旋转体的体积

1、定积分的应用1、微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)cbf (x)dxJ aFMb=F(b)-F(a)其中F(x)是被积函数于的原函数。2、定积分的几何含义:在区间肚引上,若f 0) o,则 f二 s；若f(X) o,则 f(x)dx = -S;若既有正也有负贝jf fx)dx二各面积代数和3、定积分基本性质bb(1) f (/(x) g(x)dx = f f(x)dx f g(x)dxJqJ aJdb(2) J kf (x)dx = k | f (x)dxb(3) f f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dxJ aJ aJc4、结论若/（兀）为偶函数，则 /（兀）=2/

2、（兀）J-GJO若/（兀）为奇函数，则 /（兀）=0J -Q旋转体的定义示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内_条直线旋转一周而成的立体.这直 线叫做旋转轴。可选取适当坐标系，使旋转轴为X轴或y轴 最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。（演示）O旋转体的体积计算公式1、旋转轴为X轴(演示)(f(x)0)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的y=f(x)由 x=a 5 x= b , y=0, y=f (x)体积为yv二fJ ab 2 r b271 y dx 71 /(x) dxJ a2、旋转轴为y轴(演示) fiy= c , y

3、= d , x=05 x=g (y) ( g (y)O)f 围成&inin的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋蒂体的体d积为yyfd 2rd r i2x=g (y)dy = 71 dy(cc旋转体的体积计算公式例2连接坐标原点0及点P( h , r)的直线, 直线x二h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r,高为h的圆锥,P(h5r)计算圆锥的体积。解：如图所示直线0P的方程为y二二兀,hx g 0, h o所求体积为V =例3计算由曲线y=x2与x=y2所围成的平面 图形绕y轴旋转一周而成的立体的体积。解：如图所示=f 7tydy _ f Ttydy10t返回JoJo练习：写

4、出下列旋转体体积的定积分表达式(1) y = x3, x = 1, y = 0 绕x轴旋转一冋J6 ,1V =71 x ax = “ Jo7(2) y = F, y = l,兀=0 绕x轴旋转一冋V f dx 71XX 16 dx =兀7x JoJoX练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式E9绕y轴旋转一练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式(5) y = x = 1. x 轴练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一练习:写出下列旋转体体积的定积分表达式练习:写出下列旋转

5、体体积的定积分表达式（3） y = x2,y = x2 y = 2绕x轴旋转V+ 1F7dx + 2 7T32（2 + 3 巧）7115.练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式二*+1（6）y = x，y绕y轴旋转一周3=兀2O exitO backO Pby O forward问题的提出返回O exit 0 backQ play O forwardO exit 0 backQ play O forward旋转体概念返回旋转体就是由一个条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴.完.O exit O backforward旋转体实例圆锥园返回旋转体实例圆柱园返回旋转体就是由一个 平面图形饶这平面

6、内 一条直线旋濮一周而 成的立体.这直线叫 做旋转轴旋转体实例圆柱园返回旋转体实例圆柱园返回完.O exit O backforward旋转体实例圆柱园返回旋转体的体积O exit 0 backQ play O forward.旋转体体积推导返回体积例题3返I求星形线0-2一32-30）绕x轴旋轶构成旋转体的体积O exit Q backO Pby Q forward丿体积例题2返回O exit O backJQ play Q forward丿体积例题5返回基本初等函数的导数公式2. /(%)=兀“f f (a:) = nxn x (n e R)3. f(x) = sin jv f (x) = cos x4. /(x) = cos jv f f (jv) = -sin x5. f(x) = axf(x) = ax In a6. 若f (x)=