第21节 随机变量-第22节 离散型随机变量及其分布列

1、一、随机变量一、随机变量第第2.12.1节节 随机变量随机变量1. 定义定义: 取值具有随机性的变量称为随机变量取值具有随机性的变量称为随机变量, 它是定它是定义在义在的单值实函数的单值实函数 . 随机变量一般用随机变量一般用X,Y,Z等表示。等表示。非离散型非离散型 分类分类离散型离散型连续型连续型 奇异型奇异型重点研究的随机变量是：重点研究的随机变量是：注注 离散型随机变量、连续型随机变量离散型随机变量、连续型随机变量.引例引例引例引例1 (1) 某人接连不断地对同一目标进行射击某人接连不断地对同一目标进行射击, 直至直至射中为止，射中为止，表示射击次数表示射击次数，则，则: 射击射击1次

2、次 射击射击 2 次次 . 射击射击 n 次次 . X() : 1 2 . n .(2) 某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,乘客在任意乘客在任意时间到达车站时间到达车站,表示该乘客的候车时间表示该乘客的候车时间,: 候车时间候车时间X() : 0, 10返回返回（3 3）从一批产品中任意抽取一件产品，）从一批产品中任意抽取一件产品，X 抽到正品的件数抽到正品抽到正品1抽到次品抽到次品21)(1X0)(2X二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 定义定义: :取有限个或可列个值的随机变量称为取

3、有限个或可列个值的随机变量称为离散型离散型随机变量随机变量. . 2. 概率分布概率分布: 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 一切可能取值一切可能取值为为 , 则称则称为为X的概率函数或的概率函数或 概率分布概率分布.,21nxxx, 2 , 1,)(ipxXPii或者用或者用分布列分布列来表示来表示X x1 x2 . xn .P p1 p2 . pn . 二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 3. 性质性质:(2) p1+ p2+.+ pn +. =1bxaiixXP)(3) P(aXb)=4. 离散型随机变量的分

4、布列有四个用途离散型随机变量的分布列有四个用途:1）验证所得结果是否正确？）验证所得结果是否正确？2）待定常数；）待定常数；3）判断给定的一个数列是否可构成某一个）判断给定的一个数列是否可构成某一个离散型随机变量的分布列？离散型随机变量的分布列？ 4）计算随机变量在任一范围取值的概率。）计算随机变量在任一范围取值的概率。(1) pn0, n =1,2,. 注：满足性质注：满足性质(1) (2)的数列都可以作为某个随机变量的数列都可以作为某个随机变量的概率分布的概率分布.例例1 已知随机变量的分布列为已知随机变量的分布列为X -2 -1 0 1 2 3 P 0.16 0.1c 0.2c 0.2

5、0.1 2c求常数求常数 c 。解：解：054. 03 . 011 . 02 . 02 . 01 . 016. 022ccccc6 . 0c例例2 判断下面各数列是否可成为某随机变量的分布列？判断下面各数列是否可成为某随机变量的分布列？（1）nkpppCknkkn, 2 , 1 , 0),10( ,)1 (（2）(0)0,1,2,!kekk例例3 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为 b 4 0.3 3 0.2 2 a 1XP问：问：, a b应满足什么条件？(35)0.6, .PXa b若求返回返回二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变

6、量及其分布随机变量及其分布5. 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1) 确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值;(2) 计算取每个值的概率；计算取每个值的概率；(3) 列出随机变量的概率分布列列出随机变量的概率分布列.三、四种重要的离散型随机变量的概率分布三、四种重要的离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布X 0 1P 1-p p 1、0-1分布分布 P( X = k )= qk-1p, ( k =1,2,.) q=1-p 2、几何分布、几何分布 nkppCkXPknkkn,.,2 , 1 ,

7、0)1 ()(记为记为 XB(n,p)。3、二项分布、二项分布 4、 Possion分布分布),0;, 2 , 1 , 0(!)( nkekkXPk记为记为XP().注解注解注解注解注解注解注解注解1 1、 0-10-1分布分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 解解: 设随机变量设随机变量 X 表示试验出现表示试验出现“成功成功”的次数的次数, 则则“X = 0”表示试验出现表示试验出现“失败失败”, “X = 1”表示试验出表示试验出现现“成功成功”，P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,所以所以X 的概率分的概率分布为布为: X 0 1 P 1-p p0-1分布分

8、布背景：背景：某试验出现某试验出现“成功成功”的概率为的概率为 p ,出现出现 “失败失败”的概率为的概率为 1 p ，现只进行一次试验，现只进行一次试验,求求“成功成功”出现出现次数的概率分布次数的概率分布.特别特别: : X x0 x1 P 1-p p两点分布两点分布注意注意: 若一次若一次试验只有两个试验只有两个对立结果：对立结果：“成功成功”和和“失败失败”，且，且“成功成功”概率概率为为 p ，则，则 “成成功功”次数的概次数的概率分布为率分布为0-1分分布布.例例1.3.1 袋内有袋内有5个黑球，个黑球，3个白球，每次抽取一个，不个白球，每次抽取一个，不 放回，直到取得黑球为止。放

9、回，直到取得黑球为止。X 为取到白球的数目，为取到白球的数目，Y为为抽取次数抽取次数 ，求，求 X、Y 的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3次的概率。次的概率。解解: (1) X 的可能取值为的可能取值为 0, 1, 2, 3,X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3/8)(5/7)=15/56,类似有类似有P(X=2)=(3/8)(2/7)(5/6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以所以 X 的概率分布为的概率分布为 (2) Y 的可能取值为的可能取值为 1, 2, 3, 4, Y 1 2 3 4P 5/8 15/56

10、 5/56 1/56(3) P ( Y 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) = 6/56P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有类似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y的概率分布为的概率分布为返回返回2 2、几何分布、几何分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布背景：背景：假定一个试验成功的概率为假定一个试验成功的概率为 p (0 p 1),不断独不断独立重复进行试验立重复进行试验,直到首次成功出现为止直到首次成功出现为止,求试验次数的求试验次数的概率分布概率分布.解解: 设设 X

11、表示试验次数表示试验次数, X 取值为取值为1, 2,., n ,., P(X=1)=p, P(X=2)= (1-p)p, ., P(X=k)=(1-p)k-1p,., 记记 q=1-p, 则则 X 的概率分布为的概率分布为:P( X = k )= qk-1p, ( k =1,2,.)几何分布几何分布2、几何分布、几何分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布实际中有不少随机变量服从几何分布，比如：实际中有不少随机变量服从几何分布，比如：(1) 某产品的不合格率为某产品的不合格率为0.05，有放回方式抽查产品，有放回方式抽查产品， 首次首次查到不合格品时的检查次数；查到不合格品

12、时的检查次数； (2) 某射手的命中率为某射手的命中率为0.8，首次首次击中目标的射击次数；击中目标的射击次数；(3) 掷一颗骰子，掷一颗骰子，首次首次出现出现6点的投掷次数；点的投掷次数；同时掷两颗骰子，同时掷两颗骰子，首次首次达到两个点数之和为达到两个点数之和为8的投的投 掷次数；掷次数；等等等等.返回返回3 3、二项分布、二项分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布背景：背景：一般地一般地,若在一次试验中成功的概率为若在一次试验中成功的概率为 p (0p1),独立重复进行独立重复进行n次次,这这n次中试验成功的次数次中试验成功的次数 X 服从的分服从的分布为布为:nkp

13、pCkXPknkkn,.,2 , 1 , 0)1 ()(记为记为 XB(n,p)。 注注: (1) 随机变量随机变量X所服从的分布称为所服从的分布称为二项分布二项分布, n为试验次数为试验次数; (2) 该试验模型称为该试验模型称为 n 次独立重复试验模型次独立重复试验模型或或 n 重重 Bernoulli概率模型概率模型;3 3、二项分布、二项分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 如如:一批产品的合格率为一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取有放回地抽取4次次,每次每次一件一件, 取得合格品件数取得合格品件数 X ,以及取得不合格品件数以及取得不合格品件数 Y 服服从分

14、布为二项分布从分布为二项分布,X 对应的试验次数为对应的试验次数为n=4,“成功成功”即取得合格品，其概率即取得合格品，其概率p=0.8,所以所以, X B(4,0.8)类似类似,Y B(4,0.2)(3) 若若A和和 是是n重重Bernoulli试验的两个对立结果试验的两个对立结果,“成功成功”是指我们感兴趣的特征是指我们感兴趣的特征,p是是“成功成功”的概率，的概率，q = 1-p 是是“失败失败”的概率。的概率。A关于二项分布关于二项分布),(pnBX随机变量随机变量 X 取什么值时，概率最大？取什么值时，概率最大？不为整数时当为整数时当pnpnpnpnpn) 1(,) 1() 1(,

15、1) 1( ,) 1(一个特殊问题一个特殊问题 （最可能成功次数）（最可能成功次数）pnkpnkpnkkpkpnppCppCknkknknkkn) 1(, 1) 1(, 1) 1(, 1)1 () 1(1)1 ()1 (1111) 1( ,) 1(pnpnk当当pn) 1( 为整数时，取为整数时，取同时达到最大；同时达到最大；) 1(pnk的正整数的正整数当当pn) 1( 不为整数时，满足不为整数时，满足pnkpn) 1(1) 1(达到最大；达到最大；分析：分析：3 3、二项分布、二项分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布二项分布是一种常见的离散型分布，比如：二项分布是一种

16、常见的离散型分布，比如：(1) 有放回方式检查有放回方式检查10个产品，个产品，10个产品中不合格品个产品中不合格品的个数的个数X服从二项分布服从二项分布ppB),10(为不合格品率；为不合格品率； (2) 在一个庞大的人群中随机调查在一个庞大的人群中随机调查50个人，个人，50个人中个人中患色盲的人数患色盲的人数Y服从二项分布服从二项分布ppB),50(是色盲率；是色盲率；等等。等等。是射手命中率是射手命中率. (3) 射击射击5次，次，5次中命中次数次中命中次数Z服从二项布服从二项布(5, ),Bpp例例1.3.2 某特效药的临床有效率为某特效药的临床有效率为0.95，今有，今有10人服用

17、，人服用，求至少有求至少有8人治愈的概率人治愈的概率.9885. 005. 095. 005. 095. 005. 095. 01098895. 010BX10X01010101991028810）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（人中治愈的人数，则为设CCCXPXPXPXP例例1.3.3 .11P)., 3(), 2(95）（，求）（若YPXpBYpBX2719331313194020029495)1 (1)0(1) 1(), 3(,)1 (,)0(),0(1) 1(YPYPBYpppCXPXPXP例例1.3.4 甲、乙两棋手约定进行甲、乙两棋手约定进行10局比赛，比赢的局数局比赛

18、，比赢的局数多者为胜。设在每局中甲赢的概率为多者为胜。设在每局中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率，乙赢的概率为为0.4.如果各局比赛是独立进行的，试问甲胜、乙胜、如果各局比赛是独立进行的，试问甲胜、乙胜、不分胜负、乙不输的概率各多少？不分胜负、乙不输的概率各多少？.3670. 02007. 01663. 052007. 051663. 046330. 066 . 010BX10）（乙不输），）（不分胜负），）（乙胜），）（甲胜）所以），（则局比赛中甲赢的局数，表示XPPXPPXPPXPPX解：解：返回返回3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机

19、变量及其分布 1837年法国数学家泊松（年法国数学家泊松（D.Poisson,17811840）首次提出了泊松概率分布，它最初是作为二项分布的首次提出了泊松概率分布，它最初是作为二项分布的近似而被发现的，但随着概率理论的发展和实践的检近似而被发现的，但随着概率理论的发展和实践的检验，证实泊松分布对某一类随机现象有很贴切的描述，验，证实泊松分布对某一类随机现象有很贴切的描述，这类现象称为泊松试验，通俗地讲它具有两个重要特这类现象称为泊松试验，通俗地讲它具有两个重要特征：征：（1）所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生）所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生一次的机会均等；一次的机会均等；

20、（2）所考察的事件在任何一个区间里，发生与否和在）所考察的事件在任何一个区间里，发生与否和在其他区间里发生与否没有相互影响，即是独立的。其他区间里发生与否没有相互影响，即是独立的。3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布泊松分布是一种常见的离散型分布，它常与单位时间泊松分布是一种常见的离散型分布，它常与单位时间（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系，（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系，比如：比如：在单位时间内，电话总机接到用户呼唤的次数；在单位时间内，电话总机接到用户呼唤的次数；在单位时间内，一电路受到外界电磁波的

21、冲击次数；在单位时间内，一电路受到外界电磁波的冲击次数；1平米内，玻璃上的气泡数；平米内，玻璃上的气泡数；一铸件上的砂眼数；一铸件上的砂眼数；在单位时间内，某种放射性物质分裂到某区域的质点数；在单位时间内，某种放射性物质分裂到某区域的质点数；一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数；一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数；3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布一定路段内，路面出现大损坏的次数；一定路段内，路面出现大损坏的次数；一定时间段内，放射性物质放射的粒子数；一定时间段内，放射性物质放射的粒子数；一定页数的书刊上出现的错别

22、字的字数；一定页数的书刊上出现的错别字的字数；都服从泊松分布，因此泊松分布的应用面是十分都服从泊松分布，因此泊松分布的应用面是十分广泛的广泛的.3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布定义定义: 若随机变量若随机变量X的概率分布为的概率分布为),0;, 2 , 1 , 0(!)( nkekkXPk则称则称X服从参数为服从参数为的的 Possion分布分布,记为记为XP().X 表示一定时间段或一定空间区域或其它特定单位表示一定时间段或一定空间区域或其它特定单位内某一事件出现的次数。内某一事件出现的次数。解：由题意，每解：由题意，每

23、60分钟接到电话的平均次数是分钟接到电话的平均次数是42次，次，那么那么10分钟内接到电话的平均次数应为分钟内接到电话的平均次数应为4260107次次定义随机变量定义随机变量处接到的电话次数分钟内航空公司预定票10X)7( PX149.0)6(7!676eXP可使用可使用Excel中的统计函数中的统计函数 计算泊松分布计算泊松分布POISSON的概率，的概率，BINOMDIST计算二项分布的概率。计算二项分布的概率。例例1.3.5 假定某航空公司预定票处平均每小时接到假定某航空公司预定票处平均每小时接到42次订票电话，那么次订票电话，那么10分钟内恰好接到分钟内恰好接到6次电话的概率是次电话的

24、概率是多少？多少？例例1.3.6 一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊的泊松分布，试求此铸件上至多有一个砂眼（合格品）的松分布，试求此铸件上至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率个砂眼（不合格品）的概率.返回返回3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布一般地一般地,对成功率为对成功率为p 的的 n 重重Bernoulli实验实验,只要只要n 比较比较大大, p 较小较小,(n 20, p0.05), 有有()()(1)!kkkkn knpnnpP XkC ppeekk(0,1,2, ;0)kn二项分布的近似计算二项分布的近似计算例例3.1.7. 枪击飞机枪击飞机,每次命中目标的概率为每次命中目标的概率为0.001,连续射连续射击击5000次次,求击中求击中2弹或弹或2弹以上的概率弹以上的概率.解解:设命中次数为设