广金微积分9.2一阶微分方程(二)

1、第二节 一阶微分方程1. 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 2. 齐次微分方程齐次微分方程3. 3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程*一、微分方程的解、通解、特解一、微分方程的解、通解、特解如果把一个函数代入微分方程后，如果把一个函数代入微分方程后，使微分使微分方程成为恒等式，方程成为恒等式， 则称此函数为则称此函数为微分方程的解微分方程的解. . 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有独立独立的任意常数的任意常数, ,通解通解: :且任意常数的且任意常数的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数相同，阶数相同， 则称这样则称这样的解为微分方程的通解。的解为微分方程的通解。或

2、确定了通解中任意常数以后的解或确定了通解中任意常数以后的解. .特解特解: :把微分方程中不含任意常数的解，把微分方程中不含任意常数的解， 称为微分称为微分方程的特解。方程的特解。复习解解: :*二、一阶微分方程求解方法二、一阶微分方程求解方法 （初等积分法）（初等积分法）（1）分离变量）分离变量; （2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程: :分离变量法分离变量法)()(ygxfdxdy 复习复习二、一阶微分方程求解方法二、一阶微分方程求解方法 （初等积分法）（初等积分法）*例例 求解微分方程求解微分方程 .3122yyxy dxxdyy

3、y22311 Solution: 分离变量得分离变量得两边积分两边积分 dxxdyyy22311从而从而Cxy 3112).C( 是任意常数是任意常数*一、分离变量法一、分离变量法9.2 一阶微分方程1. 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 2. 齐次微分方程齐次微分方程3. 3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程*二、齐次微分方程二、齐次微分方程形如形如 xyfdxdy微分方程的右端为齐次函数微分方程的右端为齐次函数. .若若 这里这里t为任意为任意),y, x(Ft)ty,tx(Fn 则称则称 为齐次函数）为齐次函数） ),(yxF例例 下列方程为齐次微分方程下列方程为齐次

4、微分方程.,22xxyydxdy ,tan3xyxydxdy 定义定义称为称为齐次微分方程齐次微分方程. .实数，实数，（齐次函数齐次函数是指：是指：齐次微分方程的齐次微分方程的特点特点：)(yxy 或或的的微分方程，微分方程， . 03)(233 dyxydxyx 9.2 9.2 一阶微分方程一阶微分方程 *),(ufdxduxu xuufdxdu )(可分离变量的方程可分离变量的方程(化为化为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程)（4）齐次微分方程的解法齐次微分方程的解法对齐次微分方程对齐次微分方程,xyu ,xuy 即即作变量代作变量代换换, xyfdxdy两边求导得两边求导得dxd

5、uxudxdy 将其代入原方程，将其代入原方程，得得(替换分离法替换分离法) ),)( xdxuufdu积积分分得得,回回代代再再将将xyu ,)(xdxuufdu 则则求出积分后，求出积分后，即得原方程的解。即得原方程的解。分离变量得分离变量得它的通解为它的通解为 Cxuufduln)(二、齐次微分方程二、齐次微分方程*例例1 1 求微分方程求微分方程 的通解的通解xyxydxdytan3 作变量代换作变量代换,xyu ,tan3uuudxdux ,tan3xudxdu 即即分离变量取积分，得分离变量取积分，得 ,3tan xdxudu求不定积分，得求不定积分，得 ,lnln3sinlnCx

6、u 即即,sin3Cxu 将将 回代，回代，xyu .sin3Cxxy 解解,xuy 即即则则得到原方程的通解为得到原方程的通解为二、齐次微分方程（二、齐次微分方程（替换分离法）替换分离法）*例例2 2 求微分方程求微分方程 的通解的通解. .解解即即分离变量取积分，得分离变量取积分，得 求不定积分，得求不定积分，得 即即将将 回代，回代，xyu 22xxyydxdy ,12 uuudxdux,)1( uxudxdu,1 xdxduuu,lnln1Cxuu , 1uCuCeexu .xyCey ,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即则则得到原方程的通解为得到原方程的通解为 原方程可写为原

7、方程可写为dxdy12 xyxy*二、齐次微分方程（二、齐次微分方程（替换分离法）替换分离法）.)(222的的通通解解求求微微分分方方程程dxxxyydyx 解解 原方程可改写成原方程可改写成dxdy122 xyxy有有设设,xyu ,uxy dxduxudxdy 代入原方程得代入原方程得dxduxu , 12 uudxdux即即, 122 uu分离变量得分离变量得xdxudu 2)1(两边积分得两边积分得cxuln11 ,回回代代将将xyu 则原方程的通解为则原方程的通解为.lncxyxx 例例3*二、齐次微分方程（二、齐次微分方程（替换分离法）替换分离法）例例4 4 求解微分方程求解微分方

8、程(cos)dcosd0.yyxyxxyxx ，令令xyu (cos )dcos ( dd )0,xuxuxxu u xx udcos d,xu ux ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的通解为微分方程的通解为解解，则则xduudxdy *二、齐次微分方程（二、齐次微分方程（替换分离法）替换分离法）例例51y0dy)yx1(2edx )2e(10 xyxyx 满满足足条条件件求求Solution. 分分离离变变量量并并积积分分得得：原原方方程程可可化化为为齐齐次次方方程程yxyxeeyxdydx/21)1/(2 ，令令yxu ,uyx 则则dyduyudydx 且且原原方方程程

9、变变为为uueeudyduyu21) 1( 2 uueeudyduy212 即即：C)2e(u u y即即：Clnyln)2eln(uu *二、齐次微分方程（二、齐次微分方程（替换分离法）替换分离法）.的的特特解解：代代入入，得得所所求求通通解解将将 yxu , 1 10 0 yx时时又又当当：所所求求特特解解为为 .2ye2 2 yxxC)2e(u u y即即：.2yeCxyx . 2 2 C则则得得*二、齐次微分方程（二、齐次微分方程（替换分离法）替换分离法）例例51y0dy)yx1(2edx )2e(10 xyxyx 满满足足条条件件求求.的的特特解解（1）分离变量）分离变量; （2）两

10、端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程: :2 2、齐次方程、齐次方程,xyu 令令)(xyfdxdy 分离变量法分离变量法替换分离替换分离法法)()(ygxfdxdy xuufdxdu )(小结小结典型的一阶微分方程求解方法典型的一阶微分方程求解方法,回回代代再再将将xyu 即得原方程的解。即得原方程的解。求出它的通解后求出它的通解后, , （初等积分法）（初等积分法）*小结小结作业作业 P385 3（4，7），），* 下次课内容下次课内容9.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程形如形如一阶线性微分方程一

11、阶线性微分方程. )()(xQyxPy 的微分方程的微分方程, 0)( yxPy方方程程)()(xQyxPy 也称为与方程也称为与方程相对应相对应的一阶齐线性次微分方程。的一阶齐线性次微分方程。定义定义或称线性齐次方程或称线性齐次方程为线性非齐次方程的为线性非齐次方程的特殊情况特殊情况。称为称为, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为一阶一阶线性齐次方程线性齐次方程.上方程称为上方程称为一阶一阶线性非齐次方程线性非齐次方程., 0)( xQ当当特点特点“一阶一阶”：未知函数的导数为一阶未知函数的导数为一阶.“线性线性”：未知函数及其导数都是一次：未知函数及其导数都是一次.*称称为为)x(Q非齐

12、次项非齐次项或或右端项右端项例例,ydxdy ,sin txdtdx , 12 yy一阶一阶齐次齐次线性方程线性方程一阶一阶非齐次非齐次线性方程线性方程线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程线线性性齐齐次次微微分分方方程程 0)( yxPy)()(xQyxPy , 1sincos xyxy三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程（一）一阶线性（一）一阶线性齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解 0)( yxPy*线线性性齐齐次次微微分分方方程程（一）一阶线性一）一阶线性齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解求线性齐次方程求线性齐次方程 的通解的通解. 0)( yxPyyxPy)( xxPyyd)(d

13、 ，CxxPylnd)(ln xxPCyd)(e（C为任意常数）为任意常数）( (使用分离变量法使用分离变量法) )（通解公式通解公式）三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程*.0的的通通解解求求解解微微分分方方程程 yyx解解2将方程两边同除以将方程两边同除以x x，得，得01 yxy这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，,1)(xxP 其其中中代入通解公式得代入通解公式得 dxxPCey)( dxxCe1xCeln 例例1.xC （用分离变量法）（用分离变量法）解解1（公式法）（公式法） xxPCyd)(e（通解公式）（通解公式） 0)( yxPy.02dd的的通通解解求求微微分分

14、方方程程 xyxy例例2三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程*.02dd的的通通解解求求微微分分方方程程 xyxy例例2解解,2)(xxP 其其中中这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，代入通解公式得代入通解公式得 dxxPCey)( xdxCe2.e2xC 三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例3（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*求线性非齐次方程求线性非齐次方程 的通解的通解. )()(xQyxPdxdy （二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解由于线性

15、齐次方程由于线性齐次方程)()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy是线性非齐次是线性非齐次方程方程的的特殊情况特殊情况， 我们可设想将齐次我们可设想将齐次,)(后后xu线性方程通解线性方程通解 式中的常数式中的常数C换成待定函数换成待定函数 dxxPCey)(有可能是线性非齐次方程有可能是线性非齐次方程即即 dxxPexuy)()(的解。的解。 下面我们研究这种方法的下面我们研究这种方法的可行性可行性。三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程*将上式变形为将上式变形为,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为若若记记

16、 ,)()(ln dxxPxvy dxxPxveey)()(即即为非齐次方程通解形式为非齐次方程通解形式与线性齐次方程通解相与线性齐次方程通解相比比: :)(xuC dxxPCey)( dxxPexu)()(求线性非齐次方程求线性非齐次方程 的通解的通解. )()(xQyxPdxdy 则则 由此，引入求解一阶线性非齐次方程的由此，引入求解一阶线性非齐次方程的常数变易法。（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*求非齐次线性方程求非齐次线性方程 的通解的通解. )()(xQyxPy 设设 e )()d( xxPxuy将其对将其对 x 求导求导, 得得是非齐次方程的解是

17、非齐次方程的解, xxPxuy)d(e )(代代入入非非齐齐次次方方程程中中，得得与与将将yy xxPxQxud)(e )()(将上式积分，得将上式积分，得.de )()(d)(CxxQxuxxP 其中其中u(x)为为待定待定.， xxPxuxP)d(e )()( dxxPdxxPexPxuexu)()()()()( dxxPexuxP)()()()(xQ 化简，得化简，得（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解* ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 上式即为线性非齐次微分方程的上式即为线性非齐次微分方程的通解通解. (通解公式通解公式) e )()

18、d( xxPxuyCxxQxuxxP de )()(d)(（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解得线性非齐次方程得线性非齐次方程 的通解的通解 )()(xQyxPdxdy 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .*一阶线性一阶线性非齐次非齐次微分方程的通解可写为微分方程的通解可写为: :ydxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次方程对应齐次方程通解通解非齐次方程非齐次方程特解特解结论结论： 一阶线性非齐次方程的通解是对应的线性一阶线性非齐次方程的通解是对应的线性齐次方程

19、的齐次方程的通解通解与其自身的一个与其自身的一个特解特解之和之和。以后还会以后还会看到看到，这个结论对于这个结论对于高阶线性非齐次方程高阶线性非齐次方程亦成立亦成立。 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP )()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*一阶一阶线性线性非齐次微分方程的非齐次微分方程的两种两种求解方法求解方法方法一：常数变易法方法一：常数变易法（1）求齐次方程）求齐次方程 的通解的通解 0)( yxPy.ed)( xxPCy（2）将齐次方程通解中的常数变易为函数）将齐次方程通解中的常数变易为函

20、数 xxPxuyd)(e)(（3）变易后的函数代入非齐次方程中确定）变易后的函数代入非齐次方程中确定)(xu（*）（4）函数）函数 代入（代入（*）式得非齐次通解）式得非齐次通解)(xu ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 求线性非齐次方程求线性非齐次方程 的通解的通解. )()(xQyxPy *方法二：公式法方法二：公式法（1）将给定方程变为标准方程形式）将给定方程变为标准方程形式 )()(xQyxPy （2）确定方程中的）确定方程中的. )()(xQxP与与（3）将）将 代入方程的通解公式中代入方程的通解公式中 )()(xQxP与与 ).de )(ed)(d)(CxxQyx

21、xPxxP （4）积分得线性非齐次微分方程通解）积分得线性非齐次微分方程通解.一阶一阶线性线性非齐次微分方程的非齐次微分方程的两种两种求解方法求解方法*解解例例1 1，01 yxyddyxyx 1lnlnCxy 第一步，求相应的线性齐次方程的通解第一步，求相应的线性齐次方程的通解.Cxy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.的通解的通解求方程求方程2 2xxydxdy （二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*或或 xxCyd1e.Cx 解解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解 ，令令xxuy xuxxuy 则则代入方程得代入方程得

22、 xxuxxxu 即即2 ,22Cxxu .23Cxxy 所所求求通通解解为为例例1 1.的通解的通解求方程求方程2 2xxydxdy （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解* xxyd1e)de(dx12Cxxx 解解2(公式法公式法) ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xlne )e(ln2Cdxxx )21(2Cxx .213Cxx .e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例2分分方方程程为为原原方方程程所所对对应应的的齐齐次次微微解法解法1 1 （常数变易法）（常数变易法），Cxylnln2 所以所以.e 2xCy

23、即即，由由常常数数变变易易法法得得2 2xxuy e )( 2 2xxuy e )( 则则 ,dd 0 02 2 xyxy，2 22 2xxxu e )(（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解，即即xxyydd 2 2 *代代入入原原方方程程得得及及将将yy ，化化简简得得xxu2 2 )( xxxud)( 2 2积积分分得得2 22 2xCxy e )(故得原线性非齐次微分方程的通解为故得原线性非齐次微分方程的通解为2 22 22 2xxxxuxu e )(e )( 2 22 2xxxu e )( ，2e2xx )( ,2为任意常数为任意常数CCx （二）一阶线

24、性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例2，2 2xxuy e )(2 2xxuy e )( ，2 22 2xxxu e )().( 为任意常数为任意常数C*解法解法2 2 公式法公式法知知由由一一阶阶线线性性微微分分方方程程2e22ddxxxyxy ，2e2)( ,2)(xxxQxxP 将其代入公式通解公式，得通解将其代入公式通解公式，得通解 xxyd2edee2e222Cxxxxx Cxxx d2e2dee2d22Cxxxxx . )(e22Cxx ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP *0)ln

25、(ln dxxyxdyx求求方方程程1 exy满满足足条条件件,1ln1xyxxy Cdxexeyxxdxxxdxlnln1 Cdxexexxlnlnlnln1 Cxx2ln21ln1, 1 exy,21 C.ln1ln21 xxy 将方程标准化为将方程标准化为于是于是由初始条件由初始条件故所求特解为故所求特解为得得例例3解解的特解的特解. xCxln1ln21（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*注意注意:类似地，对于以类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程为函数的一阶非齐次线性方程)()(yqxypdydx 有有通通解解公公式式同时也有同时也有常数变易法

26、常数变易法. .（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解 Cdyeyqexdyypdyyp)()()(*.dd3的的通通解解求求微微分分方方程程yxyxy 例例4则方程可改写为则方程可改写为解解 即即 ,1dd 2yxyyx 对于未知函数对于未知函数x(y为自变量为自变量)来说，来说， )()(ddyQxyPyx 其通解公式为其通解公式为 de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP yyxyx3dd 性非齐次方程性非齐次方程上式方程为一阶线上式方程为一阶线 ,的的函函数数看看成成如如果果将将xy由方程变为由方程变为, 0dd3 yxyxy则显然不是线性微分方程则

27、显然不是线性微分方程. ,的的函函数数看看成成如如果果将将yx 12，yxy （二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*2)( ,1)( yyQyyP 这里这里将其代入通解公式，将其代入通解公式，deed12d1Cyyxyyyy Cyyyy deeln2ln Cyyyy d12得所求方程的通解为得所求方程的通解为.22 Cyy de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP )()(ddyQxyPyx ,1dd 2yxyyx *例例5 5).(yxx故先求故先求方程，方程，及其导数而言，是一次及其导数而言，是一次相对应于相对应于解解方程化为方程化为d3d2xyxyy

28、 ,3)(yyP ,2)(yyQ 其中其中.02)6(2的通解的通解求方程求方程 ydxdyxy（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*( )d( )d( )dP yyP yyxeQ yeyC 3ln3lnd2yyyeeyC .213为所求通解为所求通解 Cyy113d3d()d2yyyyyeeyC 所以所以（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解,3)(yyP ,2)(yyQ *.0)0(1sincos 的的特特解解满满足足初初值值条条件件求求微微分分方方程程 yxyxy例例6，把把原原方方程程改改写写为为xxyysectan 解解x

29、xQxxPsec)(tan)( ，代入通解公式得代入通解公式得将将deseced)tan(d)tan(Cxxyxxxx desececoslncoslnCxxxx )(cos1Cxx 代代入入通通解解中中，0)0( y.cos xxy Cxxxx dcosseccos1, 0 C得得故故特特解解为为（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*例例7 7 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf30

30、( )d( )xf x xxf x 30dxy xxy 两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 即即（二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*dd23dxxyex exC , 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy （二）一阶线性非（二）一阶线性非齐次齐次微分方程的求解微分方程的求解*（1）分离变量）分离变量; （2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程: :2 2、齐次方程、齐次方程,x

31、yu 令令)(xyfdxdy 分离变量法分离变量法替换分离替换分离法法)()(ygxfdxdy xuufdxdu )(小结小结典型的一阶微分方程求解方法典型的一阶微分方程求解方法,回回代代再再将将xyu 即得原方程的解。即得原方程的解。求出它的通解后求出它的通解后, , （初等积分法）（初等积分法）* dxxPCey)(3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程（通解公式）（通解公式）公式法公式法分离变量法分离变量法 )()(xQyxPy 求线性非齐次方程求线性非齐次方程 的通解的通解. . )()(xQyxPdxdy 线性齐次方程的线性齐次方程的0)( yxPy的通解的通解. .公式法公式法

32、)de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP （通解公式）（通解公式）常数变易法常数变易法典型的一阶微分方程求解方法典型的一阶微分方程求解方法（初等积分法）（初等积分法）*小结小结作业作业 P385 3（4，7），），5（1，2，4）* 下次课内容下次课内容第十章第十章 差分方程初步差分方程初步思考题思考题1.求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx 2.方程方程2202 ( )( ) d( )xy tty ttxy x 是否为齐次方程是否为齐次方程?yxyyyysin2sincoscos 3 3. .求求微微分分方方程程 9.29.2 一阶微分方程一阶微分方程*思考题解

33、答思考题解答d2sinsin0,d22yxyx dsind ,22sin2yxxy 2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.9.29.2 一阶微分方程一阶微分方程1.求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx 0 02 22 2 yxyxdxdycoscos解解:*解解:方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,yxyyxy 2 22 22 2, yyxyx 2 22 2,xyxyy 2 21 1原方程原方程是是齐次方程齐次方程.9.29.2 一阶微分方程一阶微分方程2.方程方程2202 ( )( ) d( )xy ttyttxy x 是否为齐次方程是否为齐次方程?*,tan2sinyxy dtansin2 ,dxyxyy ln cosln cossin2dyyxey eyC 2sin coscosdcosyyyyCy .cos2cosyCy 9.29.2