2021年人教版高中数学必修第二册第8章《8.3.2课时精讲第2课时》(含解析)

1、第2课时球的表面积和体积知识点球的表面积和体积1球的表面积如果球的半径为R，那么它的表面积S4R2.2球的体积如果球的半径为R，那么它的体积VR3.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)决定球的大小的因素是球的半径()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()(3)球的体积V与球的表面积S的关系为VS.()答案(1)(2)(3)2做一做 (1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是()A. B. C. D2c2(2)表面积为4的球的半径是_(3)直径为2的球的体积是_(4)已知一个球的体积为，则此球的表面积为_答案(1)C(2)1(3)(4)4题型一 球的表面积与

2、体积例1(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64，求它的体积；(3)已知球的体积为，求它的表面积解(1)球的直径为6 cm，球的半径R3 cm.球的表面积S球4R236(cm2)，球的体积V球R336(cm3)(2)S球4R264，R216，即R4.V球R343.(3)V球R3，R3125，R5.S球4R2100.求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了(1)两个球的半径相差1，表面积之差为

3、28，则它们的体积和为_；(2)已知球的大圆周长为16 cm，求这个球的表面积答案(1)(2)见解析解析(1)设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得它们的体积和为R3r3.(2)设球的半径为R cm，由题意可知2R16，解得R8，则S球4R2256(cm2).题型二 球的截面问题例2一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4 C4 D6解析利用截面圆的性质先求得球的半径长如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM ，即球的半径为，V()34.答案B球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转

4、化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d.(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3(2)球的表面积为400，一个截面的面积为64，则球心到截面的距离为_答案(1)A(2)6解析(1)如图，作出球的

5、一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3)(2)如图，由已知条件知球的半径R10，截面圆的半径r8，球心到截面的距离h6.题型三 球的组合体问题例3设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2解析作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为a，则球的半径Ra，所以球的表面积S4R26a2.答案B条件探究将本例中长方

6、体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？解如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为BCD的中心，连接BE.棱长为a，BEaa.在RtABE中，AEa.设球心为O，半径为R，则(AER)2BE2R2，Ra，S球42a2.1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)2长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2，如图(2)3正四面体的外接球正四面体的棱长a

7、与外接球的半径R的关系为：2Ra.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C.a2 D5a2答案B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa，所以球的半径ROA满足R222a2，故S球4R2a2.1将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. B. C. D.答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是13.2正四棱锥的顶点都在同一球面

8、上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.答案A解析如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOE中，(4r)2()2r2，解得r，该球的表面积为4r242.3三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A1倍 B2倍 C.倍 D.倍答案C解析设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，其表面积分别为4r2,16r2,36r2，故最大球是其余两个球的表面积之和的倍4一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为，则球的体积为_答案解析设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，则由r2，得r1，又r2()2R2，R2.VR3.5有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示