2021年人教版高中数学选择性必修第一册第1章习题课件：《1.4.1第3课时空间中直线、平面的垂直》(含答案)

1、第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.学习目标XUE XI MU BIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1l2u1u2u1u20.设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，l ，则lunR，使得un.知识点二线面垂直的向量表示知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2n1n20.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.若直线l的方向向量a(1,0

2、,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则A.l B.lC.l D.l与斜交解析n2a，an，即l.2.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a(31,0,2)，b(1，1，)，若l1l2，则的值为解析由题意知，ab，31220，3.(多选)下列命题中，正确的命题为A.若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2B.若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20C.若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面垂直，则naD.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直解析A中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确.4.平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别

3、为u(1,0,5)，v(t，5,1)，则t的值为_.5解析平面与平面垂直，平面的法向量u与平面的法向量v垂直，uv0，即1t05510，解得t5.2题型探究PART TWO一、证明线线垂直问题例1如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EFBC.证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，反思感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.跟踪

4、训练1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN CC1.求证：AB1MN.证明设AB的中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.二、证明线面垂直问题例2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：PB平面EFD.证明由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，

5、即xy z0. 所以x，y，z1. 因为PBEF，又EFDEE，EF，DE平面EFD.所以PB平面EFD.方法二设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，反思感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直将直线的方向向量用坐标表示.找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量将直线的方向向量用坐标表示.求出平面的法向量.判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF平面B1AC.证明设正方体的棱长为2，建立

6、如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).设平面B1AC的法向量为n(x，y，z)，EF平面B1AC.令x1得n(1,1，1)，三、证明面面垂直问题例3在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS底面ABCD，且ASAB，E是SC的中点.求证：平面BDE平面ABCD.证明设ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系，方法一连接AC，交BD于点O，连接OE，所以OEAS.又AS平面ABCD，所以OE平面ABCD.又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.方法二设平面BDE的法向量为n1(x，y，z).令x1，可得

7、平面BDE的一个法向量为n1(1,1,0).因为n1n20，所以平面BDE平面ABCD.反思感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.求证：平面AED平面A1FD1；证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，设平面AED的一

8、个法向量为n1(x1，y1，z1).令y11，得n1(0,1，2).同理，平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1).n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.3随堂演练PART THREE1.若平面，的法向量分别为a(2，1,0)，b(1，2，0)，则与的位置关系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定12345解析ab2200，ab，.2.已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k等于A.4 B.4 C.5 D.512345解析，ab，ab282k0.k5.3.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是

9、棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CFB1E，则点F(0，y，z)满足方程A.yz0B.2yz10C.2yz20D.z10解析E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，即22z0，即z1.1234512345PMAM解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，12345所以PMAM.12345是解析如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，123451.知识清单：(1)线线垂直.(2)线面垂直.(3)面面垂直.2.方法归纳

10、：转化法、法向量法.3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOUR1.设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于A.2 B.2C.10 D.6基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为ab，所以ab0，即232(2)m0，解得m10.2.若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，且，则x的值为12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为，所以它们的法向量也互相垂直，所以ab(1,

11、2,4)(x，1，2)0，解得x10.3.已知点A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为A.(1,0，2) B.(1,0,2) C.(1,0,2) D.(2,0，1)得x1z0. 联立得x1，z2，故点P的坐标为(1,0,2).12345678910 11 12 13 14 15 164.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于A.BD B.ACC.A1D D.A1A12345678910 11 12 13 14 15 16解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建

12、立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.CEBD.12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC，MN都不垂直12345678910 11 12 13 14 15 16解析以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a，则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)

13、.12345678910 11 12 13 14 15 16OMAC，OMMN.OM和AA1显然不垂直，故选AC.6.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.12345678910 11 12 13 14 15 169解析由题意得uv，uv36z0，z9.7.在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)，则x的值为_.12345678910 11 12 13 14 15 160或9解析A(3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)，12345678910 11 12 1

14、3 14 15 16分三种情况：综上，x的值为0或9.8.在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3,1)，C(2，2,1).若向量n与平面ABC垂直，且|n| ，则n的坐标为_.12345678910 11 12 13 14 15 16(2,4,1)或(2，4，1)设n(x，y，z)，n与平面ABC垂直，解得y4或y4.当y4时，x2，z1；当y4时，x2，z1.n的坐标为(2,4,1)或(2，4，1).12345678910 11 12 13 14 15 169.如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB3AQ，证明：PQ

15、OA.12345678910 11 12 13 14 15 16证明如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120，12345678910 11 12 13 14 15 16求证：平面ADE平面ABE.证明取BE的中点O，连接OC，又AB平面BCE，所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).设平面A

16、DE的法向量为n(a，b，c)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又AB平面BCE，OC平面BCE，所以ABOC.因为BEOC，ABBEB，AB，BE平面ABE，所以OC平面ABE.所以平面ABE的法向量可取为m(1,0,0).所以平面ADE平面ABE.A.EF至多与A1D，AC中的一个垂直B.EFA1D，EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxy

17、z，从而EFBD1，EFA1D，EFAC，故选B.12345678910 11 12 13 14 15 1612.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的比值为12345678910 11 12 13 14 15 16解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为1，PAa，设点F的坐标为(0，y，0)，所以F为AD的中点，所以AFFD11.12345678910 11 12 13 14 15 1613.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形

18、，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_.12345678910 11 12 13 14 15 16垂直解析以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，取y1，则z1，平面PBC的法向量n(0,1,1)，EF平面PBC.12345678910 11 12 13 14 15 1614.如图，已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有_条.12345678910 11 12 13 14 15 161解析

19、假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，所以(x2，y，z2)m(1,2，2)，x2m，y2m，z22m，所以M(2m，2m，22m)，12345678910 11 12 13 14 15 16即存在满足条件的直线MN，有且只有一条.12345678910 11 12 13 14 15 1615.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC.在线段B1P的延长