抛物线的几何性质(2)PPT学习教案

1、会计学1抛物线的几何性质抛物线的几何性质(2)平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做.定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的.定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的. 的轨迹是抛物线。则点若MMNMF, 1FMlN 复习复习注意：定点注意：定点不不在定直线上。在定直线上。第1页/共38页 练习练习解析解析:(3,5)点在直线点在直线2x+3y-21=0上上,所以到所以到(3,5)与与定直线距离相等的点是过定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直且与直线垂直的直线线.D第2页/共38页 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线

2、 标准方程标准方程yxoyxoyxoyxo第3页/共38页根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是）准线方程是x = ；41 （3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2.y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y 练习练习课本课本P59 1第4页/共38页填表填表:下列抛物线的焦点坐标和准线方程下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y2 = 20 x （2）x2= y（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =021焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1

3、）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2 练习练习（文）课本（文）课本P59 2第5页/共38页标准标准方程方程图形图形焦点焦点准线准线)0 ,2(p)2,0(p)2, 0(p)0 ,2(p2px 2px2py2py )0(22ppxy) 0(22ppxy)0(22ppyx) 0(22ppyx0 x0 x0y0y轴x轴x轴y轴y)0 , 0() 0 , 0 ()0 , 0()0 , 0(1e1e1e1ex xy yo oF Fx xy yo oF Fx xy yo oF Fx xy yo oF F范围范围对对称称轴轴顶顶点点

4、离心离心率率第6页/共38页AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 或或xyyx2294.23 题型一题型一 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程第7页/共38页 (2)令令x=0,由方程由方程x-2y-4=0得得y=-2,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F(0,-2)时时,设抛物线方程为设抛物线方程为x2=-2py(p0),则由则由 =2得得p

5、=4,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y.令令y=0,由方程由方程x-2y-4=0得得x=4,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F(4,0)时时,设抛物线方程为设抛物线方程为y2=2px(p0),则由则由 =4得得p=8,所求抛物线方程为所求抛物线方程为y2=16x.综上综上,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y或或y2=16x.2p2p题型一题型一 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例例1:求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上;第8页/共38页（3） 求焦点在求焦点在x轴上轴上,且点且点A(-2,3

6、)到焦点的到焦点的距离是距离是5的抛物线的方程的抛物线的方程,并写出它的焦点坐并写出它的焦点坐标与准线方程标与准线方程.第9页/共38页2222222x,y2px(p0),FFA5:2)035 ,p8p480,p12p4,p12,y24x,6,0 ,x6,p4,y8x,2,(,0),0 ,x2.2(2pp 解焦点在 轴上 可设抛物线方程为则焦点为由得即解得或当时 抛物线的方程为它的焦点坐标为准线方程为当时 抛物线的方程为它的焦点坐标为准线方程为第10页/共38页 22 (2010)y8xF,l,P,PAl,A,3,.4 3.8.8 3.16AFPFABCD【例 】辽宁 设抛物线的焦点为准线为为

7、抛物线上一点为垂足 如果直线斜率为那么B【变式训练变式训练2】 (2010湖南湖南)设抛物线设抛物线y2=8x上一点上一点P到到y轴的距离是轴的距离是4,则点则点P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是( )A.4 B.6 C.8 D.12B第11页/共38页 M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点）上一点，若点M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是OyxFM这就是这就是抛物线抛物线的焦半的焦半径公式径公式! 练习练习px02 第12页/共38页故故|PA|+y= |PA|+|PF|-1,由图可知由图可知,当当A P F三点共线三点共线时时

8、,|PA|+|PF|取最小值为取最小值为|AF|= 13.故所求距离之和故所求距离之和的最小值为的最小值为|AF|-1=12.第13页/共38页179.3. 5.22ABCD22117(0)(20).22d最小距离A第14页/共38页26.6x3y2x,yA.2,解 将代入抛物线方程得点 在抛物线内部21277,Pl:xd,PAPFPAd,APl, PAd,PAPFP2,y2x,x2.P2,22.,2 设抛物线上点 到准线的距离为由定义知由图可知 当时最小最小值为即的最小值为此时 点纵坐标为 代入得点 坐标为第15页/共38页 22( ,0),y2x.1AP,PA. 2P,Pxy30,.3已知

9、抛物线设点 的坐标为在抛物线上求一点使最小在抛物线上求一点使 到直线的距离最短 并求出距离【7】的最小值例题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题(理科理科P 53 10)第16页/共38页 222222(3211()2().333 1P x,y ,PA)yx0,x0,P2,3AAP 0,0 .xxxx解设则 且在此区间上函数单调递增 故当时有最小值离 点最近的点题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题第17页/共38页 20200000020| 21:P x ,yy2x,Pxy33|3|222|(1)5|,2 25 2.41( ,10y1.2,d)Pyyx

10、ydy方法设点是抛物线上任一点则 到直线的距离为当有最小值点 的坐标为题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题第18页/共38页222P x,yyx,|24|24|(1)Px1,d3,5553 515P,1,xyxxxd解析 设为抛物线上任一点 则 到直线的距离所以当时取最小值此时。 (1,1)题型四题型四 与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题第19页/共38页题型五题型五 焦点弦问题焦点弦问题解解 方法方法1:如下图如下图,由抛物线由抛物线方程可知方程可知,焦点焦点F(1,0),因而因而直线直线AB的方程为的方程为y=x-1,代入代入y2=4x得得x2-6x+1=0

11、,设设A(x1,y1) B(x2,y2),则则x1+x2=6,x1x2=1 21212|2()4|2(364)8.ABxxx x第20页/共38页112212122:A x ,y,B x ,y,AFAx1|AA |,AFAAx1,BFx1ABAFBFxx2628. 方法设由抛物线的定义知等于点 到准线的距离即同理题型五题型五 焦点弦问题焦点弦问题第21页/共38页 122112200012212 2, 23 11,ABxx .x6x10 x3y ,y.2y2px p0A x ,yFAFx,FABx2 2,(,0),22xp.kxpp 规律技巧解法 利用“设而不求”的思想方法利用韦达定理及两点间

12、的距离公式求解 也可以代入弦长公式还可以求出方程的两个根进一步求出代入两点间距离公式抛物线上一点到焦点的距离这就是焦半径公式 过焦点 的弦长题型五题型五 焦点弦问题焦点弦问题第22页/共38页3,15,xy2x1.【变式训练 】顶点在原点 焦点在 轴上的抛物线被直线截得的弦长为求抛物线的方程22112221212yax a0 ,y2x1A x ,y,B x ,y.y4x4,21,41,.a x10,xxx x44yaxyxa解 设所求抛物线方程为直线与抛物线交于由消去 得则题型五题型五 焦点弦问题焦点弦问题22222ABa12a441(12 )()415,4,4a160.y12xy4x.4a

13、由解得或均满足所以抛物线方程为或（文（文P42）第23页/共38页（理（理P51）题型五题型五 焦点弦问题焦点弦问题222,222.(,), (, ),222,()2():( ),.,.(),24.pxpxypxppAp Bpypxpyxpyxtanp222190lAB2p90ltantan2x2pptanxtan0解当时 直线 的方程为由得当时直线 的方程为由得第24页/共38页22222(,), (,),2,2( ) ( ),|.2.2pptantanpptanpptansin11221212A x yb x yxxABxxp2190AB2p设则由知 当时的值最小为题型五题型五 焦点弦问题

14、焦点弦问题第25页/共38页【例例9】 直线直线l:y=kx+1,抛物线抛物线C:y2=2x,当当k为何值时为何值时,l与与C有有:(1)一个公共点一个公共点;(2)两个公共点两个公共点;(3)没有公共点没有公共点.22222k x2k2 x10,k0,2x10,xlCk0,2k24k1,21,8k4.0,1,21,( ,1).21l2C.ykxyxyk 解由得当时 方程为直线 与 只有一个公共点当时当时 即时 与 有一个公共点第26页/共38页 0,lC.0,k,lC.,1k0k,lC.2kk0,lC.3,l121212121C.2kk 当时 即时 与 有两个公共点当时 即时 与 没有公共点

15、综上所述当或时 与 有一个公共点当且时 与 有两个公共点当时 与 没有公共点 规律技巧规律技巧 在判断直线与抛物线只有一个交点时在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种有两种情况情况:直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行;利用利用=0,此时直此时直线与抛物线相切线与抛物线相切.第27页/共38页 规律技巧规律技巧 在判断直线与抛物线只有一个交点时在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种有两种情况情况:直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行;利用利用=0,此时直此时直线与抛物线相切线与抛物线相切.【练习练习】已知已知抛物线抛物线y2=4x, 直线直线l过定点过定点P(-2，

16、1)，斜率为，斜率为k. 当当k为何值时为何值时,l与抛物线有与抛物线有:(1)一个公一个公共点共点;(2)两个公共点两个公共点;(3)没有公共点没有公共点.（课本（课本P 62 例例5）第28页/共38页231lA(y2px,l., ),2pp【变式训练 】已知直线 过点且与抛物线只有一个公共点 求直线 的方程222l,:ypkly2px,3().2x:ky2py23k p0px解 当直线 与抛物线相切时 直线与抛物线只有一个公共点 设直线方程为将直线 的方程与联立 消去 得（文（文P 43）0,kk1.l:2x6y9p02x2yp0lx,l,yp,:2x6y9p02x2yp0yp.13 由

17、得或直线 的方程为或当直线 与 轴平行时 直线 与抛物线只有一个交点此时故满足条件的直线共有三条 其方程为或或第29页/共38页题型六题型六 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系解解:如图所示如图所示.(1)若直线的斜率不存在若直线的斜率不存在,则过点则过点P(0,1)的直线方程为的直线方程为x=0.显然只有显然只有一个公共点一个公共点,即直线即直线x=0与抛物线只与抛物线只有一个公共点有一个公共点.第30页/共38页22 ,1yxykx第31页/共38页解解:设弦的两端点分别为设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则则x1+x2=2,y1+y2=-2.又又y21=8x

18、1,y22=8x2,y21-y22=8(x1-x2),故所求直线方程为故所求直线方程为y+1=-4(x-1),即即4x+y-3=0.12121284.yyxxyy 题型六题型六 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系第32页/共38页通径通径：过抛物线的焦点作对称轴：过抛物线的焦点作对称轴的的垂线与抛物线交于两点，则该两垂线与抛物线交于两点，则该两点点为端点的线段称为抛物线的为端点的线段称为抛物线的通径通径。(2)(2)通径长决定抛物线的开口大小通径长决定抛物线的开口大小(1)(1)通径长为通径长为p2演示演示第33页/共38页m2m4m6ll lm2m4m2hxyoABCDEF第34页/共38页例例 斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x的焦的焦点点,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A、B两点两点,求线段求线段AB的长的长.xyoF(,0)x+=0法法1 ：利用两点间距离公：利用两点间距离公式式221212(