数列专题---裂项相消法整体思想

1、数列运算中整体思想简化计算一、 整体代入把已知条件作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论。例1：在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=( )A.12 B.10 C.8 D.2+log35解析：log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=5log39=52=10，故应选B。例2：等差数列an的前10项和S10=100，前100项和S100=10，则前110项和S110等于（ ）A.-90 B.90 C.-110 D.110解析：S100-S10=a11+a12+a100=45(a1+

2、a110)=-90，a1+a110=-2故S110=-110，所以应选C。二、 整体求解把所求的结论作为一个整体，由已知条件变形或计算便得。例3：在等比数列an中，若a10，且a2a4+2a3a5+a4a6=16，则a3+a5的值为_。解析：由已知条件得a32+2a3a5+a52=16，即(a3+a5)2=16，解之得：a3+a5=4。a10，a2n-10，故a3+a5=4。例4：设等差数列an的前n项和为Sn，若S120，S130，得a6+a70；又S13=13a70，故S6最大。三、 整体转化把求解的过程作为一个整体，寓整体于转化之中。例5：已知等差数列an和等比数列bn满足条件：a1=b

3、1=a0，a2n+1=b2n+1=b。试比较an+1与bn+1的大小。解析：由a1=b1=a0，知a2n+1=b2n+1=b0。an+1-bn+1=，故an+1bn+1。四、 整体换元把陌生的或复杂的式子进行整体换元，这是一种化生为熟、以简驭繁的解题策略。例6：已知等差数列an的前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32，求公差d。解析：设前12项中奇数项和与偶数项和分别为S奇和S偶，则有，据此得：，即，解之得：S奇=162，S偶=192。故由S偶-S奇=6d=30，解之得：d=5。五、 整体假设把不确定的结论假设成一个整体，这是解决开放性问题的有效方法。例7：已知等比数

4、列an的首项a10，公比q0，q1；等差数列bn的公差d0，问是否存在一个常数a，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。解析：假设存在常数a，使得logaan-bn=k（定值） 则logaan+1-bn+1=k(定值) -得：loga(bn+1-bn)=0，即logaq=d，解之得a=，故存在一个常数a=，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。六、 整体构造把局部的构造成一个整体，这是在整体中求发展的一大创举。例8：若等差数列an的m项和与前n项和分别记为Sm与Sn，且(mn)。求证：。证明：=。“裂项相消法”的两种用途裂项相消法用在数列求和和证明不等式 魅力一、用于数列求和例1、求数列的前项的和解：数列的通项，所以点评:分式的求和多利用此法常见的拆项公式有：；等等例、设数列的前项和为，若对于N*，恒成立，求 解： ，则 ，得：，在中，当时，魅力二、用于证明不等式例3、已知数列的通项公式为，求证：证明：（）当时，（）当时，（）当时， ， 综合（）（）（）得例4、求证：，其中N* 证明：（1）当时