平面向量(沪教版)

1、专题：平面向量的概念知识梳理 1向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。2表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母，或用，表示.注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.3模：向量的长度叫向量的模，记作或.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.4零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向不确定.注意：0和是不同，0是一个数字，代表一个向量，不要弄混.5单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成

2、一个单位圆。6共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量，若存在非零常数使是的充要条件.7相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.练习：判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的. ( )解：有可能方向相反.2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( )3、零向量与任意的向量方向都相同。 ( )4、向量就是一条有向的线段。 ( )5、若，则. ( )6、若，则 ( )解：注意区分0和零向量.典例精讲 例1（）下列说法正确的

3、是（D）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（）给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则四边形ABCD是平行四边形；平行四边形ABCD中，一定有；若，则；若，则正确的是_解析：把一个向量平移后向量是不变的，A,B,C,D有可能在一条直线上，可能是零向量例3. （）在平行四边形中，下列结论中错误的是 （ C ） 课堂检测1（）下列说法中错误的是（ A ）(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行(C

4、)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的2（）已知O在所在平面内，且，且则点O是的（ B ） A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心解：向量经常会放在三角形中考虑，重心：中线交点，外心：垂直平分线交点，垂心：高（垂线）的交点，内心：角平分线的交点。3（）判断下列各命题的真假：（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向一定相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（C）A、2个B

5、、3个C、4个D、5个解：假命题是（2）（4）（5）（6）;（2）向量与向量有一个为零向量，专题：平面向量的数量积知识梳理 1、向量的夹角：已知两个非零向量，如果以O为起点作，那么射线的夹角叫做向量与的夹角的取值范围是（1） 当时，表示向量与方向相同；（2） 当时，表示向量与方向相反；（3） 当时，表示向量与相互垂直。【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是和的实际意义。】2、 向量的数量积已知两个非零向量与的夹角为（），则把叫做与的数量积，记作即（1）两个向量的数量积是一个实数；（2），当且仅当时，（3）已知两个非零向量与的夹角为，则叫做向量在方向上的投影显然在方向上的投影等于（4）的几何意义

6、： 等于其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积【数量积中的运算符号“”不能写作“”，也不能省略。在方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；】3、向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；等等。两个向量垂直的充要条件是：4、向量数量积的坐标表示设，则，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。与夹角为，则与的夹角为锐角等价于且 与的夹角为钝角等价于且【引进向量的坐标表示和运算，揭示了向量的方向的本质属性。】典例精讲 例1.

7、 （）（1）已知向量与的夹角为，且，则在的方向上的投影是 ； （2）在中，求的值。解：（1）与的夹角为，且，又， ， 所以向量在向量方向上的投影是。 （2）， 又， 【（1）在方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；（2）找准向量的夹角，用好数量积公式是解决有关向量数量积问题的两个要点。】例2. （）已知与的夹角为，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围。解： 与夹角为锐角， 即 ,得易知当时，与夹角为 从而得【当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是】巩固练习1. （）已知，与的夹角为，试求与的夹角的余弦值。解：与的夹角的余弦值2. （）已知与的夹角为，

8、当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围。解：或且【是两向量夹角为锐角的必要不充分条件】例3. （）已知，（1）若=4，求；（2）若三角形为直角三角形，求.解：(1),设与为， ，则 （2）若,得若得1或0（舍）若,，得0（舍）【向量在垂直关系中的应用】巩固练习（）在直角三角形，求实数的取值范围解：或或例4（）已知向量,且满足关系,(k为正实数).(1)求证:;(2)求将表示为k的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角.解(1)证明: (2) (3) 当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是此时【向量具有独立的一整套运算体系，它可以上下贯通，左右协调，前后衔接，具有很强的工

9、具性。】例5. （）已知三角形的面积为30，内角所对边长分别为，（1） 求；（2） 若，求的值。解：由，得又（1）（2）由余弦定理得 ： ，又 【三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用】巩固练习（） 已知ABC的面积S满足S3，且6，设与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sin cos 3cos2的最小值解：(1)6，|cos 6.|.又S|sin()3tan ，3tan 3，即tan 1.又(0，)，.(2)f()12cos2sin 2cos 2sin 22sin2，由，得2，2.当2即时，f()min3.则 f()min3.例6.（）已知向量.（1）判断的形状，并说明理由；（2）求数列的通项公式；（3）若的面积为，求解：（1）， 所以为直角三角形。（2），所以成等比数列，公比为，= 即的通项公式为 （3），成等比数列，公比，首项 课堂检测 1. （）已知向量，对任意，恒有，则 ( )A. B. C. D. 解：B2.（） 设，点是线段上的一个动点，若，则实数的取值范围.解：3.（）已知与是非