数学建模论文-悬崖跳水模型

1、全国数学建模大赛培训题目:悬崖跳水模型 组号：19组 学院：理学院 姓名 ：# 2012年8月2日悬崖跳水模型 摘要本文利用数学里的微分法，针对悬崖跳水的安全问题建立方程，然后利用物理学里的知识，将各个过程受力分析，建立模型。对于问题一，我们把选手看成圆柱形状，将下落过程，看成自由落体运动，得出入水前的速度为，求得水对人的冲击力为4159N，相当于选手以22.36的速度去撞击一个414kg的，会对头部会造成脑震荡和脑淤血的伤害，所以选择用脚先入水。对于问题二 ，对于空气和水的阻力我们引入雷诺系数，之后根据三个过程受力分析，得出微分方程，结合微分法简化，应用MATLAB软件求解结果。首先本文将此

2、过程分为三个过程：第一过程，对有空气摩擦与无空气摩擦时圆柱体从跳板到触水这一过程受力分析，得出微分方程模型。第二过程，由人水系统能量守恒、动量守恒和流体力学的知识，建立能量守恒微分方程模型。第三过程，入水到速度减为安全速度3.5。然后利用MATLAB软件求解出第一过程将触水时的男女末速度，第二过程完全入水的末速度，第三过程速度减为安全速度时所运动的路程，得出求出深度分别为：对应于25m的跳台，若不考虑空气阻力，男性是9.0643m女性是5.722m，考虑空气阻力时，男性是8.9942m，女性是5.633m。对于问题三,本文分为两种情况：一是身高不变，半径变化；二是半径不变，身高变化。分别建立微

3、分方程模型，得出速度的变化率跟半径无关，只与运动员的身高有关，且半径越大，速度变化越快，减速到安全速度的时间也就越短，所需水池的深度据少一点。最后得出结论：身高越高所需水池越深。此模型的理想化，使得在建立模型过程简洁明了使得复杂的模型在简单的模型下同样可以达到要求。但是在做模型分析的时候，参照的知识有一定的缺陷性和完整性，使得结果具有一定的误差。关键字： 微分方程模型 雷诺系数 能量守恒 流体力学悬崖跳水模型 1、 问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行

4、过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。 在此我们需要求解两个问题： 1. 计算、分析并回答，悬崖跳水选手是脚先如水，还是头先如水。2. 跳台下面的水池跳水要多深才能安全，请大家分两种情况给以计算：（1）在悬崖到水面之间，不考虑空气阻力；（2）在悬崖到水面之间，考虑空气阻力；在计算的过程中要求将人体看成圆柱形状。3. 分别就上述两种情分析析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。所以需要将人体看成是一个圆柱体模型，求解出圆柱体的半径，再对其进行物理分析其，下落过程，与水碰撞过程，进入水面过程等。2、 问题分析对于问题一 ，由物理知识得知，当选手从跳台跳下去，在地球的引力下有一个重

5、力加速度，高度越高，到达水面时的速度越大，与水面撞击的作用力就越大，选手受到的力也就越大，这样选手就承受不住那样大的力而受到破坏。当然，还要看选手和水面的接触面积，接触面积越大，比如是水平拍上去了，受的力就大；栽进去的话，受的总作用力就小。由于把选手看成一个圆柱体，则无论是脚先入水，还是头部先入水，选手和水面的接触面积一样。所以，我们建立一个简单的物理模型求出选手到达水面时的速度和接触水后的冲击力，所以，只要分别计算分析头部先入水和脚先入水的冲击力，如果脚先入水，当头部入水时，选手的速度会减少，而同时又受到水的浮力和水的阻力，故我们要计算出两者的入水的情况下，水对头部冲击力，比较两者冲击力的大

6、小，从而得出回答问题。对于问题二这是一个不同条件下，不考虑空气阻力和考虑空气阻力，在保证运动员安全的情况下，对跳水运动员的运动进行分析，求解水池最少应该多深的物理动力学的问题。对此，我们对运动员从悬崖跳下到在水里速度为零这个过程进行具体的分析，我们把运动员的这部分的运动分为三个阶段：1. 运动员从跳板跳下到触水过程：运动员从跳板跳下，完成所要的动作后，人体笔直，用脚先接触水。在这个过程中，运动员受到重力和空气阻力，在重力的影响下，人在做加速运动，而空气阻力跟速度成正比，随着人速度的增大，空气阻力也随着增大。因此，根据物理运动学，运动员在这个过程中在做加速度减小的加速运动。2. 碰撞过程：运动员

7、与水碰撞到整个人进入水中，在这个过程中，运动员受到重力、浮力和水对运动员的流体阻力的作用，其中，根据物理浮力学知，在这个过程中，运动员所受浮力是随人体进入水里的体积的增大而增大。3. 运动在水中直到速度减到安全速度时的过程：在水里，运动员受重力、浮力和水对运动员的流体阻力。其中，重力和浮力是恒定的，水的阻力跟运动员的速度成正比。3、 模型假设1. 假设运动员跳水状态形似圆柱体下落，质量分布均匀，其中运动员的高度就是 圆柱体的高度，圆柱体的体积就是运动员的体积如图1所示；2. 假设运动员在空气和水中不受空气和水流速的影响；3. 假设人落入水中速度将为最小速度为零，此时的深度为安全深度界限；4.

8、假设下降过程不受空气阻力，选手在空中的姿态不影响速度。4、 符号定义 运动员腾空的高度 运动过程中的速度 重力加速度（9.8） 流体的相关作用力 物体的动能 运动员的身高 运动员的质量 运动员模拟成圆柱体的半径 运动员所处位置的高度或深度 运动员的瞬时速度 常温下空气密度 常温下水的密度 粘滞系数 雷诺系数 阻力系数 空气阻力 水的阻力 运动员在水中的浮力 运动员进入水中的体积5、 模型建立与求解5.1问题一5.1.1圆柱半径：通过对20-40岁跳水运动员国际标准查询，男女跳水运动员对应跳台高度、身高、质量平均为：身高(m)体重(g)密度(g/cm3)男1.76740001.05女1.6757

9、0001.05根据这些数据，由解得人看成圆柱体的半径：男11.51cm、女10.37cm.5.1.2模型建立在建模过程中，我们把选手看成圆柱形状，在选手从跳台到水面的运动过程中，建立一个理想的模型,忽略空气阻力，则选手下落过程中，可以看成自由落体运动，根据运动学方程建立模型，我们可以得出运动员下降过程的模型为： 由公式求最后求的运动员将要与水发生碰撞时的速度模型为： 5.1.3模型求解假设，根据公式带入数据可以求出。即选手与水面接触的瞬时速度为,在碰撞时候由于水的阻力的作用： 由于水的密度为，根据以上所求的数据带入式中，求得=4159，则水对人的冲击力为4159，然后转化质量为：424。根据以

10、上求出的水的冲击力相当于一个414的物体，当头部先入水时，则就是说选手以22.36的速度去撞击一个414物体，头部的骨骼比较脆，又根据网上查找的医学的相关知识，这对选手的头部会造成脑震荡和脑淤血的伤害，更甚者会使选手出现生命的危险。 当脚先入水时，选手以22.36的速度去撞击一个414物体，由于选手在这个阶段脚有弯曲缓冲的作用来减少冲击力对身体的影响，就算，冲击力想当的大，脚会受到一定的伤害，但头脑还是清醒的，比起脑震荡，脑淤血，甚至其它对脑部更严重的危害，也是较轻的。更因为脑部是控制人体的主要躯干。综上的假设，物理知识及分析可以得出，选手必须是脚先入水，才能减少冲击力对人身体造成的影响或伤害

11、。5.2 问题二5.2.1 雷诺系数根据三个过程受力表达式，结合微分法简化，应用Matlab软件求解结果。其中整个下降过程重力不变为质量与重力加速度之积；水的浮力为水的密度、重力加速度与圆柱形入水体积之积；空气和水的阻力需根据雷诺系数确定：雷诺系数当雷诺系数大于时，阻力系数为0.4；雷诺系数小于大于1时，阻力系数为；当雷诺系数小于1时，阻力系数为。5.2.2 模型的建立1 跳板到触水的过程：1) 不受空气阻力：g受力分析列方程可得： 2) 考虑空气阻力：fmg受力分析列方程可得： 得： 2 碰撞过程：由人水系统能量守恒、动量守恒和流体力学的知识可得：碰撞前后能量守恒： 即： 3 入水到速度减为

12、安全速度：水底面5.2.3模型求解1 板到触水的过程：1) 不考虑空气阻力： 对其二重积分带入数值、男女跳水高的分别是28m、20m、。得：速度(m/s2)男子23.63女子20.042) 考虑空气阻力：阻力系数： 水和空气对应得密度和粘滞系数情况表：由此当时，人从跳板跳下加速到是非常短的，所以我们可将运动员下落的过程看成是的情况，。所以微分方程可化为：使用MATLAB求解（见附录一）得：由，所以：而，所以：-25*(log(tanh(1/10*(g*s*e)(1/2)*2(1/2)*t)-1)+log(tanh(1/10*(g*s*e)(1/2)*2(1/2)*t)+1)-i*pi)/s/e

13、代入数值：类型身高面积密度男1.760.0416空气1.205女1.670.0338水1000解得：速度()男子23.301女子19.8912 碰撞过程模型求解：阻力系数：当时，人从跳板跳下加速到是非常短的，所以我们可将运动员下落的过程看成是的情况，。代人数值解得：类型不考虑空气阻力速度考虑空气阻力速度男12.8912.544女9.209.0393 入水到速度减为安全速度3.5： 而，用MATLAB软件求解（程序见附录二）得结果：h(t)=-50/e/s*m*log(cos(1/10*(t+C1)/m*2(1/2)*(g*(l*e*s-m)*e*s)(1/2)+C1v(t)=5*sin(1/1

14、0*(t+C1)/m*(2*g*e2*s2*l-2*g*e*s*m)(1/2)/cos(1/10*(t+C1)/m*(2*g*e2*s2*l-2*g*e*s*m)(1/2)/e/s*(2*g*e2*s2*l-2*g*e*s*m)(1/2)代入数值解得：类型不考虑空气阻力考虑空气阻力男7.30437.2342女4.0523.963在这个基础上再加上对应身高就是要求得值：类型不考虑空气阻力考虑空气阻力男9.06438.9942女5.7225.6335.3 问题三需要求解的是不同体重对水深的要求，因为在模型中本文没把人看着是圆柱体，所以：在身高不变的情况下，我们分为两种情况：一是身高不变，半径变化；

15、二是半径不变，身高变化。 由(4)微分方程知不考虑空气阻力下，下落速度的变化率与人体半径和身高都没关系；而(5)半径越大，速度的变化率越慢，落到水面的速度也就更慢；（6）代表的是碰撞阶段，下落的深度更运动员得身高是一样的；（7）代表的是模型中第三个阶段，由方程知道，半径越大，速度变化越快，减速到安全速度的时间也就越短，所需水池的深度据少一点。综上知：运动员的体重越大，半径越小，所需求水池的深度也应更深。6、 模型评价与分析 模型的优点：（1） 此模型的理想化，使得在建立模型过程简洁明了，在计算中，求出一些数据来求出速度和冲击力，从而达到最后分析后的结果，这样，可以引伸到复杂的模型，得出同样的分

16、析后结果，这样一来，使得复杂的模型在简单的模型下同样可以达到要求。（2） 模型分析中，参考了一些相关的医学伤害知识，使得分析过程更加合理，具有一定的说服能力。（3） 此模型考虑到了运动员碰撞时能量的损失，使得模型更具实用性，解析结果更加精准。模型的缺点：(1) 模型忽略的空气阻力的影响和人的身在空中的客观因素，变量的计算有一定的简约化，所计算出来的速度跟实际刚入水时的速度有差距，从而使得水对人体的冲击力有误差。(2) 在做模型分析的时候，参照的知识有一定的缺陷性和完整性。参考文献1 刘建军，张宝华. 流体力学M. 北京:北京大学出版社，2006.2 陆 果. 基础物理学教程M. 北京:高等教育

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