山东大学 自动控制原理 8-3离散系统分析

1、1 对于离散系统的对于离散系统的z z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的采样点的值。然值。然而，当采样周期而，当采样周期T T 选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T T是否小于系是否小于系统的最大时间常数这一问题。只

2、有满足这一点，才会使离散理论统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点，才会使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律。分析结果贴近连续信号的变化规律。c(t)t 0 1T 2T 3T 4T c(t)t 0 1T 2T 3T . s s平面与平面与z z平面的映射关系平面的映射关系 在在z z变换定义中已经确定了变换定义中已经确定了z z和和s s变量之间关系如下变量之间关系如下 z = eTs其中其中s s是复变量，可写成是复变量，可写成s = +j ，所以，所以z z也是复变量也是复变量 z = eTs = eT e j T写成极坐标形式为写成极坐标形式为z = z e j =

3、 eT e j Ts s的实部只影响的实部只影响z z的模，的模，s s的虚部只影响的虚部只影响z z的相角。的相角。 s s平面与平面与z z平面的映射关系为平面的映射关系为 s s平面平面 映射映射 z z平面平面 右半平面右半平面 z 单位园外单位园外 = 虚轴虚轴 z = 单位园周单位园周 左半平面左半平面 z 单位园内单位园内30 j s0ReIm z s /20 j s0ReIm z148.6.2 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析 离散系统的瞬态响应，可以直接离散系统的瞬态响应，可以直接由时间响应结果获由时间响应结果获得得，因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的，这一，

4、因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的，这一点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解，点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解，直接在直接在z z区域中，通过分析区域中，通过分析零极点的位置零极点的位置关系而获得关系而获得, ,这这对系统的设计是方便的。对系统的设计是方便的。 1 1、离散系统的时间响应及性能指标求法、离散系统的时间响应及性能指标求法 由时域解求性能指标的步骤：由时域解求性能指标的步骤： （1 1）由离散系统闭环脉冲传递函数）由离散系统闭环脉冲传递函数 (z)，求出输，求出输出量的出量的z z变换函数变换函数1)()()()( zzzzRzzC （2 2）用长除

5、法将上式展成幂级数，通过用长除法将上式展成幂级数，通过z反变换求反变换求得得c*(t) 。5 例例8-25单位反馈采样系统如图所示，当单位反馈采样系统如图所示，当T=1s，试求单位阶跃响应试求单位阶跃响应c*(t)及动态性能指标。及动态性能指标。r(t)c(t)+-1s(s+1)解：根据已知的解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数求开环脉冲传递函数368. 0368. 1632. 0 )368. 0)(1()368. 01()(1()1()1(1)(2 zzzzzzezzezsszGTT （3）由）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出给出的各采样时刻的值，直接得出 p%、tr、tp 、

6、ts等性能指标。等性能指标。6再求闭环脉冲传递函数再求闭环脉冲传递函数368. 0736. 0632. 0)(1)()(2 zzzzGzGz 368. 0104. 1736. 1632. 0)()()(232 zzzzzRzzC C(z) = 0.632z 1 + 1.097z 2 + 1.207z 3 +1.014 z 4 + 0.96z 5 + 0.968 z 6 + 0.99 z 7 + c*(t) = 0.632 ( t T) + 1.097 ( t 2T) + 1.207 ( t 3T) + 1.014 ( t 4T) + 0.96 ( t 5T) + 0.968 ( t 6T) +

7、 0.99 ( t 7T) + 70 T 2T 3T 4T 5T 6Tc*(t)t1c*(t) = 0.632 ( t T) + 1.097 ( t 2T) + 1.207 ( t 3T) + 1.014 ( t 4T) + 0.96 ( t 5T) + 0.968 ( t 6T) + 0.99 ( t 7T) + p% =20.7% tr = 2(s) tp = 3(s) ts = 5(s) 连续二阶系统连续二阶系统: p% =16.3%，tr = 2.42(s)，tp = 3.6(s)， ts = 5.3(s) 8解：求开环脉冲传递函数解：求开环脉冲传递函数 例例8-26在例在例8-45中

8、，增加零阶保持器，采样系统中，增加零阶保持器，采样系统如图示，如图示，T1(s)，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。，试分析系统的性能指标。r(t)c(t)+-1s(s+1)ZOH)368. 0)(1(264. 0368. 0 )1(1)1()1(1)(212 zzzsszssezGTs 9再求闭环脉冲传递函数再求闭环脉冲传递函数632. 0264. 0368. 0)(1)()(2 zzzzGzGz 632. 0632. 12264. 0368. 0)()()(232 zzzzzzRzzC C(z) = 0.368z 1 + z 2 + 1.4z 3 +1.4z 4 + 1.147z

9、5 + 0.895z 6 + 0.802z 7 + 0.868z 8 + c*(t) = 0.368 ( t T) + ( t 2T) + 1.4 ( t 3T) + 1.4 ( t 4T) + 1.147 ( t 5T) + 0.895 ( t 6T) + 0.802 ( t 7T) + 0.868 ( t 8T) + 0.993 ( t 9T) + 100 T 2T 3T 4T 5T 6T 7Tc*(t)1tc*(t) = 0.368 ( t T) + ( t 2T) + 1.4 ( t 3T) + 1.4 ( t 4T) + 1.147 ( t 5T) + 0.895 ( t 6T) +

10、 0.802 ( t 7T) + 0.868 ( t 8T) + 0.993 ( t 9T) + p% =40% tr = 2(s) tp = 4(s) ts = 12(s) 11 nrrmiinnnnmmmmppzzabazazazabzbzbzbzDzMz110011101110)()()()()( 1)()()()()( zzzDzMzRzzC nrrrpzczCzzC101)(系统极点为单极点系统极点为单极点 2.闭环极点与动态响应的关系闭环极点与动态响应的关系 与连续系统类似，离散系统的结构参数，决定了闭与连续系统类似，离散系统的结构参数，决定了闭环零极点的分布，而闭环脉冲传递函数的

11、极点在环零极点的分布，而闭环脉冲传递函数的极点在z平面上平面上单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响，单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响，下面讨论闭环极点与瞬态响应之间的关系。下面讨论闭环极点与瞬态响应之间的关系。 设系统的闭环脉冲传递函数为设系统的闭环脉冲传递函数为12rpzrrzpzzDzzMcDMzzDzzMc )()()1()()1()1()1()()1()(10 nrrrpzzczzDMzC11)1()1()( nrkrrkpcDMkTc1)0,1,2,( )1()1()( （1 1）正实轴上闭环极点 当0 pr 1时，极点位于单位园外正实轴上，响应时，极点位于单

12、位园外正实轴上，响应cr prk为单调发散，且为单调发散，且pr 值越大，发散越快。值越大，发散越快。 当当pr =1时，极点位于单位园上的正实轴上，响应时，极点位于单位园上的正实轴上，响应cr prk = cr 为一常数，是一串等幅脉冲序列；为一常数，是一串等幅脉冲序列； （2）负实轴上闭环极点）负实轴上闭环极点 当当 1 pr 0 时，极点位于单位园上的负实轴上，时，极点位于单位园上的负实轴上，响应响应cr prk 为正、负交替的收敛脉冲序列；为正、负交替的收敛脉冲序列； 当当pr 1时，闭环复数极点位于单位园外；对应时，闭环复数极点位于单位园外；对应的瞬态分量振荡发散；的瞬态分量振荡发散

13、； 当当 pr 1时，闭环复数极点位于单位园内，振荡时，闭环复数极点位于单位园内，振荡衰减，且衰减，且 pr 越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛得越快。得越快。 当当 pr = 1时，闭环复极点位于单位园周上，对应时，闭环复极点位于单位园周上，对应的瞬态分量是等幅振荡的脉冲序列。的瞬态分量是等幅振荡的脉冲序列。 以余弦规律振荡的瞬态分量，其振荡角频率以余弦规律振荡的瞬态分量，其振荡角频率 与与共轭复极点的幅角共轭复极点的幅角 r有关，有关， r越大，振荡频率越高。越大，振荡频率越高。所以位于左半单位园内的复极点，瞬态分量的振荡频所以位于左半单位园内的复极点，瞬

14、态分量的振荡频率要高于右半单位园内的情况，振荡周期包含采样周率要高于右半单位园内的情况，振荡周期包含采样周期期T的个数的个数k为为rk 2 17 例例8-27 设离散系统闭环脉冲传递函数的共轭复极设离散系统闭环脉冲传递函数的共轭复极点以及负实轴上的极点分布如图所示，其中点以及负实轴上的极点分布如图所示，其中p1 , p2所具所具有的相角有的相角 1 ,2= /4， p3 , p4所具有的相角所具有的相角 3 ,4= /2， p5 , p6所具有的相角所具有的相角 5 ,6= 2 /3， p7所具有的相角所具有的相角 7= ，试确定相应的各瞬态分量的振荡周期和振荡角频率。并试确定相应的各瞬态分量

15、的振荡周期和振荡角频率。并画出瞬态分量变化图形。画出瞬态分量变化图形。0ReIm 1p1p2 p7 p3 p4 p6 p5TTkT842 解：对 p1 , p2所对应分所对应分量的振荡周期为量的振荡周期为过渡过程每经过个采过渡过程每经过个采样周期形成一个循环。样周期形成一个循环。18TTkT422 TTkT3322 对 p3 , p4所对应分量的振荡周期为所对应分量的振荡周期为对 p5, p6所对应分量的振荡周期为所对应分量的振荡周期为c(k)k19c(k)kc(k)kc(k)kc(k)k20 综上分析，闭环脉冲传递函数极点在综上分析，闭环脉冲传递函数极点在单位园内单位园内，对，对应的瞬态分量

16、均为应的瞬态分量均为收敛收敛的，故的，故系统是稳定的系统是稳定的。当闭环极。当闭环极点位于点位于单位园上或单位园外单位园上或单位园外，对应的瞬态分量均不收敛，对应的瞬态分量均不收敛，产生持续等幅脉冲或发散脉冲，故产生持续等幅脉冲或发散脉冲，故系统不稳定系统不稳定。 为了使离散系统具有较满意的动态过程，极点应尽为了使离散系统具有较满意的动态过程，极点应尽量避免在左半园内，尤其不要靠近负实轴，以免产生较量避免在左半园内，尤其不要靠近负实轴，以免产生较强烈的振荡。强烈的振荡。闭环极点最好分布在单位园的右半部，尤闭环极点最好分布在单位园的右半部，尤为理想的是分布在靠近原点的地方。这样系统反应迅速，为理

17、想的是分布在靠近原点的地方。这样系统反应迅速，过程进行较快。过程进行较快。218.6.3 离散系统稳定性分析离散系统稳定性分析 离散系统的稳定性，与系统参数及采样参数离散系统的稳定性，与系统参数及采样参数T等等均有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件均有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件是系统的极点均在是系统的极点均在s平面左半部，平面左半部，s平面的虚轴就是稳平面的虚轴就是稳定区域的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中定区域的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中含有含有e kTs项，因此分析采样系统在项，因此分析采样系统在s平面上的极点分布，平面上的极点分布，就不像连续系统

18、那么简单。就不像连续系统那么简单。 1、z域稳定的充分必要条件域稳定的充分必要条件 根据根据s平面与平面与z平面的映射关系及闭环极点与动态响应平面的映射关系及闭环极点与动态响应的关系，容易算出的关系，容易算出离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件 系统系统的闭环特征方程的全部根的模都小于。或者的闭环特征方程的全部根的模都小于。或者说，全部特征根都位于说，全部特征根都位于z平面以原点为园心的单位园内。平面以原点为园心的单位园内。22 例例8-288-28 设离散系统如图所示，其中设离散系统如图所示，其中T0.07( (秒秒) )，试分析该系统的稳定性。试分析该系统的稳定性。r(t)

19、c(t)+-100s(s+10) 解：解：由已知的由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数可求出开环脉冲传递函数)(1()1(10)(1010TTezzezzG 闭环特征方程为闭环特征方程为z2 + 3.5z + 0.5 = 0z1 = 0.15 z2 = 3.73因为因为 z2 1，所以该系统是不稳定的。，所以该系统是不稳定的。23、代数判据、代数判据 连续系统中的代数判据连续系统中的代数判据( (劳斯判据劳斯判据) )，是根据特征，是根据特征方程的系数关系判断其根是否在方程的系数关系判断其根是否在s s左半平面，从而确定左半平面，从而确定系统的稳定性。系统的稳定性。 劳斯判据：特征方程是代数

20、方程劳斯判据：特征方程是代数方程 稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复平面的平面的左半平面左半平面 在离散系统中，在在离散系统中，在z平面平面或在或在s半平半平面都不能直接引面都不能直接引用劳斯判据。用劳斯判据。 根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：wwz 1111 wwz或或24wwz 1111 wwz11 zzw11 zzw 或或或或令令 z = x + jy w = u + jv222222)1(2)1(111yxyjyxyxjyxjyxjvu 2222)1(1yxyxu 252222)1(1yxyxu 当当u时

21、时，对应，对应w平面虚轴，则有平面虚轴，则有x2 + y2 = 1即即z平面单位圆。平面单位圆。当当u时时，w平面平面右半平面，右半平面，对应对应z平面单位圆外。平面单位圆外。0ImRew+1w+1w 1 111 wwz26 例例8-29 若已求得采样系统的特征方程式为若已求得采样系统的特征方程式为3z3 +3z2 + 2z + 1 = 0试用试用w平面的劳斯判据判别稳定性。平面的劳斯判据判别稳定性。wwz 110111211311323 wwwwww解：应用解：应用w变换，令变换，令由于第一列元素由于第一列元素全为正，所以系全为正，所以系统稳定。统稳定。w3 +7w2 + 7w + 9 =

22、0劳斯表为劳斯表为9 740 9 7 7 1 0123wwww27 例例8-30 利用代数判据分析如图所示二阶离散系统放利用代数判据分析如图所示二阶离散系统放大系数大系数k和采样周期和采样周期T对系统稳定性的影响。对系统稳定性的影响。解：根据已知的解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数求开环脉冲传递函数r(t)c(t)+-ks(s+1)(1()1()(TTezzeKZzG 0)(1()1(1)(1 TTezzeKzzG闭环特征方程为闭环特征方程为28wwz 11 011)1()1(112 TTTewweekww 0)1()1(2)1()1(22 TTTTekweweke 00)1(0)1()

23、1(2kekekeTTTTTeek 1)1(20得系统稳定的条件是：得系统稳定的条件是： 劳斯表为劳斯表为0)1()1(2 TTTezeekz令令)(1 )2(1 )(1 )1()2(1 012TTTTTekwewekekew 29TTeek 1)1(200 1 2 3Tk6424.328.17稳定区稳定区不稳定区不稳定区 随着采样周期的增大，系统稳定的临界随着采样周期的增大，系统稳定的临界k值减小。值减小。由此可见，由此可见，k和和T对系统稳定性都有影响。对系统稳定性都有影响。308.6.4 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 稳态误差也是离散系统分析和设计的一个重要指标。稳态误差也是离散

24、系统分析和设计的一个重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的值。与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以值。与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以由由z 域域终值定理终值定理得到，也可以通过得到，也可以通过系统的类型划分和典型输入系统的类型划分和典型输入信号信号两个方面进行分析。两个方面进行分析。 、用终值定理计算稳态误差、用终值定理计算稳态误差 采用终值定理计算稳态误差，只要采用终值定理计算稳态误差，只要E(z)的极点全部的极点全部严格位于严格位于z平面单位园内。平面单位园内。 例例8-31 设离散系统如设离散系统如图所示，其中图所示，其中T = 0.1(s)，输入连续信号输入连续信号r(t)分别为分别为1(t)和和t，试求离散系统相，试求离散系统相应的稳态误差应的稳态误差r(t)c(t)+-1s(0.1s+1)e(t)31解解：开环脉冲传递函数)(1()1()11 . 0(1)(11 ezzezsszG 368. 0736. 0)368. 0)(1()(11)(2 zzzzzGze 482. 0368. 0 ,482. 0368. 021jzjz