专题03 完全平方公式（提升版）（原卷版）

1、专题03 完全平方公式（提升版）【典型例题】类型一、公式法完全平方公式例1、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）【参考参考参考答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法多项式中各项若有公因式,一定要先提公因式,常用思路是：提公因式法；运用公式法（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止举一反三：【变式】分解因式：（1）（2）【参考参考参考答案】解：（1）原式（2）原式例2、已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3【思路点拨】先提公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解,然后带入数据进行计算即可得解【参考参考参考答案与

2、解析】解：a3b+2a2b2+ab3 = ab（a2+2ab+b2）= ab（a+b）2将a+b=3,ab=2代入得,ab（a+b）2=232=18故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用,对于式子较复杂的题目不要轻易去括号举一反三：【变式】若,是整数,求证：是一个完全平方数.【参考参考参考答案】解：令上式即类型二、配方法分解因式例3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题,如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的

3、呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.【思路点拨】提出二次项的系数3,转化为二次项系数为1来解决.【参考参考参考答案与解析】解：如 【总结升华】配方法,二次项系数为1的时候,添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候,转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用例4、先仔细阅读材料,再尝试解决问题：完全平方公式x22xy+y2=（xy）2及（xy）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+12x4的最大（小）值时,我们可以这样处理：解：原式=2（x2+6x2）=2（x2+6x+992）=2（x+3）211=2（x+3）222因为

4、无论x取什么数,都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0,此时x=3进而2（x+3）222的最小值是2022=22所以当x=3时,原多项式的最小值是22.解决问题：请根据上面的解题思路,探求多项式3x26x+12的最小值是多少,并写出对应的x的取值【参考参考参考答案与解析】解：原式=3（x22x+4）=3（x22x+11+4）=3（x1）2+9,无论x取什么数,都有（x1）2的值为非负数,（x1）2的最小值为0,此时x=1,3（x1）2+9的最小值为：30+9=9,则当x=1时,原多项式的最小值是9【总结升华】此题考查了完全平方公式,非负数的性质,以及配方法的应用,熟练掌握完全

5、平方公式是解本题的关键举一反三：【变式1】若ABC的三边长分别为、,且满足, 求证：.【参考参考参考答案】解： 所以所以所以因为ABC的三边长分别为、,所以,矛盾,舍去.所以.【变式2】若（2015x）（2013x）=2014,则（2015x）2+（2013x）2= 【参考参考参考答案】4032解：（2015x）（2013x）=2014,（2015x）（2013x）2=（2015x）2+（2013x）22（2015x）（2013x）=4,则（2015x）2+（2013x）2=4+22014=4032稳固练习一.选择题1. 若是完全平方式,则的值为（ ）A5 B7 C1 D7或12下列各式中,不

6、能用完全平方公式分解的个数为（）x210x+25；4a2+4a1；x22x1；A1个 B2个 C3个 D4个3. 如果是一个完全平方公式,那么是（ ） A. B. C. D. 4.已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,则多项式a2+b2+c2abbcac的值为（）A 0B1C2D35. 若,则的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若为任意实数时,二次三项式的值都不小于0,则常数满足的条件是（ ） A. B. C. D. 二.填空题7分解因式：4x24xy+y2= 8. 因式分解:_. 9. 因式分解: _.10. 若,_.11. 当取_时,多项式有最小值_.12.如果实数x、y满足2x26xy+9y24x+4=0,那么= 三.解答题13.若,求的值.14.已知a+=,求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a）2；（3）a15.