《概率论与数理统计》课件ch1-2

1、Ch1-2-1 随机事件是随机试验的可能发生随机事件是随机试验的可能发生也可能不发生的试验结果也可能不发生的试验结果, 那么那么,一个事件在一次试验中发生一个事件在一次试验中发生的可能性有多大的可能性有多大? 如如: 修水坝的高度修水坝的高度.能否用一个数来表示能否用一个数来表示? 1.2 随机事件的概率随机事件的概率Ch1-2-2设在设在 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生了发生了m 次，次，一一.概率的统计定义概率的统计定义nm)A(fn则称则称 为事件为事件A发生的发生的频率频率 频率频率:频率越大频率越大,事件发生越频繁事件发生越频繁,事件在一次事件在一次试验中发生的可能性越大

2、试验中发生的可能性越大.描述事件发生的频繁程度描述事件发生的频繁程度 Ch1-2-3频率的性质频率的性质q 1)(0Afnq 1)(nfq 事件事件 A, B互斥，则互斥，则)()()(BfAfBAfnnn非负性非负性规范性规范性有限可加性有限可加性kiinkiin)A(fAf11q 推广：事件推广：事件 两两互斥，则两两互斥，则kA,A,A21可加性可加性Ch1-2-4投一枚硬币观察正面向上的次数投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 2400

3、0, nH =12012, f n( H ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰( ( Buffon Buffon ) )投币投币q 皮尔森皮尔森( ( Pearson Pearson ) ) 投币投币q Ch1-2-5例例 Dewey G. 统计了约统计了约438023个英语单词个英语单词 中各字母出现的频率中各字母出现的频率, 发现各字母出现发现各字母出现 的频率不同：的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0

4、010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006Ch1-2-6频率的特点频率的特点随机波动性随机波动性：n n同，频率未必同同，频率未必同可否用频率表示事件在一次试验中发可否用频率表示事件在一次试验中发生的可能性大小？生的可能性大小？稳定性稳定性： n小，频率波动幅度大；小，频率波动幅度大； n大，大，频率呈现稳定性，趋向一数。

5、且对每一事频率呈现稳定性，趋向一数。且对每一事件，都有这样客观存在的常数与之对应。件，都有这样客观存在的常数与之对应。此频率稳定值与试验无关，由事件自身决此频率稳定值与试验无关，由事件自身决定，是其固有属性。定，是其固有属性。（不适合不适合）（适合适合）Ch1-2-7 概率的统计定义概率的统计定义在相同条件下重复进行的在相同条件下重复进行的 n 次次试验中试验中, 事件事件 A 发生的频率稳定地在某一发生的频率稳定地在某一常数常数 p 附近摆动附近摆动, 且随且随 n 越大摆动幅度越越大摆动幅度越小小, 则称则称 p 为事件为事件 A 的概率的概率, 记作记作 P(A).对本定义的评价对本定义

6、的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用Ch1-2-8 但在实际中但在实际中, ,不可能对每一事件都不可能对每一事件都做大量试验做大量试验, ,从而得到频率的稳定值从而得到频率的稳定值. . 为了理论研究需要为了理论研究需要, ,结合频率的稳定结合频率的稳定性和性质性和性质, ,给出概率的公理化定义给出概率的公理化定义频率稳定于概率频率稳定于概率, 其本质是概率其本质是概率.Ch1-2-9 设设 是是随机试验随机试验E 的的样本空间，若能样本空间，若能找到一个法则，使对于找到一个法则，使对于E 的每一事件的每一事件 A 赋赋予一个实数，记为予一个实数，

7、记为P(A), 称之为事件称之为事件 A 的的概率，若满足下面的三条公理：概率，若满足下面的三条公理：q 非负性非负性：0)(,APAq 规范性规范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性可列可加性：,21AA其中其中 为两两互斥事件为两两互斥事件由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立的年建立的二二.概率的公理化定义概率的公理化定义Ch1-2-10概率的性质概率的性质q 有限可加性有限可加性: 设设 nAAA,21两两互斥两两互斥niiniiAPAP11)(第五章将证明，第五章将证明，n 足够大时，频率一定足够大时，频率一定意义下接近于概率。有理由用概率度

8、量意义下接近于概率。有理由用概率度量事件在一次试验中发生的可能性大小。事件在一次试验中发生的可能性大小。q 0)(P)(1)(APAPq Ch1-2-11具有两个条件的随机试验具有两个条件的随机试验E:q 基本事件的个数有限基本事件的个数有限q 每个基本事件等可能发生每个基本事件等可能发生nm)A(P则则记记 n = 中所包含的基本事件总数中所包含的基本事件总数m = 组成组成A的基本事件的个数的基本事件的个数条件条件：古典：古典( (等可能等可能) )概型概型计算公式计算公式三三.概率的古典定义概率的古典定义Ch1-2-122o 同一题的样本空间中基本事件总数同一题的样本空间中基本事件总数n

9、随随试验设计的不同而不同试验设计的不同而不同, 一般一般n 越小越好且越小越好且n、m 在同一在同一中中注意事项注意事项1o 等可能的等可能的.4o 当当中元素较多时，一般不一一列出，中元素较多时，一般不一一列出，只需分别求只需分别求n n、m m的的个数个数3o 不要重复、遗漏。注意术语：至多，至少，不要重复、遗漏。注意术语：至多，至少，都，不都，都不，是，才是等都，不都，都不，是，才是等Ch1-2-13排列组合排列组合niim1加法原理加法原理：完成一件事情有：完成一件事情有n 类办法，第类办法，第 i 类类 方法中有方法中有 mi 种具体的方法，则完成种具体的方法，则完成 这件事情共有这

10、件事情共有 种不同的方法种不同的方法niim1乘法原理乘法原理：完成一件事情有：完成一件事情有n 个步骤，第个步骤，第 i 个个 步骤中有步骤中有 mi 种具体的方法，则完成种具体的方法，则完成 这件事情共有这件事情共有 种不同的方法种不同的方法预备知识预备知识Ch1-2-14排列排列) 1()2)(1(mnnnnAmn全排列全排列! nAnn可重复排列可重复排列mn组合组合)!( !mnmnCmn!mCAmnmn 从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个 (不放不放 回）按一定的次序排成一列回）按一定的次序排成一列,不同的排法共有不同的排法共有 从从 n 个不同的元素中可重复

11、地取个不同的元素中可重复地取出出 m 个排成一列个排成一列, 不同的排法有不同的排法有 种种 从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个(不放回）组不放回）组成一组，成一组， 不同的分法共有不同的分法共有 种种)!mn(!nCh1-2-15摸球模型摸球模型放球模型放球模型随机取数模型随机取数模型配对模型配对模型四四 种种 模模 型型Ch1-2-161.摸球模型摸球模型从从n n个不同球中一个个取出个不同球中一个个取出m m个，按摸球方式个，按摸球方式（是否放回、排序）不同，摸法总数不同，（是否放回、排序）不同，摸法总数不同，不同，在各自不同，在各自中求事件的概率中求事件的概率无序

12、无序有序有序有放回有放回无序无序有序有序无放回无放回从从n n个不个不同球中同球中任取任取m m个个mnAmnCmnmmnC1Ch1-2-17,109876543211,A108642105nm)A(P1010球编号，从中任取一个，求球编号，从中任取一个，求A=“A=“所取球的编号为偶数所取球的编号为偶数”的概率。的概率。解解1 1奇，偶2A偶21nm)A(P解解2 2例例1-2-11-2-1Ch1-2-18例例1-2-21-2-2 1010个产品个产品,6,6正品正品4 4次品次品. .从中不放回任取从中不放回任取3 3个个, ,求（求（1 1）A=“A=“没次品没次品”（2 2）B=“B=

13、“只只1 1次品次品”（3 3）C=“C=“最多最多1 1次品次品”（4 4）D=“D=“至少至少1 1次品次品”的的概率。概率。310C2614CC36C(1)-362614CCC3416242614CCCCC(2)(3)(4)解解1 P(A)或或Ch1-2-192.放球模型放球模型将将m m个球放入个球放入n个不同盒子，个不同盒子，按放球方式（球按放球方式（球可否区分，每盒可容纳多少球）不同，放法可否区分，每盒可容纳多少球）不同，放法总数不同，总数不同，不同，在各自不同，在各自中求事件的概率中求事件的概率将将m m个球个球放入放入n n个个不同盒不同盒中中每盒最每盒最多放一多放一球球球不同

14、球不同球相同球相同每盒可每盒可放多球放多球球不同球不同球相同球相同mnAmnCmnmmnC1Ch1-2-2034A132314CCC2413AC例例1-2-41-2-4将将3 3个不同球随机放入个不同球随机放入4 4个不同杯中。求杯个不同杯中。求杯中球的最大个数分别是中球的最大个数分别是1 1，2 2，3 3的概率。的概率。解解：2423AC3314CC（1）（2）（3）或或或或4 43 3 Ch1-2-21nnA例例1-2-51-2-5（分房）（分房）n n人，人，N N房（房（n nN N）求（）求（1 1）指定的）指定的n n房各房各1 1人人（2 2）恰）恰n房各房各1人人的概率。的概

15、率。解解： nNA（1）（2）练习练习1-2-21-2-2（生日）（生日） n人（人（n365），求），求至少至少2 人生日同一天的概率。人生日同一天的概率。解解：1Nn n365nA365Ch1-2-223.随机取数模型随机取数模型710A例例1-2-61-2-6 从从0,1, ,9中有放回任取一数，中有放回任取一数，重复重复7次，将所取数左右排列。次，将所取数左右排列。5279C求（求（1）指定的一个排列）指定的一个排列（2）7个数全不同个数全不同（3）不含）不含1，9（4）9恰恰2次次18 87 7 10107 7 的概率。的概率。Ch1-2-232414AC例例1-2-71-2-7 从

16、从1, ,5中任取中任取3数排成一列。数排成一列。35A求（求（1）3位数为偶数位数为偶数（2）3位数不小于位数不小于200的概率。的概率。2412AC35ACh1-2-244.配对模型配对模型410A例例1-2-81-2-8 从从5双不同手套中任取双不同手套中任取4只。求只。求4只都不配对的概率。只都不配对的概率。410C4452A或或或或4452C141618110AAAA410ACh1-2-25 袋中球袋中球a a黑黑b b白，一个个摸出。求第白，一个个摸出。求第k k次次摸出黑球的概率。摸出黑球的概率。练习练习1-2-11-2-1)bak(1解解1 1（全编号全摸出排列）（全编号全摸出排列） 解解2 2（全编号，只考虑前（全编号，只考虑前k k格）格） 11kbaaA)!ba(b