污水处理费用分担-数学建模

1、 数学建模课程设计报告题目： 污水厂费用分担问题及其最优解决方案 姓名1： 陈琰炜 学号：201220181105 姓名2： 曾亮 学号： 201220181118 姓名3： 唐益 学号： 201220181110 专 业 软件工程班 级 1221811 指导教师 ：邱淑芳建模小组联系电话 2014 年 6 月 29 日 摘要在当今资源稀缺的市场经济时代，如何优化配置各种有限资源对一个公司或国家来说越来越重要。谁能够找出合理最优的配置方案谁就有可能在激烈的市场竞争环境中生存下来。本案例针对问题8：费用分担问题提供出了一种合理的模型。问题7中提供了2种方案，第一种方案是每个城镇独立建污水处理厂，

2、这种方案最简单，计算较为方便。直接利用常规数学知识就可以得出最后需要的费用。每个城镇最后的费用Wi=C1*Qi,(i=1,2,3)即最后的总的费用M=W1+W2+W3;由于每个城镇的污水量都有区别，所以每个城镇都独立建厂显然不能充分利用资源。所以我们考虑是否可以采用第二种方案。第二种方案，第二种方案又有4种可能： 1.三个城镇共用一个污水处理厂； 2.城镇一和城镇二共用一个； 3.城镇二和城镇三共用一个； 4.城镇一和城镇三共用一个；针对这四种可能我们可以抽象用一种模型来处理，我们可以将其抽象为一个图的问题，在具体一点就是一个求最短路径问题，那么我们就可以利用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

3、就可以找出其最优解。进而就可以找出其最优方案。关键字：污水处理，污水厂选址，数学建模。 目录1. 摘要-22. 问题的重述与分析-43. 基本假设-54. 符号的约定-65. 原理与模型-66. 参考文献-137. 评分表-14 费用分担问题及其最优解决方案一、问题重述与分析1.1 问题的重述有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式： 已知三城镇的污水量分别为：Q1

4、=5立方米/秒，Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米/秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？1.2 问题的分析首先，从政府的角度出发，每年财政收入是一定的，在针对环境治理污水处理这一块肯定是以最少的费用达到最好的效果是最好的。所以这里的资源的最优配置就是资金的合理配置。其它类似资源的配置可根据本模型类似求解。明白了本例中的资源配置下一步就要分析其中的决定因子，显然决定费用多少的决定因子有多种，但是不可能就所有的决定因子进行讨论，所以必须进行必要及合理的假设。假设其由建厂费用C1，管道费用C2，维护运营费用C3及效益回报值P决定。本例要解决的就是怎样合理配置才

5、能以较小代价达到比较理想的回报。其实种问题类似线性规划问题中的求最优界问题，但是由于其中涉及的决定因子（变量）较多并且其中涉及到许多非线性问题，所以利用一般的线性规划已经无法解决。所以必须要找到一种能够表示多个因子或者说多个量间关系的模型，这个模型不仅能够表示出其中的复杂的关系同时也能进行一定的逻辑运算进而得出最优解 。这是我们的最终目的。因此我们由此联想到数据结构中的相关知识，利用数据结构中的图的模型就可以轻松解决该问题二、基本假设1. 假设三个城镇距河流的距离相等；2. 假设如果分别独立建厂的话，每个厂的规模都相同且都能够满足需要；3. 假设每个城镇的污水量是固定不变的；4. 假设污水处理

6、厂的地址只能在三个城镇中选；5. 假设污水处理厂无论在那个城镇其运营费用都是不变的；6. 假设无论哪个城镇其污水处理后的效益回报值是一样的；7. 假设城镇承担的费用与其污水量间的比例呈线性关系；三、符号的约定 C1: 污水处理厂的建厂费用； L: 污水管道长度； C2：管道费用； C3: 污水处理厂的运营费用； P: 污水处理后的效益回报值； W: 开支总费用； Wi: 第i个城镇建厂的费用； Qi: 第i个城镇的污水量； A: 城镇1； B: 城镇2； C: 城镇3；四、原理与模型4.1 模型的建立与求解这里可以将三个城镇A,B,C抽象为该模型的三个顶点，首先考虑第一种可能即三个城镇共用一个

7、处理厂。且又根据假设可知处理厂只可能是A,B,C中之一，即 该模型即可实例化为以A,B,C为顶点的一个比较简单的图，而此时又有三种情况：1. 处理厂建在A点，此时有A点到B的路径及B点到C的路径分别为: D1=C1+C2+C3-P； C1=730*Q10.712(万元)； C2=6.6*QAB0.51*L1; L1=20(公里);QAB=(Q1+Q2)/2; D2=C2-P; C2=6.6*QBC0.51*L2; L2=38(公里);QBC=(Q2+Q3)/2;即最后，总的费用为W1=D1+D2;下面用lingo得出的数据 其中min表示w1; c3,p分别赋值为固定值30,20.（下同）2.

8、处理厂在B点，此时有B点到A的路径和B点到C的路径分别为： D1=C1+C2+C3-P； C1=730*Q20.712(万元)； C2=6.6*QBA0.51*L1; L1=20(公里);QBA=(Q1+Q2)/2; D2=C2-P; C2=6.6*QBC0.51*L2; L2=38(公里);QBC=(Q2+Q3)/2;即最后，总的费用为W2=D1+D2;3.处理厂在C点，此时有C点到B点和B点到A点的路径分别为： D1=C1+C2+C3-P; C1=730*Q30.712(万元)； C2=6.6*QCB0.51*L2; L2=38(公里);QCB=(Q2+Q3)/2; D2=C2-P; C2

9、=6.6*QBA0.51*L1; L1=20(公里);QBA=(Q2+Q!)/2;即最后，总的费用为W2=D1+D2;（注）因为在C点建厂和在A点建厂公式代码都是一样的所以费用应该相同，所以此处就不显示代码了！计算可知三种情况中第二种费用最少，即三个共用一个时将处理厂建在B出即城镇二最好。下面来讨论第二种情况，即有两个城镇共用一个处理厂，另外一个单独建厂，这里又有三种情况：1. A和C共用一个，可知建A和建C是一样的，则假设建在A处，有： D1=C1+C2+C3-P; C1(A)=730*Q10.712(万元)；/C1(A)表示在A建厂 C2=6.6*QAC0.51*L; L=58(公里);Q

10、AC=(Q3+Q1)/2; D2=C1(2)+C3-p; C1(B)=730*Q20.712(万元)；/C1(B)表示在B建厂即最后，总费用为W=D1+D2; 2.B和C共用一个，假设建在B,则有： D1=C1+C2+C3-P; C1(B)=730*Q20.712(万元)； C2=6.6*QBC0.51*L2; L2=38(公里);QBC=(Q2+Q3)/2; D2=C1+C3-p; C1(A)=730*Q10.712(万元)； 即最后费用为：W=D1+D2; 假设在C,则有： D1=C1+C2+C3-P; C1=730*Q30.712(万元)； C2=6.6*QBC0.51*L2; L2=3

11、8(公里);QBC=(Q2+Q3)/2; D2=C1+C3-p; C1=730*Q10.712(万元)； 即最后费用为：W=D1+D2;3. A和B共用一个，假设在A,则有： D1=C1+C2+C3-P; C1=730*Q10.712(万元)； C2=6.6*QBA0.51*L1; L2=20(公里);QBC=(Q2+Q1)/2; D2=C1+C3-p; C1=730*Q30.712(万元)； 即最后费用为：W=D1+D2; 假设在B，则有： D1=C1+C2+C3-P; C1=730*Q20.712(万元)； C2=6.6*QBA0.51*L1; L2=20(公里);QBC=(Q2+Q1)/

12、2; D2=C1; C1=730*Q30.712(万元)； 即最后费用为：W=D1+D2;第二种情况带入计算可知，A和B共用一个并且建在B费用最少。最后一种情况就是，三个城镇分别独立建厂，此时只有一种情况有：D1=C1=730*Q10.712(万元);D2=C1=730*Q20.712(万元);D3=C1=730*Q30.712(万元);即最后费用为：W=D1+D2+D3;综上所述，可知第一种情况即三个城镇共用一个处理厂费用最少，并且此时处理厂应该建在B点即城镇二处。此时有：B处即城镇二处承担的费用为：WB=C1+C2*Q2/(Q1+Q2);C1=730*Q20.712(万元);C2=6.6*

13、QBA0.51*L1;QAB=(Q1+Q2)/2;A处即城镇一承担的费用为：WA=C2*Q1/(Q1+Q2);C2=6.6*QBA0.51*L1;QAB=(Q1+Q2)/2;C处承担的费用为：WC=C2*Q3/(Q2+Q3);C2=6.6*QBC0.51*L2;QBC=(Q3+Q2)/2;4.2数学实验的线性关系 11213N V(s)04000640 V(sN)000250 V(s)-V(sN)04000390 |s|1223W(|s|)1/31/61/61/3W(|s|) v(s)-v(sN) 0670130 4.3 模型的评价1.模型的优点 为了较为真实的接近真实情况，模型中考虑了多种情

14、况，以期更加贴近真实。并且采用了数据结构中著明的迪杰斯特拉算法来对模型进行重构，提高了模型的可靠性。本例中由于因子较少所以没能体现出模型对于复杂数据关系处理的优越性，如果有较多的元素越多越趋近于真实，该模型便可充分体现出其优越性。2. 模型的缺点 模型虽然能够表示多重元素间的各种关系，特别是较复杂时其优点是很明显的。但是，由于该模型的复杂度为O(n2)模型有时会过于复杂，当因子较多时花费时间可能会比较长，5、 参考文献1 李浩 博弈论 .hk/books?id=3vic 2014年6月9日数学建模论文统计表专业： 班级： 班级联系人与电话：学号姓名题目自评（满分100）教师评分（满分100）备注201220181105陈琰炜污水厂费用分担问题及其最优解决方案95201220181109唐益污水厂费用分担问题及其最优解决方案85201220181118/曾亮污水厂费用分担问题及其最优解决方案85东华理工大学课程设计评分表学生姓名： 、 、 班级： 学号： 、 、 课程设计题目： 项目内容满分实 评选题能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求（3人一题）5工作量适中，难易度合理10能力水平能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力10理论依据充分，数据准确，公式推导正确10能应用计算机软件进行编程、资料搜集