A洛必达法则PPT学习教案

1、会计学1A洛必达法则洛必达法则.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;0)(lim,0)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及可以除外可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在设设定理定理1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则. .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时及及时时当当 xaxaxP108第1页/共30页证证定义辅助函

2、数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(1111xFxfaFxFafxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 第2页/共30页例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原式原式. 例例2 2解解.123

3、lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(第3页/共30页例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(.cos12lim0 xeexxx 求求)00(解解. 2coslimsinlim00 xeexeexxxxxx原式原式第4页/共30页注：注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立

4、刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例：求例：求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。第5页/共30页注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例5 5解解.tansinlim20

5、 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原式原式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 第6页/共30页.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及可以除外可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在设设定理定理2.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时及及时时当当 xaxax第7页/共30页)0(lim)2);0(lnlim)16 为正整数，为正整数，求求例例nexxxxnxx）（）

6、（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原式原式解解 xnxexlim)2xnxenx 1lim xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！无穷大量无穷大量的的阶阶数数依依次次递递增增。、xxxexx ln第8页/共30页例例7 7解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )( axbxxcoscoslim0 33sinsin3limcos3coslimcos3sin3cossinlim222 xxxxxxxxxxx原式原式例例8 8.3tantanlim2xxx

7、 求求)( 解解第9页/共30页型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例8 8解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 第10页/共30页例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0

8、 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型。不定型。00第11页/共30页型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 通过通过)(ln)()()(xfxgxgexf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0型。型。例例1010解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 第12页/共30页例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 x

9、xe.1 e例例1212解解.)(limln10 xxctgx 求求)(0 ,)()ln(ln1ln1ctgxxxectgx 取对数得取对数得)ln(ln1lim0ctgxxx xxctgxx1sin11lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式第13页/共30页例例: 求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 21)(cosxxxxecosln12xxxcosln1lim 20( 0型)20coslnlimxxx).00( 型xxxx2)sin(cos1lim0 xxxxsincos21lim021所以: 210)(coslimxxxxxxecosln1l

10、im2021 e第14页/共30页解法二解法二: 210)(coslimxxx(1型)21cos1cos10) 1(cos1limxxxxx211coslim 20 xxx而21210)(coslim exxx故第15页/共30页例例解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用法则不是万能的法则不是万能的第16页/共30页()lim()xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeeelim).(型xx

11、xxxxxxx2221lim/1lim/1limlimxxxxxeeee第17页/共30页例例: 求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: 第18页/共30页洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好它求极限方法结合使用，效果更好. .方法包括：方法包括：1。该分出的因子应及时分出；。该分出的因子应及时分出；2。能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；。能用等价无穷小代替的因子应

12、及时用等价无穷小代替；3。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。第19页/共30页常用八个等价无穷小常用八个等价无穷小: :,0时时当当 x2 sin tan arcsin arctan1 ln(1)11 cos2(1)1(0)xaxxxxxxxxxxxexxxaxa第20页/共30页等价无穷小代换等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 注意注意:只能对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和只能对函数的因子作等价无穷小

13、代换，对于代数和中的各无穷小不能分别代换中的各无穷小不能分别代换. .第21页/共30页例例: 求xxxx30sinarcsinlim解解: 当 x0时. sin3x x3xxxx30sinarcsinlim30arcsinlimxxxx).00( 型2203111limxxx222011131limxxxx2202011lim131limxxxxx61第22页/共30页例例3011 sinlimsinxxxx.1212sinlim30 xxxx30sinlim( 11 sin )xxxxxx第23页/共30页xxx)arctan2(limxxxe)arctan2ln(lim2/1)arcta

14、n2ln(limeexxx例例第24页/共30页三、三、 讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点点0 x的连续性的连续性. .解：解：f(0-0)=f(0)=21e)00()1ln( 1)1ln(11)(ln2xxxxxxxf 0limx)(lnxf 0limxxx211121f(0+0)=21e因此，因此，f(x)在在x=0连续。连续。第25页/共30页例例 设设f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处具有二阶导数，处具有二阶导数，求极限求极限hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)( )( lim0/0)()(2)(lim00020000)(2)()(lim0/00000 xfhxfhxfh)( )( lim)( )( lim212)( )( lim000000000hxfhxfhxfhxfhhxfhxfIhhh20000)()(2)(limhhxfxfhxfh解：解：20000)()(2)(limhhxfxfhxfh解：解：=f”(x0)第26页/共30页洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数令令gfy 第27页/共30页用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(