动态仿真2014

1、系统动态的仿真模型系统动态的仿真模型东北大学东北大学 崔建江崔建江 (2014 (2014版版) )一一. . 系统仿真（系统仿真（SimulationSimulation） 1. 1. 系统仿真：系统仿真：使用计算机对一个系统的结构和行为进行动使用计算机对一个系统的结构和行为进行动态模拟态模拟为决策提供必要的参考信息。为决策提供必要的参考信息。 2. 2. 仿真模型：仿真模型： 由计算机程序控制模型的运行由计算机程序控制模型的运行 从从数值上数值上模仿实际系统的动态行为。模仿实际系统的动态行为。3. 3. 仿真模型的特点：仿真模型的特点： 对象真实、复杂，进行模仿。对象真实、复杂，进行模仿。

2、4. 4. 关于仿真技术关于仿真技术 仿真技术已经成为最重要的和最流行的分析动态仿真技术已经成为最重要的和最流行的分析动态系统模型的方法。系统模型的方法。 微分方程的精确解方法具有局限性。微分方程的精确解方法具有局限性。 非常多的微分方程我们不知道如何求解。非常多的微分方程我们不知道如何求解。 定性分析方法可用于讨论系统的动态行为，定性分析方法可用于讨论系统的动态行为， 但是对某些问题我们需要定量的答案。但是对某些问题我们需要定量的答案。 仿真技术非常灵活。仿真技术非常灵活。 可以不困难地将诸如时滞或随机因素等复杂的属可以不困难地将诸如时滞或随机因素等复杂的属性引入模型。性引入模型。 这些是难

3、以用解析的方法处理的。这些是难以用解析的方法处理的。4. 4. 仿真过程仿真过程 现实系统的分析：现实系统的分析： 了解背景，明确目的，提出总体方案。了解背景，明确目的，提出总体方案。 组建模型：组建模型： 确定变量确定变量, , 明确关系明确关系, , 设计流程设计流程, , 编制程序编制程序 运行检验：运行检验： 确定初始状态，参量数值，确定初始状态，参量数值， 运行程序，检验结果，改进模型。运行程序，检验结果，改进模型。 输出结果：输出结果： 清单、记录、重要的中间结果等。清单、记录、重要的中间结果等。微分方程模型的示例微分方程模型的示例n微分方程（微分方程（连续模型连续模型）组建的）组

4、建的微元法微元法n在自变量的在自变量的微小的区间微小的区间内以内以简单的形式简单的形式描描述有关变量之间的平衡关系述有关变量之间的平衡关系, , n再利用微积分学的思想进一步处理它再利用微积分学的思想进一步处理它, ,得到得到以以微分方程微分方程的形式描述的数学模型的形式描述的数学模型。例例 池水含盐池水含盐n问题问题 池中有一定体积的盐水，池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入一定浓度的盐水从池的上部向池中注入一定浓度的盐水混合后的盐水将从池的下部流出。混合后的盐水将从池的下部流出。建模描述池中盐水浓度的动态。建模描述池中盐水浓度的动态。n假设：假设： 1. 1. 盐水注入池中后迅速混合

5、盐水注入池中后迅速混合 2. 2. 池中盐水浓度均匀。池中盐水浓度均匀。n平衡关系平衡关系 在时间段在时间段t,t+t内内, , 池中盐水体积的改变量等池中盐水体积的改变量等于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差；之差； 在时间段在时间段t,t+t内内, , 池中池中( (纯纯) )盐的改变量等于盐的改变量等于这段时间内流入的这段时间内流入的( (纯纯) )盐的量与流出的盐的量与流出的( (纯纯) )盐盐的量之差。的量之差。n变量、参量：变量、参量： 池中盐水体积池中盐水体积 V(t), 池中盐水浓度池中盐水浓度 p(t); 流入盐水速度流入盐水速

6、度 rI(t), 流入盐水浓度流入盐水浓度 pI(t); 流出盐水速度流出盐水速度 rO(t), 流出盐水浓度流出盐水浓度 pO(t).n模型分析模型分析 池中盐水的改变量池中盐水的改变量 V(t+t)-V(t) 流入盐水量流入盐水量 流出盐水量流出盐水量n池中纯盐的改变量池中纯盐的改变量 p(t+ t)V(t+ t)-p(t)V(t) 流入纯盐量流入纯盐量 流出纯盐量流出纯盐量 ( ) ( )ttOOtprd tttIdr)( tttIIdrp)()( tttOdr)(n利用积分中值定理，可得利用积分中值定理，可得)()()()()()(trtptrtptVtpdtdOII)()(trtrd

7、tdVOIdrprptVtpttVttpOtttII)()()()()()()()() ()( ) ( )() ()()()IIOp tt V ttp t V tp tt r ttp tt r ttt 类似地有类似地有n由假设知道由假设知道pO(t)p(t)，则，则n两边除以两边除以t，令，令 t0n模型模型000( )( )( )( )( )( )( )( )(0)IItIOdp tV tr tptp tdtV tVrdrdpp 特别，当特别，当 rI (t)= rO (t)=r(t) 时时, V(t)=V00( )( )( )( )Idp tr tptp tdtV n二二. . 系统仿真举

8、例系统仿真举例n例例 1. 1. 池水含盐池水含盐n池中有池中有盐水盐水 2000 m2000 m3 3，含盐，含盐 2 kg2 kg，n以以 6m6m3 3 / / 分分 的速率向池中注入浓度的速率向池中注入浓度 0.5 kg / m0.5 kg / m3 3 的的盐水，盐水，n又以又以 4 m4 m3 3 / / 分的速率从池中流出混合后的盐水。分的速率从池中流出混合后的盐水。n如果池中盐水浓度达到如果池中盐水浓度达到 0.2 kg / m3时，时，n将注入池中的盐水改变为清水，将注入池中的盐水改变为清水，n问何时池中盐水的浓度能够问何时池中盐水的浓度能够n被稀释到这个浓度的被稀释到这个浓

9、度的50%，即达到，即达到0.1 kg / m3？ 回顾机理模型000( )( )( )( )( )( ) ( )( )(0)IItIOdp tV tr tp tp tdtV tVrdrdpp)0()(,VrttVrrrdtdVOI)()()(tVprtptVrdtdpIII n系统分析：系统分析：n池中有盐水，池中有盐水，n匀速注入浓盐水，匀速注入浓盐水，n匀速流出混合后的盐水，匀速流出混合后的盐水，n池中盐水的浓度变化。池中盐水的浓度变化。n 目的：仿真池中盐水浓度的变化，给出达到给定浓目的：仿真池中盐水浓度的变化，给出达到给定浓度的时间。度的时间。 n变量、参量变量、参量n 时间时间 t

10、 t，体积，体积 V(tV(t), ), 盐量盐量 S(tS(t), ), 浓度浓度 p(tp(t); );n 流入流速流入流速 r rI I=6, =6, 流入浓度流入浓度 p pI I=0.5, =0.5, n 流出流速流出流速 r rOO=4, =4, n 改变时候的盐水浓度改变时候的盐水浓度 p p* *=0.2=0.2，改变的时刻，改变的时刻t t* *，n 终止时候的盐水浓度终止时候的盐水浓度 p p* *=0.1=0.1，终止的时刻，终止的时刻t t* * *。n 时间步长时间步长 t t , , 打印步长打印步长 T.T.n关系关系: : 在在 t, t, t+t+t t 内有

11、内有 trrtVttVOI)()()(ttprprtSttSOII)()()()(/)()(ttVttSttpn 动态系统仿真的伪代码动态系统仿真的伪代码n运算运算 池水含盐动态系统模拟池水含盐动态系统模拟n变量变量 V(nV(n)=)=时刻时刻 n n 池中盐水体积池中盐水体积n p(np(n)=)=时刻时刻 n n 池中盐水浓度池中盐水浓度n S(nS(n)=)=时刻时刻 n n 池中盐水含盐量池中盐水含盐量n tt = = 时间单位时间单位 n N = N = 仿真时间长度仿真时间长度n输入输入 tt，V V(0), p(0), S(0), N(0), p(0), S(0), N n过程

12、过程 Beginn for n=0 to N don Beginn V(n+1)V(n)+(rI-r0) tn S(n+1)S(n)+ripi-r0p(n)tn p(n+1)S(n+1)/V(n+1)n Endn Endn输出输出 V(1), V(2), , V(n)n S(1), S(2), , S(n)n p(1), p(2), , p(n) 系统仿真流程图系统仿真流程图初始化初始化V(0),S(0),p(0)仿真时钟仿真时钟 t=0打印时钟打印时钟T=0计算计算V(t+t),S(t+t),p(t+t)时钟步进时钟步进t=t+t, T=T+1p(t)p*Tm 打印打印输出输出YNn考虑到系

13、统运行过程中输入参数的变化，设置指标ind来标志输入条件的转换，令ind=1表示输入池中盐水的浓度为pI（0）ind=0表示流入池中的水为清水（pI=0）n在仿真的过程，可以每运行m个时间步长打印输出一次计算的结果。 n输入条件改变的系统流程图仿真V(t+t)S(t+t),p(t+t) 选择ind 时钟步进 t=t+t, 指标ind=1仿真时钟t=0初始V(0),S(0),p(0)参数ri,ro,pi1Yp(t)p*pi=0，ind=0结束Yp(t)p*0打印NNMatlab 程序程序t=1; v=2000;s=2;p=1/1000;% 初始状态初始状态ri=6;ro=4;po=0.5;p1=

14、0.2;p2=0.1;% 参数参数V=v(end); S=s(end); P=p(end); x=0;% 打印记录打印记录while p(end)p1%调整输入前动态调整输入前动态 t=t+1; %时钟步进时钟步进 v=v, 1; s=s, 1; p=p, 0; %变量步进变量步进 v(t)=v(t-1)+ri-ro; s(t)=s(t-1)+ri*po-ro*p(t-1); p(end)=s(end)/v(end); %仿真计算仿真计算end; t1=t-1; %调整输入时间调整输入时间for k=1:floor(t1/20);% 打印结果打印结果 x=x,20*k;V=V,v(20*k+1

15、);S=S,s(20*k+1);P=P,p(20*k+1);end if floor(t1/20)=p2%调整后动态调整后动态 t=t+1; %时钟步进时钟步进 v=v, 1; s=s, 1; p=p, 0; %变量步进变量步进 v(t)=v(t-1)+ri-ro; s(t)=s(t-1)+ri*po-ro*p(t-1); p(end)=s(end)/v(end); %仿真计算仿真计算end; t2=t-1; %结束时间结束时间for k=floor(t1/20):floor(t2/20) %打印结果打印结果 x=x,20*k;V=V,v(20*k+1);S=S,s(20*k+1);P=P,p

16、(20*k+1)end if floor(t2/20)= 200Add 1Add含盐问题仿真的含盐问题仿真的simulink模型模型例例2 2 研究种群增长的研究种群增长的LogisticLogistic微微分方程模型分方程模型解的渐近性质，即当解的渐近性质，即当t t 时，时，N(tN(t) )的变化性质的变化性质 ? ? 其中其中 r0 K0. r0 K0. (1)dNNrNdtK方程方程 dN/dtdN/dt=f(Nf(N) )的定性分析的定性分析称称f(Nf(N* *)=0)=0的常数解的常数解NN* *为方程的平衡态解。为方程的平衡态解。如果，如果，0, 0, 0, 0, 使得使得,

17、 , 对方程的任意解对方程的任意解N(tN(t) )当当|N(0)-N|N(0)-N* *| 时时 有有| |N(tN(t)-N)-N* *| |0t0成立成立则称则称NN* *为为稳定的平衡态稳定的平衡态。否则，称否则，称NN* *为不稳定的平衡态。为不稳定的平衡态。若，当若，当t t 时，时， N(tN(t) ) NN* *则称则称NN* *为为全局渐近稳定的平衡态全局渐近稳定的平衡态。局部线性化方法局部线性化方法令令N(t)=N*+W(t)，代入方程，代入方程dN/dt=f(N)只保留关于只保留关于W的线性主部，得到在平衡解的线性主部，得到在平衡解N*附附近的近的局部线性化方程局部线性化

18、方程。 dW(t)/dt=f (N*)W(t)， 由线性微分方程解由线性微分方程解W(t)=W(0)e f (N*) t的性质知，的性质知，当当f (N*)0时，时，0) t (Wlimt) t (Wlimt可以证明（参见可以证明（参见常微分方程教程常微分方程教程- -丁同仁丁同仁）对原方程对原方程 dN/dtdN/dt=f(Nf(N) )，当当f f (N(N* *)0)0时时, , 平衡解平衡解NN* *是不稳定的，也就是不稳定的，也就是说，随着时间是说，随着时间t t的增加，存在解轨线的增加，存在解轨线N(tN(t) )远远离平衡解离平衡解NN* *。当当f f (N(N* *)0)0时

19、时, , 平衡解平衡解NN* *是渐近稳定的，从是渐近稳定的，从任意初值任意初值NN0 0出发的解出发的解 N(tN(t) )满足，当满足，当t t 时，时，N(tN(t) ) NN* *特别，方程特别，方程 dN/dtdN/dt=r(1-N/K) N :=r(1-N/K) N :=f(Nf(N) )有两个平衡解，有两个平衡解，NN* *=0 =0 和和 NN* *=K=K。因为因为f f (N)=r(1-2N/K)(N)=r(1-2N/K)，由由f f (K)=-r0, (K)=-r0 (0)=r0 得知得知 NN* *=0=0是不稳定的平衡解。是不稳定的平衡解。因此，对任意初值因此，对任意

20、初值N(0)N(0)，当，当t t 时，解时，解N(t)N(t)K K。N(tN(t) )的变化性质与参数的变化性质与参数r r无关。无关。*连续模型的离散化nLogistic模型的离散化n10.分离变量n两端对时间区间k,k+1积分，得n因此在离散时间点k=0,1,2上的模型值为 ,()KdNrdtN KNdNdNrdtNKN(1)(1)/( )( )rN kKN keN kKN k( )(1)(1)( )1N kN kN kKn如果设X(k)=(-1)N(k)/K，则模型变为n这种离散没有附加任何新的限制，它描述了连续模型在给定时间点上的动态。n它称为离散的Logistic模型。(1)(

21、)1( )X kX kX kn20.对于一般的非线性动态模型，只能对状态变量在离散时间段上进行一些假设来近似地离散化。n模型：n假设在每一个时间区间k,k+1)上状态变量的变化率dN/dt是保持定常不变的，即n在时间区间k,k+1)上积分，得()dNF N Ndt( )( )( )( ), ,1)F N tN tF N kN k tk k(1)( )( )( ).N kN kF N kN kn对于Logistic模型，就得到n如果令n则 n其中r1.n称为二次映射模型。它仅仅依赖一个参数。n它将在一定的条件下呈现处类似于logistic型饱和增长的动态特征，以后会发现它会呈现出更复杂的动态特征

22、。( )( )(1)( )(1)( )1( )N kN kN kN krN krrN kKK (1)( )(1)rX kN krK(1)1( )( )X kX kX kn30.对于非线性模型，如果假设每个时间区间k,k+1)上状态变量的百分变化率 保持定常不变，即n分离变量n在时间区间k,k+1)积分，得dNNdt( )( ), ,1)F N tF N ktk k1( )dNF N t dtN( )(1)( )F N kN keN kn对于logistic模型，有n其中er，r/K.n许多鱼类种群的增值行为基本符合这个假设，因此渔业中经常用此模型描述鱼群的动态变化，称之为Ricker模型。n令

23、n则n它将在一定的条件下呈现处类似于logistic型饱和增长的动态特征，以后会发现它会呈现出更复杂的动态特征。(1( )/)( )(1)( )( )rN kKN kN keN keN k( )(1)( )X kX keX k( )( )X kN kn参数对系统动态行为影响的仿真模型参数对系统动态行为影响的仿真模型n连续：连续：Logistic模型模型n离散：二次映射模型离散：二次映射模型 X(k+1)=(1-X(k)X(k)n其中其中r r1 1， n条件条件： dN/dt在离散时间间隔内是在离散时间间隔内是保持不变的。保持不变的。(1)dNNrNdtK(1)( )(1)rX kN krKn

24、离散模型是否还具有连续的模型具有的饱和增长的动态行为？n模拟：给定参数，进行模拟。由于X(0)在0,1上，于是取初值X(0)=0.1,=0.5，1.5，2.5，3.25，3.5，3.58，模拟离散动态系统30(或50)个时间段Maltab程序： mu=0.5；X（1）=0.1 for k=1:30 X(k+1)=mu*(1-X(k)*X(k); end plot(X)0510152025303500.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1051015202530350.10.150.20.250.30.35051015202530350.10.20.30.4

25、0.50.60.70.8051015202530350.10.20.30.40.50.60.70.80.901020304050600.10.20.30.40.50.60.70.80.9051015202530350.10.20.30.40.50.60.70.80.9种群灭绝饱和增长一个跳跃周震荡，两个点周期震荡四个点混沌细看混沌n不妨取X的初值为0.6；参数 在区间1，4内按步长间隔为0.001逐步增加取值；n每一步在迭代模型200次后，对不同的参数值标出50个点的种群平衡状态的数值；n由于这幅图主要描述了种群变化的周期波动的现象，而且这些周期是按照2，4，8，等周期成倍增加的。n因此人们称

26、这幅图为倍周期分叉图。nmup=1:0.001:4; %设置参数变量设置参数变量nm=length(mup); %参数变量个数参数变量个数nnp=zeros(m,50); %设置打印矩阵设置打印矩阵np=1;nfor mu=1:0.001:4n n=0.6;n for i=1:200 n=mu*(1-n)*n;end %计算前计算前200步步n q=1;n for i=1:50n n=mu*(1-n)*n; np(p,q)=n; q=q+1; %计算后计算后50步并存入打印矩阵步并存入打印矩阵n endn p=p+1;nend nfor i=1:50n plot(mup,np(:,i),.,M

27、arkerSize,0.5); hold on; %打印图形打印图形nend倍周期分叉描述稳定态n当3.5,比较粗糙，可以使参数间隔更小来刻画，比如 3.563.6,和3.8a2 , b1 b2n目标：目标： 确定条件使得在确定条件使得在B0之前，之前， R0 n我们将用两个状态变量：我们将用两个状态变量：nx1=R，红军部队的兵力单位数量，红军部队的兵力单位数量nx2=B，蓝军部队的兵力单位数量，蓝军部队的兵力单位数量n战斗问题的离散时间动态模型：战斗问题的离散时间动态模型：n x1= - a1x2 - b1x1x2n x2= - a2x1 - b2x1x2n算法：算法：DISCRETE T

28、IME SIMULATIONn变量：变量：x1(n)=在时刻在时刻n的第的第1状态变量状态变量n x2(n)=在时刻在时刻n的第的第2状态变量状态变量n N= 时间阶段数时间阶段数n输入：输入：x1(0), x2(0)， N n过程：过程：Begin n for n=1 to N do n Begin n x1(n) x1(n-1)+f1 ( x1(n-1), x2(n-1)n x2(n) x2(n-1)+f2 ( x1(n-1), x2(n-1) n Endn Endn输出输出: x1(1), , x1(N) n x2(1), , x2(N)n参数估计参数估计n初始初始x1(0)=5和和 x

29、2(0)=2。时间步长。时间步长 t=1小时。小时。n推测，一个典型的正规战斗进行大约推测，一个典型的正规战斗进行大约5天，天，n每天持续约每天持续约12小时。小时。n这意味着一支部队在大约这意味着一支部队在大约60小时的战斗中消耗灭亡小时的战斗中消耗灭亡n如果一支队伍在如果一支队伍在60小时内每小时减员小时内每小时减员5%，n那么剩余的部分将是那么剩余的部分将是(0.95)60=0.05, 结果看来正确结果看来正确n令令 a2 =0.05。 n因为炮火在杀伤力方面通常不如直接交火有效，因为炮火在杀伤力方面通常不如直接交火有效，n令令 b2 =0.005.n(注意到注意到b2 与与x1和和x2

30、相乘，这就是为什么我们要将相乘，这就是为什么我们要将它的值取得如此小。它的值取得如此小。) n假设篮军比红军具有更有效的武器，假设篮军比红军具有更有效的武器，n因此因此 a1a2 且且 b1 b2。n假设假设 a1= a2 , b1 = b2, 1。n分析的目的是要确定最小的分析的目的是要确定最小的 使得在使得在x20之前之前, x10成立。成立。n于是模型为于是模型为n x1= - a2x2 - b2x1x2n x2= - a2x1 - b2x1x2n我们将通过对若干个我们将通过对若干个 的值运行模拟程序求解这个的值运行模拟程序求解这个问题。问题。n分别对分别对 =1、1.5、2、3 和和5

31、 运算这个模型。运算这个模型。n这样可以使我们知道这样可以使我们知道 应该是多大，应该是多大，n同时可以使我们对照人们对情形的直觉判断来检同时可以使我们对照人们对情形的直觉判断来检验模拟的结果。验模拟的结果。n例如，我们可以检验是否例如，我们可以检验是否 越大，对蓝军越有利。越大，对蓝军越有利。n模拟结果模拟结果n优势（优势（） 战役时间战役时间 胜方胜方 剩余队伍剩余队伍n 1.0 8 R 4.4n 1.5 9 R 4.1n 2.0 9 R 3.7n 3.0 10 R 3.0n 5.0 17 R 1.0n 6.0 13 B 0.6n n结论：结论：n我们模拟了一场我们模拟了一场5个师的红军进

32、攻和个师的红军进攻和2个师的蓝军个师的蓝军防守的交战。防守的交战。n我们假设双方全力投入并坚持战斗直到一方完全我们假设双方全力投入并坚持战斗直到一方完全获胜。获胜。n我们要研究能够弥补数量上处于我们要研究能够弥补数量上处于5:2的劣势的武器的劣势的武器有效性（杀伤力）的强度。有效性（杀伤力）的强度。n我们对不同的武器精良性比率模拟了若干次战斗我们对不同的武器精良性比率模拟了若干次战斗n我们发现蓝军需要至少我们发现蓝军需要至少5.4:1的武器上的优势才能的武器上的优势才能战胜数量处于优势的战胜数量处于优势的5个师的红军队伍。个师的红军队伍。n灵敏性分析灵敏性分析n对这类多数数据完全来自猜测的问题

33、做这样的分对这类多数数据完全来自猜测的问题做这样的分析特别重要。析特别重要。n我们从研究伤亡系数的数值和战斗结果之间的关我们从研究伤亡系数的数值和战斗结果之间的关系入手。系入手。n已经假设已经假设a2 =0.05, b2= a2 /10, a1= a2 和和b1 = b2 n现在我们让现在我们让a2 变化，且保持它与其它变量的关系变化，且保持它与其它变量的关系n我们将研究我们将研究 min对对a2的依赖关系，的依赖关系，n这里这里 min定义为使得蓝军取胜的最小的定义为使得蓝军取胜的最小的 值。值。n于是对每个于是对每个a2值运行模型若干次。值运行模型若干次。n不需要将结果都列表表示，不需要将

34、结果都列表表示，n因为对每种情形我们都检验因为对每种情形我们都检验(从从a2 =0.01到到a2 =0.10)发现发现 min=5.4, n正如在基本情形（正如在基本情形（a2 =0.05）得到的那样。）得到的那样。n显然显然 min对伤亡系数的数值一点都不敏感。对伤亡系数的数值一点都不敏感。n还可以进行其它各种敏感性分析，还可以进行其它各种敏感性分析，n只要时间容许、好奇心持续不断、又没有其它工只要时间容许、好奇心持续不断、又没有其它工作压力。作压力。n我们甚至对我们甚至对 min和红军与蓝军的数量上优势率之和红军与蓝军的数量上优势率之间的关系感兴趣，间的关系感兴趣， n这里假设优势率为这里

35、假设优势率为5:2。n为研究这个问题我们回到基本情况，为研究这个问题我们回到基本情况，a2 =0.05，n为确定为确定 min，n对各种不同的红军力量强度初值对各种不同的红军力量强度初值x1和固定的和固定的x2=2，运行模型。运行模型。n这样进行的模型浏览得到的结果列于下表这样进行的模型浏览得到的结果列于下表 . 运算运算情形情形 x1=2只是为了验证。只是为了验证。n我们得到此时我们得到此时 min=1.1, 因为因为 =1只会导致战平。只会导致战平。n力量对比率力量对比率(R:B) 最小优势最小优势 min n 8:2 11.8n 7:2 9.5n 6:2 7.3n 5:2 5.4n 4:

36、2 3.6n 3:2 2.2n 2:2 1.1n问题问题 1. 考虑战争问题中天气对战争的影响。考虑战争问题中天气对战争的影响。n坏天气和糟糕的能见度会降低双方直接交火武器坏天气和糟糕的能见度会降低双方直接交火武器的效率。的效率。n间接交火武器的效率相对而言不太受天气的影响。间接交火武器的效率相对而言不太受天气的影响。n我们可以在模型中表达坏天气的影响如下。我们可以在模型中表达坏天气的影响如下。n记记w为坏天气条件导致的武器效率的下降，用为坏天气条件导致的武器效率的下降，用 n x1= - w a2x2 - b2x1x2n x2= - wa2x1 - b2x1x2n代替原动态系统。代替原动态系

37、统。n这里参数这里参数0 w 1表示天气条件的变化范围表示天气条件的变化范围, n w=1 表示最好的天气，表示最好的天气， w=0表示最糟糕的天气。表示最糟糕的天气。n(a) 模拟这个离散时间动态系统模拟这个离散时间动态系统, 取取 =3。n假设不利的天气引起双方武器效率降低假设不利的天气引起双方武器效率降低75%（w=0.25）。）。n谁将赢得这场战斗，且战斗将进行多长时间？谁将赢得这场战斗，且战斗将进行多长时间？n胜利的一方还剩下多少队伍？胜利的一方还剩下多少队伍？n(b) 对对w=0.1, 0.2, 0.5, 0.75 和和0.9各种情况重复上各种情况重复上面的分析，且将结果列表。面的

38、分析，且将结果列表。n回答回答(a)中提出的问题。中提出的问题。n(c) 哪一方从不利的天气条件中受益？哪一方从不利的天气条件中受益？n如果你是蓝军指挥官，你希望红军在晴天还是雨如果你是蓝军指挥官，你希望红军在晴天还是雨天进攻？天进攻？n(d) 检验你在检验你在(a)，(b)和和(c)所得到的结论对蓝军相所得到的结论对蓝军相对于红军的武器优势程度依赖的敏感性。对于红军的武器优势程度依赖的敏感性。n对对 =1.5, 2.0, 4.0 和和5.0重复你在重复你在(a)和和 (b)所做的所做的模拟，模拟，n将结果列表。重新考虑在你在将结果列表。重新考虑在你在(c)所做的结论。所做的结论。n它们仍然正

39、确吗？它们仍然正确吗？n问题问题 2. 在战争问题中考虑战术对战斗结果的影响在战争问题中考虑战术对战斗结果的影响n红军指挥官考虑选择五个师中的两个师保留到战红军指挥官考虑选择五个师中的两个师保留到战斗的第二天或第三天再参战。斗的第二天或第三天再参战。n你可以做两个独立的实验去模拟偏离基本情况的你可以做两个独立的实验去模拟偏离基本情况的每种可能。每种可能。n首先模拟战斗的第一天或前两天，首先模拟战斗的第一天或前两天，n两个蓝军师对抗三个红军师。两个蓝军师对抗三个红军师。n然后将模拟得到的结果作为下一步战斗的初始条然后将模拟得到的结果作为下一步战斗的初始条件件n且对红军增加两个师。且对红军增加两个师。n(a) 运用计算模拟第一阶段的战斗，运用计算模拟第一阶段的战斗，n在这一阶段两个蓝军师对抗三个红军师。在这一阶段两个蓝军师对抗三个红军师。n假设假设