通信原理信号

1、1通信原理通信原理第第二二章信号章信号22.1 信号的类型n确知信号确知信号任意时刻的信号取值都是确定的信号；可以用明确的数学表达式表示的信号。例如：指数信号、矩形脉冲信号等。n随机信号随机信号给定某一时刻，无法确定该时刻信号的取值；无法用确定的函数表示的信号，但信号有一定的统计规律。例如：语音信号、图像信号等。energy signal32.1 信号的类型n能量信号能量信号信号能量定义为能量有限的信号称为能量信号，即 0 E n功率信号功率信号信号的功率定义为功率有限的信号称为功率信号，即 0 P ) J ()d(lim2/2/2TTTttsE)W()d(1lim2/2/2TTTttsTPp

2、ower signal42.2 确知信号的性质n功率（周期）信号的频谱功率（周期）信号的频谱 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数系数傅里叶级数频率、角频率和周期频谱的振幅和相位nnnCCje22j0000de )(1TTtnnttsTCntnnCts0je)(00022Tf deterministic signals52.2 确知信号的性质n周期方波信号的频谱周期方波信号的频谱t)(0tfT220T0TO10nnCOkTkTtftftttf)()(2021)(002Sa22sin00000nTnnTCnFourier series62.2 确知信号的性质n能量（非周期）信号的频谱密度能量（非周期）

3、信号的频谱密度 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶逆变换傅里叶变换的另一种形式de )(21)(jtStsttsStde )()(jFourier transformffStsttsfStftfde )()(de )()(2j2j72.2 确知信号的性质n矩形脉冲信号的频谱密度矩形脉冲信号的频谱密度t22O)(tg1)(GO2021)(tttg2Sa2sin2)(Gspectral density82.2 确知信号的性质n功率（周期）信号的频谱密度功率（周期）信号的频谱密度 傅里叶变换傅里叶变换周期信号的傅里叶级数周期信号的频谱密度nnntnnntnnnCCCtsS)(2e e)()(0jj

4、00FFFntnnCts0je)(Fourier coefficients9【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是： (t)的频谱密度：00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj2.2 确知信号的性质10(t)及其频谱密度n 函数的物理意义：函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1 1的脉冲。的脉冲。n用抽样函数用抽样函数Sa(t)表示表示 函数：函数：Sa(t)Sa(t)有如下性质有如下性质当当 k k 时，振幅时，振幅 ， 波形的零点间隔波形的零点间隔 0 0，故有故有 1)(dtkt

5、Sakttt)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)011函数的性质对对f(t)的抽样：的抽样： 函数是偶函数：函数是偶函数： 函数是单位阶跃函数的导数：函数是单位阶跃函数的导数：n能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱和功率信号的频谱C(jn 0)的区别的区别:S(f) 连续谱；连续谱； C(jn 0) 离散谱离散谱S(f)的单位：的单位：V/Hz； C(jn 0) 的单位：的单位：VS(f)在一频率点上的幅度无穷小。在一频率点上的幅度无穷小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu当当t

6、10图2.2.6 单位阶跃函数12 解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-19)，上式可以改写为n引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 频谱密度(a) 波形【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度132.2 确知信号的性质n周期方波信号的频谱密度周期方波信号的频谱密度t)(0tfT220T0TO1)(0TFOkTkTtftftttf)()(

7、2021)(00nTnnTF)(2Sa2)(0000periodic signal142.2 确知信号的性质n能量谱密度能量谱密度设 s (t) 为能量信号，且它的频谱密度为 S ()则由帕塞瓦尔定理得 s (t) 的能量为 能量谱密度函数的定义ffSSttsEd)(d)(21d)(222)HzJ ()()(2fSfGffGttsEd)(d)(2Energy Spectral Density (ESD)152.2 确知信号的性质n矩形脉冲信号的能量谱密度矩形脉冲信号的能量谱密度t22O)(ts1)(SO2)Sa()(2Sa)(2021)(ffGSttts)( fGfOParsevals the

8、orem162.2 确知信号的性质n截短信号截短信号对于功率信号 s (t)，称sT (t)为 s (t) 的截短信号。2|, 02|),()(TtTttstsTtruncated signals (t)tsT (t)t2T2TOO172.2 确知信号的性质n功率谱密度功率谱密度设 sT (t) 的频谱密度为 ST ( f )，则其能量 E 为s (t) 的功率为功率谱密度函数定义为Power Spectral Density (PSD)ffSttsttsETTTTd)(d)(d)(22222fTfSdttsTPTTTTTd)(lim)(1lim22/2/2)HzW()(lim)(2TfSfP

9、TT182.2 确知信号的性质n周期信号的功率谱密度周期信号的功率谱密度由帕塞瓦尔定理可得周期信号的功率周期信号的功率谱密度因为nnTTCttsTP2222000d)(1nnnffCfP)()(02nnCffPP2d)(aperiodic signal192.2 确知信号的性质n自相关函数自相关函数能量信号的自相关函数功率信号的自相关函数ttstsRd)()()(22d)()(1lim)(TTTttstsTRautocorrelation function202.2 确知信号的性质n自相关函数的性质自相关函数的性质自相关函数为偶函数，即 R() = R() 自相关函数在原点 = 0 处取得最大

10、值，即 R(0) | R()|对于能量信号，R(0) 表示信号的能量，即对于功率信号， R(0) 表示信号的功率，即EttsRd)()0(2PttsTRTTT222d)(1lim)0(origin212.2 确知信号的性质n矩形脉冲信号的自相关函数矩形脉冲信号的自相关函数210211)(tttsO)(R111t21O)(ts1211011)(Rsquare wave222.2 确知信号的性质n互相关函数互相关函数两个能量信号的互相关函数两个功率信号的互相关函数ttstsRttstsRd)()()(d)()()(21212112222121222112d)()(1lim)(d)()(1lim)(

11、TTTTTTttstsTRttstsTRcrosscorrelation function232.2 确知信号的性质n互相关函数的性质互相关函数的性质若对所有的 ，R12() = 0，表示 s1(t) 与 s2(t) 互不相关；与自相关函数不同，一般情况下，R12() R21()；不难证明： R12() = R21()； R12(0) = R21(0)；R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 与 s2(t) 在无时差时的相关性，它的大小反映 s1(t) 与 s2(t) 的相似程度。uncorrelated242.2 确知信号的性质n能量信号的相关系数能量信号的相关系数n功率信号的相关

12、系数功率信号的相关系数2122212112d)(d)(d)()(ttsttsttsts2122222221222112d)(1limd)(1lim)()(1limTTTTTTTTTttsTttsTdttstsTcorrelation coefficients252.2 确知信号的性质n相关系数的性质相关系数的性质 12 ； 12 = +1 表明 s1(t) 与 s2(t) 完全相似； 12 = 1 表明 s1(t) 与 s2(t) 完全相似，但极性相反； 12 = 0 表明 s1(t) 与 s2(t) 完全不相似，互为正交函数。similar262.2 确知信号的性质n能量信号的相关定理能量信

13、号的相关定理 维纳维纳-辛钦定理辛钦定理ffGffSfSfttsfStffStsttstsRffftftfde )(de )()(dede )()(dde )()(d)()()(2j2j2j2j)(2jcorrelation theorem)()(fGR272.2 确知信号的性质n功率信号的相关定理功率信号的相关定理 维纳维纳-辛钦定理辛钦定理)()(lim)()(limd)()(1limd)()(1lim)(222fPTfSRTRttstsTttstsTRTTTTTTTTTT)()(fPRViener-Khintchine Theorem282.3 随机信号的性质n概率的基本概念概率的基本概

14、念单一事件 A 概率联合事件 (A, B) 的概率1)(, 2 , 1),(lim1NiiiinAPNiAPnn)(),(),(),(, 2 , 1;, 2 , 1),(lim11iNjjijMijijiijnAPBAPBPBAPNjMiBAPnnprobability292.3 随机信号的性质n条件概率条件概率在事件 A 出现的条件下，事件 B 出现的概率条件概率的性质n统计独立统计独立若 P(B | A) = P(B)，则 P(A, B) = P(A) P(B)称 A 和 B 这两个事件为统计独立的。)(),()|(APBAPABP)()|()()|(),(BPBAPAPABPBAPcon

15、ditional probability302.3 随机信号的性质n随机变量随机变量随机变量的定义随机变量定义为概率样本空间的实值函数，记为 X。离散随机变量若随机变量的取值是有限的或者是可数无穷的，则称之为离散随机变量。连续随机变量若随机变量的取值是连续的，则称之为连续随机变量。random variable312.3 随机信号的性质n概率分布函数的定义概率分布函数的定义随机变量 X 的概率分布函数定义为 X 的取值小于或等于 x 的概率，即n概率分布函数的性质概率分布函数的性质FX () = 0FX (+) = 10 FX (x) 1若 x1 x2，则 FX ( x1 ) FX ( x2

16、)P(a X b ) = FX (b) FX (a) )()(xXPxFXCumulative Distribution Function (CDF)322.3 随机信号的性质n离散随机变量的概率分布函数离散随机变量的概率分布函数设 X 的取值为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有ikkiXpxF1)(staircase1x2x3x6x4xxipO5xx1)(xFXO1x2x3x6x4x5x332.3 随机信号的性质n连续随机变量的概率分布函数连续随机变量的概率分布函数 若 x1 x2， 则 FX ( x1 ) FX ( x2 )n概率分布函数

17、的一个特点是单调非减函数。概率分布函数的一个特点是单调非减函数。 x1)(xFXOnondecreasing342.3 随机信号的性质n连续随机变量的概率密度函数的定义连续随机变量的概率密度函数的定义xxFxpXXd)(d)(Probability Density Function (PDF)x1)(xFXOx)(xpXO352.3 随机信号的性质n连续随机变量的概率密度函数的性质连续随机变量的概率密度函数的性质与概率分布函数的关系随机变量的概率非负特性积分恒等于1xXXyypxFd)()(1d)(xxpX0)(xpXbaXxxpbXaPd)()(x)(xpXOabintegral362.3

18、随机信号的性质n离散随机变量的概率密度函数离散随机变量的概率密度函数离散随机变量的概率分布函数的表示离散随机变量的概率密度函数的定义性质n当 x xi 时，pX (x) = 0，n当 x = xi 时， pX (x) = niiiXxxupxF1)()(niiiXxxpxp1)()(impulse372.3 随机信号的性质n二维联合概率分布函数二维联合概率分布函数n二维联合概率密度函数二维联合概率密度函数n统计独立统计独立当且仅当则称随机变量 X 和 Y 是统计独立的。),(),(yYxXPyxFXY),(),(2yxFyxyxpXYXY)()(),(ypxpyxpYXXYjoint CDF

19、and PDF382.4 常见随机变量举例n正态分布随机变量正态分布随机变量222)(exp21)(axxpXnormal distribution)(xpXax392.4 常见随机变量举例n均匀分布随机变量均匀分布随机变量其他01)(bxaabxpX)(xpXbxaab1uniform distribution402.4 常见随机变量举例n瑞利分布随机变量瑞利分布随机变量bxbxabxbxaxpX0)(exp)(2)(2Rayleigh distribution)(xpXxb412.5 随机变量的数字特征n数学期望的定义数学期望的定义离散随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望n数学期望的性

20、质性质数学期望的性质性质E(C) = CE(C X) = C E(X)E(C X) = C E(X)xxpxmXEXXd)()(iiiXpxmXE)(expectation422.5 随机变量的数字特征n方差方差方差的定义离散随机变量的方差连续随机变量的方差)()(22XXmXEXDiiXiXpmxXD22)()(xxpmxXDXXXd)()()(22variance432.5 随机变量的数字特征n方差方差方差的另一种表示标准偏差 X方差的性质nD(C) = 0 nD(X C)=D(X)，D(CX) = C2D(X) 222222)()(XXXXmXEmXmXEmXEXDstandard de

21、viation442.5 随机变量的数字特征n矩矩k 阶原点矩k 阶中心矩性质n一阶原点矩为均值n二阶中心矩为方差moment)()(kkXEXm)()(kXkmXEXMXmXEXm)()(122)()(XXDXM452.5 随机变量的数字特征n常见概率密度的均值和方差常见概率密度的均值和方差分布分布概率密度概率密度均值和方差均值和方差正态均匀瑞利222)(exp21)(axXxp其他01)(bxaabxpXbxbxabxxpabxX0exp)(2)(2)(22XXam12)(222abbamXX4)4(42aabmXXmean462.5 随机变量的数字特征n两个随机变量的数字特征两个随机变量

22、的数字特征均值nE(X Y) = mX mY nE(XY) = mX mY X 和 Y 相互独立方差相互独立和 )()( 2)(2)(2)()()()(2222222222YXYXDmmXYEmYmXEmYmXmYmXEmYmXEYXEYXEYXDYXYXYXYXYXYXYXYXstatistically independent472.5 随机变量的数字特征n两个随机变量的数字特征两个随机变量的数字特征联合原点矩联合中心矩协方差归一化协方差 yxyxpxxYXEXYjijidd),()()(YjXimYmXE)()()()()()(YEXEXYEmYmXEYEYXEXEYXXYYXXYXYjo

23、int moment48关于不相关、正交与统计独立的讨论n独立不相关正交独立不相关正交n不独立相关不正交不独立相关不正交n统计独立：若满足或者统计独立：若满足或者则称则称X,Y相互统计独立，若相互统计独立，若X,Y相互独立则有相互独立则有反之则未必反之则未必n不相关：若协方差不相关：若协方差为零，此时归一化协方差为零，则两随机为零，此时归一化协方差为零，则两随机变量不相关。因此若统计独立必然不相关，反之则未必，变量不相关。因此若统计独立必然不相关，反之则未必，但对高斯过程，反之亦然但对高斯过程，反之亦然n若，则称若，则称X,Y相互正交相互正交,反之亦然。反之亦然。)()(),(,yfxfyxf

24、yxyx必必未必（高斯型除外）未必必未必未必必) 1(YXXYXY0)(XYE)()(),(,yFxFyxFyXyx)()()(YEXEXYEYXYXXYmmXYEYEXEXYEmYmXE)()()()()(492.6 随机过程n随机过程的基本概念随机过程的基本概念随时间变化的随机变量称为随机过程，X(t)Xi(t) 为 X(t) 的一个样本函数或实现，是确定的时间函数X(tk) 为随机变量t)(tXO)(1tX)(2tX)(tXnktrandom process502.6 随机过程n随机过程的数字特征随机过程的数字特征统计平均值)(d);()(tmxtxxptXEXXt)(tXO)(tmXs

25、tatistical average512.6 随机过程n随机过程的数字特征随机过程的数字特征方差)()()()(22ttmtXEtXDXXOt)(tY)(tmYOt)(tX)(tmXsample function522.6 随机过程n随机过程的数字特征随机过程的数字特征自相关函数用自相关函数表示方差当 t1 = t2 = t，有于是，方差可表示为)()(),(2121tXtXEttRX)()()(),(),(221tXEtXtXEttRttRXX)(),()()()(222tmttRtmtXEXDXXXmean square532.6 随机过程n平稳随机过程平稳随机过程严格平稳随机过程的定义

26、一个随机过程 X(t)，若它的 n 维概率密度函数 pX (x1, x2, xn; t1, t2, tn) 不随时间起点的选择不同而改变，即，对任何的 n 和， X(t) 的n 维联合概率密度函数满足pX (x1,x2,xn;t1,t2,tn) = pX (x1,x2,xn;t1,t2 ,tn ) 则称 X(t) 为平稳随机过程。严格平稳随机过程的统计特性与时间起点无关stationary process542.6 随机过程n平稳随机过程的两个典型例子平稳随机过程的两个典型例子Ot)(tYYmYYmYYmOt)(tXXmXXmXXmtime independent552.6 随机过程n平稳随机

27、过程的统计特性平稳随机过程的统计特性平稳随机过程的均值平稳随机过程的方差平稳随机过程的自相关函数XXXXmxxxpxtxxptmd)(d);()(222)()()(XXXtmtXEt)()()(),(21XXRtXtXEttRtime difference562.6 随机过程n平稳随机过程平稳随机过程广义平稳随机过程的定义n严格平稳随机过程与广义随机过程的关系严格平稳随机过程与广义随机过程的关系严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程；广义平稳随机过程不一定是严格平稳随机过程。为广义平稳随机过程。则称满足若随机过程 )( )()(),()()( )( 212122tXRttRttRtmtmtX

28、XXXXXXXwide-sense stationary572.6 随机过程n各态历经性各态历经性统计平均对随机过程的大量样本函数用统计方法求平均而得到的数字特征。时间平均对随机过程的任一样本函数以时间为变量求平均而得到的数字特征。“各态历经”的含义随机过程的任一样本函数都经历了随机过程所有可能的状态。ergodic process582.6 随机过程n各态历经性各态历经性严格意义的各态历经性随机过程的各种时间平均值以概率1等于各相应的统计平均值，称为各态历经过程。X(t) 的时间均值X(t) 的时间自相关函数22d)(1lim)(TTitittXTtX22d)()(1lim)()(TTiit

29、iittXtXTtXtXergodicity592.6 随机过程n各态历经性各态历经性设 Xi(t) 为随机过程 X(t) 的一个实现，若以概率1成立，则称 X(t) 的均值具有各态历经性；设 Xi(t) 为随机过程 X(t) 的一个实现，若以概率1成立，则称 X(t) 的自相关函数具有各态历经性；若X(t) 的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称 X(t) 为广义各态历经随机过程。)()()(XiiRtXtXXimtX)(time average602.6 随机过程n各态历经和非各态历经过程实例各态历经和非各态历经过程实例各态历经过程一定是严格平稳随机过程严格平稳随机过程不一定是各态历经的

30、Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tY)(1tY)(2tY)(3tY)(4tYensemble average612.6 随机过程n信号的物理量与统计值信号的物理量与统计值信号的统计值信号的统计值信号的物理量信号的物理量直流分量直流分量的功率交流分量的功率平均功率有效值交流分量的有效值Xm2Xm2X)(2tXE212)(tXEXcomponent622.6 随机过程n平稳随机过程的自相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数的性质的功率为平稳随机过程 )( )()0(2tXPPtXERXXX)()(XXRR)()0(RRX中直流分量的功率为平稳随机过程 )( )()()(2tXRtXERXX中交

31、流分量的功率为平稳随机过程 )( )()0(22tXRRXXXXinfinite632.6 随机过程n平稳随机过程的功率谱密度函数平稳随机过程的功率谱密度函数信号 s(t) 的功率谱密度函数随机过程 X(t) 中一个样本 Xi(t) 的功率谱密度随机过程 X(t) 的功率谱密度TfSfPTT2)(lim)(TfXfPiTTXi2)(lim)(TfXEfPTTX2)(lim)(even function642.6 随机过程n平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系n平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质PX ( f ) 0PX ( f )

32、 为实函数PX ( f ) 为偶函数ffPRRfPfXXfXXde )()(de )()(j2j2ffPRPXXXd)()0(real function652.6 随机过程n随机相位正弦波的自相关函数随机相位正弦波的自相关函数式中 A 和 fc 常量； 为符合均匀分布的随机变量：先求X(t)的数学期望021sin2sin21cos2cossin2sincos2cos)2cos()(dtfAdtfAtftfEAtfAEtmcccccx)2cos()( tfAtXc其他021)( prandom phase)(tmx662.6 随机过程n由于X(t)的数学期望为常数，自相关函数与时间t无关，因此X

33、(t)为宽平稳的随机过程。)2cos(2)2cos(2d)224cos(212)2cos(2)224cos(2)22cos()2cos()()()(222222ccccccccccXfAfAftfAfEAftfEAftftfAEtXtXER 再求X(t)的自相关函数：67【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。0,!)()(kkeTkPTk+a-ax(t)tt0t-2.6 随机过程68解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两

34、种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化简为： R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 11 )(eaeeaeaR2.6 随机过程69由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式

35、中当取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R()的傅里叶变换求出： 22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj2.6 随机过程702.6 随机过程n实例：随机电报码波形实例：随机电报码波形电报码波形在时间 t 内符号改变的次数 k 符合泊松分布自相关函数功率谱密度t)(txO110!)()(kketkPtkPoisson distribution)(XROf)( fPXO2e)(XR22)2(44)(ffPX712.6 随机过程n实例：频带随机过程实例：频带随机过程功率谱密度自相关

36、函数)(XR其他0)(00fffffAfPX )2cos()2(Sa4)(0fffARX f)( fPXO0f0fAf 2bandpass noise722.6 随机过程n实例：白噪声实例：白噪声白噪声的功率谱密度白噪声的自相关函数white noise2)(0nfPn)(2)(0nRnf)( fPnO20n)(nRO20n732.6 随机过程n实例：带限噪声实例：带限噪声带限噪声的功率谱密度带限噪声的自相关函数band limited noise)(nROf)( fPnO20nHfHf其他02)(HH0fffnfPn)2(Sa2)(HH0ffnRn742.7 高斯过程n高斯过程的一维概率密度

37、函数高斯过程的一维概率密度函数 a 为均值 2 为方差 为标准偏差Gaussian process222)(exp21);(axtxpX)(xpXax5 . 012752.7 高斯过程n高斯过程的二维联合高斯概率密度函数高斯过程的二维联合高斯概率密度函数若这两个随机变量互不相关，即 12 = 0，则222222122111221211212212212121)()(2)()1 (21exp121),;,(axaxaxaxttxxpX);();(2)(exp212)(exp21),;,(22112222212121112121txptxpaxaxttxxpXXXtwo-dimensional76

38、2.7 高斯过程nn 维联合高斯概率密度函数维联合高斯概率密度函数njnkkkkjjjjknniinnnXaxaxtttxxxp1121221211exp)2(1),;,(BBBkjkkjjjknnnnnnaXaXEbbbbbbbbbb)(212212111211BB为归一化协方差矩阵的代数余子式中元素为行列式jkjkbBBcovariance772.7 高斯过程n高斯过程的定义高斯过程的定义若对于任何有限时刻 ti(i = 1, 2, , n)，随机过程 X(t) 的任意 n 维联合概率密度函数符合高斯分布，则该随机过程称为高斯随机过程。t)(tXOjtktdefinition782.7 高

39、斯过程n高斯过程性质高斯过程性质 1高斯过程的 n 维概率密度函数由各个时刻相应的随机变量的均值集合和协方差函数集合完全确定。niatXEmiiXi, 2 , 1)(nkjmtXmtXttCkjXkXjkjX, 2 , 1,)()(),(mean set792.7 高斯过程n高斯过程性质高斯过程性质 2平稳高斯过程的定义若则高斯过程平稳。对高斯过程而言，当它满足广义平稳条件时，也必然是严格平稳的。)(),(, 2 , 1,22kjXkjXXXiXXttCttCnkjiaammii或satisfy802.7 高斯过程n高斯过程性质高斯过程性质 3若任意两个时刻 tj 和 tk 的随机变量 X(t

40、j) 和 X(tk) 两两互不相关，即则 n 维概率密度函数成为对高斯过程而言，不相关和统计独立是等价的。kjnkjttCkjX;, 2 , 1,0),();();();(2)(exp21),;,(22111222121nnXXXniiiiinnXtxptxptxpaxtttxxxpequivalent812.7 高斯过程n正态分布密度函数的性质正态分布密度函数的性质关于 x = a 对称；当 x a，单调升；当 x a，单调降；积分面积为1；当 a = 0， = 1 时为标准化正态分布。x)(xpXOa21normalization822.7 高斯过程n正态分布函数正态分布函数正态概率密度函

41、数的积分定义为正态分布函数x1)(xFXOx)(xpXOaxzazxFxXd2)(exp21)(22distribution function832.7 高斯过程n误差函数误差函数n补误差函数补误差函数xzzx02)dexp(2)(erfxzzx)dexp(2)(erfc2x1)(erf xO1x1)(erfc xO1error function842.7 高斯过程n误差函数与补误差函数的关系误差函数与补误差函数的关系n正态分布函数与误差函数的关系正态分布函数与误差函数的关系n正态分布函数与补误差函数的关系正态分布函数与补误差函数的关系1)(erfc)(erfxx2erf2121)(axaxx

42、FX2erfc211)(axaxxFXcomplementary error function852.7 高斯过程n加性高斯白噪声加性高斯白噪声噪声功率谱密度为常数，即噪声幅度符合高斯分布，即Additive White Gaussian Noise (AWGN)f)( fPnO20n2)(0nfPn222)(exp21)(axxpXx)(xpXO862.8 窄带过程n窄带随机过程的功率谱密度窄带随机过程的功率谱密度带宽 f 有限，且 f fcn窄带随机过程的时域表达窄带随机过程的时域表达aX(t) 为 X(t) 的随机包络，X (t) 为 X(t) 的随机相位ffc fcOPX ( f )(

43、cos)()(tttatXXcXtX(t)Onarrowband process872.8 窄带过程n窄带随机过程在时域的正交分解窄带随机过程在时域的正交分解)()(arctan)()()()(sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()(22tXtXttXtXtattXttXtttatttatttatXcsXscXcsccXcXXcXXcX为正交分量为同相分量)()(tXtXscin-phase component882.8 窄带过程nXc(t) 和和 Xs(t) 的统计特性的统计特性设 X(t) 是均值为0的平稳窄带高斯过程，则EXc(t) = EXs(t)

44、 =0Xc(t) 和 Xs(t) 也是广义平稳的在同一时刻上得到的 Xc(t) 和 Xs(t) 是不相关的和统计独立的。Xc(t) 和 Xs(t) 也是高斯过程；quadrature component222scXXX892.8 窄带过程naX (t) 和和 X (t) 的统计特性的统计特性窄带平稳过程的包络符合瑞利分布窄带平稳过程的相位符合均匀分布20,21)(XXp0,2exp)(222XXXXXXaaaap90n研究正弦波加窄带高斯噪声的目的研究正弦波加窄带高斯噪声的目的很多信号可以近似看作正弦信号；信道通常是有限带宽的；信道噪声可以看成加性高斯过程。n正弦波加噪声的时域表达式正弦波加噪

45、声的时域表达式式中，A 正弦波的确知振幅； 0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位； n(t) 窄带高斯噪声。2.9 正弦波加窄带高斯过程)()cos()(0tntAtrrandom phase912.9 正弦波加窄带高斯过程nr (t) 的包络的概率密度的包络的概率密度式中， 2 n(t) 的方差； I0() 零阶第一类修正贝塞尔函数。r (t)的包络符合广义瑞利分布，也称莱斯分布；当 A 很小时，即信噪比很小，该分布趋于瑞利分布；当 A 很大时，即信噪比很大，该分布趋于高斯分布。0,21exp)(222202xAxAxIxxprRician distribution92nr (t) 包络的

46、概率密度曲线包络的概率密度曲线瑞利分布222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51dB 710.60.50.40.30.20.1O24681012xpr (x)2.9 正弦波加窄带高斯过程modified Bessel function932.9 正弦波加窄带高斯过程nr (t) 相位的概率密度相位的概率密度设 为 r (t) 的相位，它包含正弦信号相位 和噪声相位两部分。 为零时的 r (t) 相位条件概率密度为：当信噪比很小时，相位趋于均匀分布；但信噪比很大时，相位趋于冲激函数。2cos)exp(erf(G)11exp21)(222AGGGApr式中，Signal-to-Noise Ratio (SNR)94nr (t) 相位的概率密度曲线相位的概率密度曲线222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51均匀分布pr ( / )3.02.52.01.51.00.5O1264312521273243652.9 正弦波加窄带高斯过程curve952.10 信号通过线性系统n确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统时域关系频域关系系统冲激响应：h( t )频率响应：H( f )x( t )X( f )y( t )Y( f )输入输出)()()(thtxty)()()(fHfXfYimpulse re