曲线积分与曲面积分(13)课件

1、曲线积分与曲面积分(13)第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 一、问题的提出一、问题的提出 二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长的曲线积分的计算三、对弧长的曲线积分的计算 四、几何与物理意义四、几何与物理意义 五、小结五、小结 思考题思考题 曲线积分与曲面积分(13)一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niii

2、isM 近似值近似值精确值精确值曲线积分与曲面积分(13)二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L),(,yxfxoyL函数面内一条光滑曲线弧为设nLMMMLLn分成把上的点用上有界在121,.,点个小段上任意取定的一i,),(iiisf作乘积niiiisf1),(并作和曲线积分与曲面积分(13)被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM ,0时长度的最大值如果当各小弧段的),(,yxf则称此极限为函数这和的极限存在第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧L即记作

3、线积分,),(,Ldsyxf.),(lim),(10niiiiLsfdsyxf曲线积分与曲面积分(13)2.存在条件：存在条件：,),(上连续时在光滑曲线弧当Lyxf3.推广推广上对弧长的在空间曲线弧函数),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf.),(存在对弧长的曲线积分Ldsyxf曲线积分为曲线积分与曲面积分(13)注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数曲

4、线积分与曲面积分(13)4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 曲线积分与曲面积分(13)定理定理三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算,),(上有定义且连续在曲线弧设Lyxf其中的参数方程为)(),(),(ttytxL且上具有一阶连续导数在,)(),(ttdtttttfdsyxfL)()()(),(),(22)(曲线积分与曲面积分(13)注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于

5、上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 曲线积分与曲面积分(13)推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 曲线积分与曲面积分(13)例例1).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI222

6、0)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 曲线积分与曲面积分(13)例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I曲线积分与曲面积分(13)例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求

7、求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa曲线积分与曲面积分(13)例1。计算lsdy，其中L 是抛物线2xy 上点o（0，0）与点B（1，1）之间的一段弧。Y xB(1,1)2xy L解：现在，L由方程) 10( 2xxy给出。因此：ssldxxdy22102)(1 xdxx1024110232)41 (121x) 155(121曲线积分与曲面积分(13)例2。计算半径为R、中心角为2圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度1)0RXYL解：取坐标系如图所示，则：sldyI2为

8、了便于计算，利用L的参数方程)(- sin cosRyRx于是：dRRRdyIsl22222)cos()sin(sin22sin2sin323RdR)cossin()2sin2(233RRR曲线积分与曲面积分(13)20222222)()sin()cos()(kttatadzyxs例3：计算曲线积分sdzyx)(222，其中为螺旋线ktztaytax sin cos上相应于t从0到2的一段弧。解：tdktata222)cos()sin(2022222)(tdkatka20322223tktaka)43(3222222kaka曲线积分与曲面积分(13)四、几何与物理意义,),()1(的的线线密密

9、度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 曲线积分与曲面积分(13),)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 曲线积分与曲面积分(13)五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧

10、长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用曲线积分与曲面积分(13)思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS 曲线积分与曲面积分(13)思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.曲线积分与曲面积分(13)一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)(

11、)()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 计计算算下下列列求求弧弧长长的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L为为圆圆周周222ayx , ,直直线线xy 及及x轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界；练习题练习题曲线积分与曲面积分(13) 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它关于、它关于Z轴的转动轴的转动ZI惯惯量量； 2 2、它的重心、它的重心 . .曲线积分与曲面积分(13)练习题答案练习题答案一、一、1 1、 Ldsyx)