7,7,又又f(1)=10,f(1)=10,故切点坐标为故切点坐标为(1,10),(1,10),所以切线的方程为所以切线的方程为:y-10=7(x-1),:y-10=7(x-1),当当y=0y=0时时,x= - .,x= - .374.4.过曲线过曲线y y2 2x x上两点上两点(0,1)(0,1)，(1,2)

9、(1,2)的割线的斜率为的割线的斜率为_【解析解析】依题意得，割线的斜率为依题意得，割线的斜率为 1.1.答案：答案：1 12 11 05 5抛物线抛物线y y2 2x x与与x x轴、轴、y y轴都只有一个公共点，但只轴都只有一个公共点，但只有有_是它的切线，而是它的切线，而_不是它的切线不是它的切线【解析解析】根据曲线在某点处的切线的定义知根据曲线在某点处的切线的定义知y y轴是曲线轴是曲线y y2 2x x的一条切线，的一条切线，x x轴不是切线轴不是切线答案：答案：y y轴轴 x x轴轴6 6如图，函数如图，函数f(x)f(x)的图象是折线段的图象是折线段ABCABC，其中，其中A A

10、，B B，C C的坐标分别为的坐标分别为(0,4)(0,4)，(2,0)(2,0)，(6,4)(6,4)，试求，试求 的值的值. . x 0f 1xf 1limx 【解析解析】由导数的概念和几何意义知，由导数的概念和几何意义知， f (1)f (1)k kABAB 2.2.x 0f(1x) f(1)limx 0 42 0类型一类型一 求曲线的切线方程求曲线的切线方程【典例典例1 1】(1)(1)曲线曲线y=xy=x3 3+11+11在点在点P(1,12)P(1,12)处的切线与处的切线与y y轴轴交点的纵坐标是交点的纵坐标是 ( )( )A A-9-9B B-3-3C C9 9D D1515(

11、2)(2)已知曲线方程为已知曲线方程为y yx x2 2，则过点，则过点A(2,4)A(2,4)且与曲线相且与曲线相切的直线方程为切的直线方程为_._.【解题指南解题指南】(1)(1)先求出函数先求出函数y=xy=x3 3+11+11在在x=1x=1处的导数，处的导数，再求出切线方程，最后求与再求出切线方程，最后求与y y轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标. .(2)(2)由于点由于点A A在曲线上，可利用导数的几何意义，求出在曲线上，可利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程. .【解析解析】(1)(1)选选C. C. = = = =3,

12、= =3,33x 1x0(1x)11(111)y |limx 3x 01x1limx 2x 01x 11x1x 1limx 2x 0limx3 x 3 所以曲线所以曲线y=xy=x3 3+11+11在点在点P(1,12)P(1,12)处的切线方程为处的切线方程为y y12=12=3(x3(x1),1),即即3x3xy+9=0y+9=0，令令x=0 x=0，解得，解得y=9y=9，所以曲线所以曲线y=xy=x3 3+11+11在点在点P(1,12)P(1,12)处的切线与处的切线与y y轴交点的纵轴交点的纵坐标是坐标是9.9.(2)(2)因为因为f(x)f(x) 2x2x，22x0 xxxlim

13、x 2x02 x xxlimx x 0lim 2xx 又点又点A(2,4)A(2,4)在曲线在曲线y yx x2 2上，所以上，所以f(2)f(2)4 4，所以所求切线的斜率所以所求切线的斜率k k4 4，故所求切线的方程为故所求切线的方程为y y4 44(x4(x2)2)，即，即4x4xy y4 40.0.答案：答案：4x-y-4=04x-y-4=0【延伸探究延伸探究】1.1.在本例在本例(2)(2)中若将中若将“点点A(2,4)”A(2,4)”改为改为“点点B(0,0)”B(0,0)”，则结果如何？则结果如何？【解析解析】因为因为f(x)f(x) 2x2x，又点又点B(0,0)B(0,0)

14、在曲线在曲线y yx x2 2上，所以上，所以f(0)f(0)0 0，所以所求切线的斜率所以所求切线的斜率k k0 0，故所求切线的方程为故所求切线的方程为y y0 00(x0(x0)0)，即，即y y0.0.22x 0(xx)xlimx 2x02 x xxlimx x 0lim(2xx) 2.2.在本例在本例(2)(2)中若将中若将“点点A(2,4)”A(2,4)”改为改为“点点C(3,5)”C(3,5)”，则结果如何？则结果如何？【解析解析】因为点因为点C(3,5)C(3,5)不在曲线不在曲线y yx x2 2上，上，所以设切点坐标为所以设切点坐标为(x(x0 0，x x2 20 0).)

15、.因为因为f(x)=f(x)= = =2x= = =2x，所以，所以f(xf(x0 0) )2x2x0 0，22x0 xxxlimx 2x02 x xxlimx x0lim 2xx 所以切线的斜率所以切线的斜率k k2x2x0 0，切线方程为切线方程为y yx x2 20 02x2x0 0(x(xx x0 0) )，又因为点，又因为点C(3,5)C(3,5)在切在切线上，所以线上，所以5 5x x2 20 02x2x0 0(3(3x x0 0) )，解得，解得x x0 01 1或或x x0 05.5.所以切点坐标为所以切点坐标为(1,1)(1,1)，(5,25)(5,25)故所求切线方程为故所

16、求切线方程为y y1 12(x2(x1)1)或或y y252510(x10(x5)5)，即即2x2xy y1 10 0或或10 x10 xy y25250.0.【方法总结方法总结】1.1.求曲线在点求曲线在点P(xP(x0 0，y y0 0) )处切线的步骤处切线的步骤(1)(1)求出函数求出函数y yf(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f (xf (x0 0).).(2)(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为根据直线的点斜式方程，得切线方程为y yy y0 0f (xf (x0 0)(x)(xx x0 0).).2 2过曲线外的点过曲线外的点P(P(x x1 1，y y1

17、1) )求曲线的切线方程的步骤求曲线的切线方程的步骤(1)(1)设切点为设切点为Q(xQ(x0 0，y y0 0).).(2)(2)求出函数求出函数y yf(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f (xf (x0 0).).(3)(3)利用利用Q Q在曲线上，点在曲线上，点P(P(x x1 1,y,y1 1) )在切线上和在切线上和f (xf (x0 0) )k kPQPQ，解出，解出x x0 0，y y0 0及及f (xf (x0 0) )(4)(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为根据直线的点斜式方程，得切线方程为y yy y0 0f (xf (x0 0)(x)(xx x0

18、0) )【补偿训练补偿训练】在曲线在曲线y=xy=x2 2上，点上，点P P处的切线垂直于直处的切线垂直于直线线2x-6y+5=02x-6y+5=0，则，则P P点坐标为点坐标为( )( )A.(2,4)A.(2,4)B.B.( ( , , ) )C.C.( ( ， ) ) D.(-2D.(-2，4)4)32941214【解析解析】选选B.f(x)=B.f(x)= =2x,= =2x,设设P(xP(x0 0,y,y0 0) )是满足条件的点是满足条件的点, ,因为切线与直线因为切线与直线2x-6y+5=02x-6y+5=0垂直垂直, ,所以所以2x2x0 0 =-1, =-1,得得x x0 0

19、= ,y= ,y0 0= .= .133294x 0f(xx) f(x)limx 22x0 xxxlimx 类型二类型二 求曲线的切点求曲线的切点【典例典例2 2】已知曲线已知曲线y=2xy=2x2 2+a+a在点在点P P处的切线方程为处的切线方程为8x-8x-y-15=0y-15=0，求切点，求切点P P的坐标和实数的坐标和实数a a的值的值. .【解题指南解题指南】根据切线方程得到切线斜率为根据切线方程得到切线斜率为8 8，即，即f(x)=8,f(x)=8,解导数方程即可得到结论解导数方程即可得到结论. .【解析解析】设切点设切点P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0) )，

20、切线斜率为，切线斜率为k.k.由由y=y= =4x,= =4x,得得 =4x=4x0 0. .22x 0 x 02 xxa2xaylimlimxx 0 x xky | x 0lim 4x 2 x 根据题意得根据题意得4x4x0 0=8,x=8,x0 0=2,=2,分别代入分别代入y=2xy=2x2 2+a+a和和y=8x-15,y=8x-15,得得a=-7,ya=-7,y0 0=1.=1.故所求切点为故所求切点为P(2,1),a=-7.P(2,1),a=-7.【方法总结方法总结】求曲线切点坐标的步骤求曲线切点坐标的步骤(1)(1)设切点：先设出切点坐标设切点：先设出切点坐标(x(x0 0,y,

21、y0 0).).(2)(2)求斜率：求切线的斜率求斜率：求切线的斜率f(xf(x0 0).).(3)(3)列方程：由斜率间的关系列出关于列方程：由斜率间的关系列出关于x x0 0的方程，解方的方程，解方程求程求x x0 0. .(4)(4)求切点：因点求切点：因点(x(x0 0,y,y0 0) )在曲线上，将在曲线上，将(x(x0 0,y,y0 0) )代入曲代入曲线方程求线方程求y y0 0，得切点坐标，得切点坐标【巩固训练巩固训练】如果曲线如果曲线y yx x3 3x x1010的一条切线与直线的一条切线与直线y y4x4x3 3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为平行，那么曲线与切线相切

22、的切点坐标为 ( )( )A A(1(1，8)8)B B( (1 1，12)12)C C(1(1，8)8)或或( (1 1，12)12)D D(1(1，12)12)或或( (1 1，8)8)【解析解析】选选C.C.设切点坐标为设切点坐标为P(xP(x0 0，y y0 0) )，则则y y0 0 x x3 30 0 x x0 01010的切线斜率为的切线斜率为k k330000 x 0(xx)(xx) 10 (xx10)limx 23200 x 03xx 3xxxxlimx 3x3x2 20 01 14 4，所以所以x x0 01 1，当当x x0 01 1时，时，y y0 08 8，当，当x

23、x0 01 1时，时，y y0 01212，所以切点坐标为所以切点坐标为(1(1，8)8)或或( (1 1，12)12)2200 x 0lim 3x13x xx 类型三类型三 导数几何意义的综合应用导数几何意义的综合应用【典例典例3 3】(1)(1)若曲线若曲线y=xy=x2 2+ax+b+ax+b在点在点(0,b)(0,b)处的切线方处的切线方程为程为x xy+1=0,y+1=0,则则( )( )A Aa=1a=1，b=1b=1B Ba=a=1 1，b=1b=1C Ca=1a=1，b=b=1 1D Da=a=1,b=1,b=1 1(2)(2017(2)(2017福州高二检测福州高二检测) )

24、已知函数已知函数f(x)f(x)的图象如图所的图象如图所示，下列数值的排序正确的是示，下列数值的排序正确的是( )( )A A0 0f(2)f(2)f(3)f(3)f(3)f(3)f(2)f(2)B B0 0f(3)f(3)f(3)f(3)f(2)f(2)f(2)f(2)C C0 0f(3)f(3)f(2)f(2)f(3)f(3)f(2)f(2)D D0 0f(3)f(3)f(2)f(2)f(2)f(2)f(3)f(3)【解题指南解题指南】(1)(1)利用切点在切线上，切点在曲线上，利用切点在切线上，切点在曲线上，切点处的导数等于切线斜率求解切点处的导数等于切线斜率求解. .(2)(2)从图象

25、上可以看出从图象上可以看出f(2)f(2)与与f(3)f(3)的大小，且其值大于的大小，且其值大于1 1；再由导数的几何意义，看出；再由导数的几何意义，看出f(2)f(2)与与f(3)f(3)的大小的大小且其值小于且其值小于1.1.【解析解析】(1)(1)选选A.A.将点将点(0,b)(0,b)代入代入x xy+1=0y+1=0中，得中，得b=1b=1，由导数的几何意义得，由导数的几何意义得，k= k= = =a=1, = =a=1,综上，综上，a=1a=1，b=1b=12x 0 x 00 xa 0 xbby |limx 2x0 x0 xa xlimlim( x a)x (2)(2)选选B.B

26、.根据导数的几何意义，在根据导数的几何意义，在xx2,32,3上，曲线上，曲线在在x x2 2处切线斜率最大，处切线斜率最大，k k f(3)f(3)f(2)f(2)f(3)f(3) f 3f 23 2【方法总结方法总结】有关导数的几何意义的综合问题的求解有关导数的几何意义的综合问题的求解策略策略(1)(1)转化：利用导数的几何意义把问题转化为求切线方转化：利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题程或切点坐标问题. .(2)(2)数形结合：注意方程思想、数形结合思想的应用数形结合：注意方程思想、数形结合思想的应用. .【巩固训练巩固训练】已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,

27、,直线直线x-y-2=0 x-y-2=0，求抛物，求抛物线上的点到直线的最短距离线上的点到直线的最短距离. .【解析解析】根据题意可知与直线根据题意可知与直线x-y-2=0 x-y-2=0平行的抛物线平行的抛物线y=xy=x2 2的切线对应的切点到直线的切线对应的切点到直线x-y-2=0 x-y-2=0的距离最短的距离最短. .设切点坐标为设切点坐标为(x(x0 0,x,x2 20 0),),则则 =2x=2x0 0=1,=1,所以所以x x0 0= ,= ,所以切点坐标为（所以切点坐标为（ , , ）. .12121402200 x xx0(xx)xy |limx 切点到直线切点到直线x-y-2=0 x-y-2=0的距离为的距离为d= = ,d= = ,所以抛物线上的点到直线所以抛物线上的点到直线x-y-2=0 x-y-2=0的最短距离为的最短距离为 . .1 1|2|2 42 7 287 28【补偿训练补偿训练】(2017(2017泰安高二检测泰安高二检测) )如果如果f(x)f(x)是二是二次函数，且次函数，且f(x)f(x)的图象开口向上，顶点坐标为的图象开口向上，顶点坐