工程流体力学(汪楠版)第2章

1、 欢欢 迎迎 使使 用用 工程流体力学 多媒体授课系统多媒体授课系统重庆科技学院重庆科技学院工程流体力学工程流体力学课程组课程组第二章第二章 流体静力学流体静力学 2.1 2.1 概述概述 2.2 2.2 流体静压力及其特性流体静压力及其特性 2.3 2.3 流体静止的平衡微分方程式流体静止的平衡微分方程式 2.4 2.4 重力作用下静止流体中压强分布规律重力作用下静止流体中压强分布规律 2.5 2.5 静压强的表示方法及其单位静压强的表示方法及其单位 2.6 2.6 流体的相对静止流体的相对静止 2.7 2.7 静止流体对平面作用力计算静止流体对平面作用力计算 2.8 2.8 静止流体对壁面

2、作用力计算静止流体对壁面作用力计算v教学内容教学内容：v重点重点：。v难点难点：。基本要求基本要求：。2.1 概述概述v v流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。v所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。运动，达到了相对的平衡。v因此流体处于静止状态包括了两种形式：因此流体处于静止状态包括了两种形式： 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为重力场一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的

3、液体。中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。 另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动容器无另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止叫相对静相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直线运动和作止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。等角速度旋转运动的容器内的液体。2.2 2.2 流体静压力及其特性流体静压力及其特性2.2.1 流体静压力流体静压力 压强：在静止或相对静止的流体中，单位面积上的内法向表压强：在静止或相对静止的流体中，单

4、位面积上的内法向表面力称为压强。面力称为压强。 2.2.2 静压力的两个特性：静压力的两个特性：I、流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线方向。方向。 （利用静止流体性质进行证明）（利用静止流体性质进行证明）II、静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无关，即同一点各方向的流体静压强均相等。无关，即同一点各方向的流体静压强均相等。2.2.3 特性二证明特性二证明证明：在静止流体中任取一包含证明：在静止流体中任取一包含 A点在内的微小四点在内的微小四面体面体ABCD ，

5、各边长分别为，各边长分别为 dx 、dy 、dz ，坐标如，坐标如图图3-3选取。因为微小四面体处于平衡状态，所以选取。因为微小四面体处于平衡状态，所以其上所受的力是平衡的。作用于微小四面体上的力其上所受的力是平衡的。作用于微小四面体上的力只有质量力和表面力两种。只有质量力和表面力两种。首先分析质量力，设流体的密度为首先分析质量力，设流体的密度为，则微小四面，则微小四面体流体所具有的质量为体流体所具有的质量为 dm= dxdydz/6，则质量力，则质量力在在 x、y、z 轴上的分量为：轴上的分量为： Fx = dm fx = fx dxdydz /6 Fy = dm fy = fy dxdyd

6、z /6 Fz = dm fz = fz dxdydz /6 再考察微小四面体再考察微小四面体ABCD四个面上所受到的表面力，四个面上所受到的表面力，设作用于设作用于ACD 、ABD 、ABC 和和BCD 四个面上的压四个面上的压强分别为强分别为 px ，py ，pz 。由于四面体很小，可以认为。由于四面体很小，可以认为在各个微小表面上的压强是均布的，则在各相应表面在各个微小表面上的压强是均布的，则在各相应表面上的表面力为上的表面力为 Px=dy dz px/2 Py=dx dz py/2 Pz=dx dy pz/2 Pn=ds pn 式中式中ds为斜面为斜面BCD 的面积。的面积。分别列出分

7、别列出x轴、轴、y轴、轴、z轴方向上的力平衡方程式，得轴方向上的力平衡方程式，得Fx + Px- Pn dscos(n,x)=0Fy + Py- Pn dscos(n,y)=0Fz + Pz- Pn dscos(n,z)=0 以以x轴为例，将质量力和表面力表达式代入轴为例，将质量力和表面力表达式代入x轴向里平轴向里平衡关系方程衡关系方程得：得： fxdxdydz/6 + pxdydz/2 pn dscos(n,x)=0 式中式中dscos(n,x)=dydz/2，所以上式变成，所以上式变成 fx dxdydz/6 + (px pn)dydz/2 = 0令令dx、dy、dz趋近于零趋近于零则有：

8、则有： px = pn 同理可得：同理可得： py = pn pz = pn所以所以 px = py = pz = pn总结：总结：流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。即：连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分，由此得静压强的全微分为为zzpyypxxppdddd2.3 2.3 绝对压力和相对压力绝对压力和相对压力1 1、大气压强、大气压强( (p pa a）：由地球表面上的大气层产生的压）：由地球表面上的大气层产生的压强。强。2 2、国际标准大气压强、国际标准大气压强( (p patmatm） ：将地球平均纬度（北：将

9、地球平均纬度（北纬纬4545）, ,海平面海平面z = 0z = 0处，温度为处，温度为15C15C时的压强平均时的压强平均值。定义为国际标准大气压强。且值。定义为国际标准大气压强。且p patmatm= 101325Pa= 101325Pa 。 3 3、流体静压强的表示方法、流体静压强的表示方法v表压强：表压强：表压强是以大气压强为基准算起的压强，以表压强是以大气压强为基准算起的压强，以pb表示。表示。v绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以pj表示。表示。v真空度：真空度：低于大气压强，负的表压强称为真空度，以低于大气压强，负的

10、表压强称为真空度，以pz 表示。表示。 3 3、表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系v 绝对压强绝对压强 = 大气压强大气压强 + 表压强表压强v 表压强表压强 = 绝对压强绝对压强 大气压强大气压强v 真空度真空度 = 大气压强大气压强 绝对压强绝对压强4、静压强的计量单位、静压强的计量单位v应力单位：应力单位：Pa、N/m2、barv液柱高单位：液柱高单位：mH2O、mmHgv标准大气压：标准大气压：1 atm = 760 mmHg =10.33 mH2O = 101325 Pa 1bar 2.3.1 平衡微分方程式平衡微分方程式以图示微小平

11、行六面体为研究对象，六面体质量为以图示微小平行六面体为研究对象，六面体质量为dm=dxdydz 首先考察三个轴向上的质量力：首先考察三个轴向上的质量力： Fx = fx dm = fx dxdydz Fy = fy dm = fy dxdydz Fz = fz dm = fz dxdydz其次分析三个轴向上的表面力：其次分析三个轴向上的表面力：假设假设A点的压强为点的压强为p(x,y,z)，则根据静压强特性二，则根据静压强特性二，有：有： pABD = pABC = pACD = p (x,y,z)将函数将函数p = p (x,y,z)进行泰勒级数展开，并只取一阶无进行泰勒级数展开，并只取一阶

12、无穷小量，从而得到其它对应三个面上的压强为：穷小量，从而得到其它对应三个面上的压强为：2.32.3流体静止的平衡微分方程式流体静止的平衡微分方程式3.3 3.3 静止流体的微分方程静止流体的微分方程yxzoodxdydzN2dxxpp M2dxxpp 左左P右右PdxdydzXFx 质量力：质量力：0 Fdydzdxxpp 21dydzdxxpp 21在流场中取任意六面体进行分析在流场中取任意六面体进行分析表面力：表面力：用用dxdx、dydy、dzdz除以上式，并化简得除以上式，并化简得同理同理01 xpX 01 ypY 01 zpZ 欧拉平衡微分方程（欧拉平衡微分方程（17551755）0

13、1 pf 02121 dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp 由此得三个方向上的表面力分别为：由此得三个方向上的表面力分别为：X向向Y向向Z向向微小六面体在三个轴向上处于平衡状态，所以作用微小六面体在三个轴向上处于平衡状态，所以作用在其上的质量力和表面力的合力应为在其上的质量力和表面力的合力应为0。即。即：xxpppBEdyypppCEdzzpppDEddd(d )ddppyzpxyzxd d(d )d dppxzpyxzydd(d )ddppxypzxyzdd(d )ddd dd0 xppyzpxyzfxyzxdd(d )ddddd0yppxzpyxzfxyzyd d(d )d

14、dd dd0zppxypzxyfxyzz化简得：化简得：两边同除六面体质量两边同除六面体质量dxdydz ，则得单位质量，则得单位质量流体的力平衡方程为：流体的力平衡方程为：dddddd0 xpfxyzxyzxdddddd0ypfxyzxyzydddddd0zpfxyzxyzz01xpfx10ypfy01zpfz总结：总结：（1）欧拉平衡微分方程式适用于任何种类的平衡流体。）欧拉平衡微分方程式适用于任何种类的平衡流体。（2）欧拉平衡微分方程说明了微元平衡流体的质量力和）欧拉平衡微分方程说明了微元平衡流体的质量力和表面力无论在任何方向上都应该保持平衡，即：平衡表面力无论在任何方向上都应该保持平衡

15、，即：平衡流体在哪个方向上有质量分力，则流体静压强沿该方流体在哪个方向上有质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；反之平衡流体在哪个方向上没有质向必然发生变化；反之平衡流体在哪个方向上没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。假量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压强必然处处相等。强必然处处相等。2.3.2 力势函数力势函数1、压强差公式（欧拉平衡微分方程式综合形式）、压强差公式（欧拉平衡微分方程式综合形式）把欧拉平衡微分方程式中的三个方程分别乘以把欧拉平衡微分方程式中的三个方程分别

16、乘以dx、dy、dz ，然后相加得，然后相加得 上式右边为压强的全微分上式右边为压强的全微分 ，因此，因此2、质量力的势函数、质量力的势函数压强差公式中的压强差公式中的dp积分后得到一点上的静压强积分后得到一点上的静压强p，而平衡流体中任意一点的静压强由其坐标唯一确而平衡流体中任意一点的静压强由其坐标唯一确定，因此定，因此压强差公式左端的积分也应该是一个唯一压强差公式左端的积分也应该是一个唯一确定的值。确定的值。zzpyypxxpzfyfxfzyxddd)ddd()ddd(dzfyfxfpzyx取函数取函数U(x,y,z)令：令：则有：则有：所以压强差公式变化为：所以压强差公式变化为：3、重力

17、场中平衡流体的质量力势函数、重力场中平衡流体的质量力势函数重力场中单位质量力为：重力场中单位质量力为：fx= 0, fy= 0, fz= -g, 代入力代入力势函数公式有：势函数公式有：积分得：积分得：U = -gz + cxUfxyUfyzUfzddddxyzUUUUxyzxyz= f dxf dyf dzd(ddd )xyzpfxfyfzdUddddxyzUUUUxyz= f dxf dyf dzxyzgdz 2.3.3 等压面及其特性等压面及其特性1、等压面：、等压面：在静止流体中，由压强相等的点所组成的面。在静止流体中，由压强相等的点所组成的面。2、等压面微分方程式、等压面微分方程式

18、fxdx + fydy + fzdz = 03、等压面的性质：等压面的性质： I、等压面也是等势面；等压面也是等势面； II、等压面垂直于单位质量力；、等压面垂直于单位质量力； 证明：取等压面上任意微小线段证明：取等压面上任意微小线段dl = dxi + dyj + dzk，令，令R = fxi + fyj + fzk为为等压面上任意一点的单位质量力等压面上任意一点的单位质量力，则有：，则有：只有只有 cos(R,dl) = 0，上式成立，所以单位质量力，上式成立，所以单位质量力R与等压面垂直。与等压面垂直。 III、两种互不掺混液体的分界面也是等压面、两种互不掺混液体的分界面也是等压面0dd

19、d)d,cos(ddzfyfxfzyxlRlRlR2.4 重力作用下流体中的压强分布规律重力作用下流体中的压强分布规律2.4.1 2.4.1 流体静力学基本方程流体静力学基本方程 推导：推导：在重力场中，单位质量力分量为：在重力场中，单位质量力分量为：fx= 0 , fy= 0 , fz= -g 代入压强差公式：代入压强差公式：得：得：即：即： 对于不可压缩流体，对于不可压缩流体， = = 常数。积分得：常数。积分得： p + gz = c 形式一形式一由图由图3-5，从均质连续流体中取任意两，从均质连续流体中取任意两点点1、2，假设，假设其铅垂坐标分别为其铅垂坐标分别为 z1和和z2 ，静压

20、强分别为，静压强分别为p1 和和 p2，则上式又可写成：则上式又可写成：p1+ gz1 = p2+ gz2 = c (ddd )0 xyzdpfxfyfzdpgdzdpgdz 简单变换为：简单变换为： 形式二形式二 或或 形式三形式三上三式统称为流体静力学基本方程，又称水静力学上三式统称为流体静力学基本方程，又称水静力学基本方程。基本方程。二、流体静力学基本方程的能量意义和几何意义二、流体静力学基本方程的能量意义和几何意义（1）位置水头（位置高度）：流体质点距某一水）位置水头（位置高度）：流体质点距某一水平基准面的高度。（见图平基准面的高度。（见图3-5中的中的z）（2）压强水头（压强高度）：

21、由流体静力学基本方程中的）压强水头（压强高度）：由流体静力学基本方程中的p/( g)得到的液柱高度。（见图得到的液柱高度。（见图3-5中的中的hp）（3）静力水头：位置水头）静力水头：位置水头z和压强水头和压强水头p/( g)之和。之和。1212ppcgzgz1212ppcggzz（4）几何意义：在重力场中，对均质连续不可压缩静止流体，）几何意义：在重力场中，对均质连续不可压缩静止流体，其静力水头为一确定值，换句话说其静力水头为一确定值，换句话说静力水头的连线为一平行静力水头的连线为一平行于某一基准面的水平线。于某一基准面的水平线。 （5）压强势能：流体静力学基本方程中的）压强势能：流体静力学

22、基本方程中的p/ 项为单位质量流项为单位质量流体的体的压强势能。压强势能。（6）能量意义：）能量意义：在重力场中，对均质连续不可压缩平衡流体，在重力场中，对均质连续不可压缩平衡流体，任意一点单位质量流体的总势能保持不变任意一点单位质量流体的总势能保持不变 。三、自由液面不可压缩流体压强基本公式三、自由液面不可压缩流体压强基本公式（1）压强基本公式）压强基本公式p=p0+ gh （2）淹深：自由液面下的深度。）淹深：自由液面下的深度。（3）液面压强的产生方式：）液面压强的产生方式：外力施加于流体表面产生压强。外力施加于流体表面产生压强。一是通过固体对流体施加外力而产生压强；一是通过固体对流体施加

23、外力而产生压强；二是通过气体使液体表面产生压强；二是通过气体使液体表面产生压强；三是通过不同质的液体使液面产生压强。三是通过不同质的液体使液面产生压强。（4）帕斯卡原理：液面压强能够在流体内部等值传递的原理。）帕斯卡原理：液面压强能够在流体内部等值传递的原理。 hhhv流体静压强基本方程式表明：（1）重力作用下的静止液体中，任一点的静压强可以由自由表面上的压强通过静力学基本方程式得到，用它可以求静止液体中任一点的静压强值。（2）静止液体自由表面上的表面压力均匀传递到液体内各点（这就是著名的帕斯卡定律，如水压机、油压千斤顶等机械就是应用这个定律制成的）。（3）静压强分布规律可以用静压强分布图表示

24、。液体 内的静压强值随深度按直线变化（图2-8）。淹 没深度越大的点，其静压力值越大。（4）静止液体内不同位置处的流体静压力数值不同， 但其数值之间存在一定的关系。gpzgpz2211v流体静压强基本方程式的意义 1、物理意义：由公式gpzgpz2211 代表单位重力流体的位置势能， 代表单位重力流体的 压力势能，在平衡流体内部，位置势能和压力势能可以相互转化，但是总能量保持恒定。 流体静压强基本方程式的意义就是平衡流体中的总能量是一定的。这也是能量守衡与转化定律在平衡流体中的体现。zgp2、几何意义： 称为位置水头， 被称为压强水头。 （位置势能） （压强势能） 它们都代表一定的液柱高度。z

25、gp 流体静压强基本方程式说明静止液体中各点的位置势能与压强势能之间可以互相转换，但各点的总势能是一定的，永远相等。即各点的总势能在同一个水平面上。v静压强的计算标准 真空度真空度:当压力比当地大气压低时，流体压力与当地大气压的差值 称为真空度。以当地大气压为计算标准表示的压力。计示压强(表压强)pgh绝对压强：ghppa以绝对真空为起点表示的压力。2.5 静压强的表示方法及其测量静压强的表示方法及其测量2.5.1 2.5.1 静压强的表示方法静压强的表示方法1 1、大气压强、大气压强( (p pa a）：由地球表面上的大气层产生的压）：由地球表面上的大气层产生的压强。强。2 2、国际标准大气

26、压强、国际标准大气压强( (p patmatm） ：将地球平均纬度（北：将地球平均纬度（北纬纬4545）, ,海平面海平面z = 0z = 0处，温度为处，温度为15C15C时的压强平均时的压强平均值。定义为国际标准大气压强。且值。定义为国际标准大气压强。且p patmatm= 101325Pa= 101325Pa 。 3 3、流体静压强的表示方法、流体静压强的表示方法v表压强：表压强：表压强是以大气压强为基准算起的压强，以表压强是以大气压强为基准算起的压强，以pb表示。表示。v绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以pj表示。表示。

27、v真空度：真空度：低于大气压强，负的表压强称为真空度，以低于大气压强，负的表压强称为真空度，以pz 表示。表示。 3 3、表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系v 绝对压强绝对压强 = 大气压强大气压强 + 表压强表压强v 表压强表压强 = 绝对压强绝对压强 大气压强大气压强v 真空度真空度 = 大气压强大气压强 绝对压强绝对压强4、静压强的计量单位、静压强的计量单位v应力单位：应力单位：Pa、N/m2、barv液柱高单位：液柱高单位：mH2O、mmHgv标准大气压：标准大气压：1 atm = 760 mmHg =10.33 mH2O = 1013

28、25 Pa 1bar 2.5.2 压强的测量压强的测量1、测量仪表、测量仪表v金属弹性式压强计：液压传动中的压力表。大量程直接观测。金属弹性式压强计：液压传动中的压力表。大量程直接观测。v电测式压强计：压力传感器。远程动态测量。电测式压强计：压力传感器。远程动态测量。v液柱式压强计：用于低压实验场所。精度高液柱式压强计：用于低压实验场所。精度高 。2、测压管、测压管v测量方法：测量方法： A点的绝对压强点的绝对压强 pj =pa+ ghA点的表压强点的表压强 pb=pj-pa= gh3、U型测压计型测压计v测压原理：等压面性质测压原理：等压面性质v测压公式：测压公式：如图如图3-8中，两种液体

29、的交界面上的点中，两种液体的交界面上的点1和点和点2 是等压是等压面，所以点面，所以点1和点和点2的静压强相等，即的静压强相等，即 p1=p2 。设。设A点点的绝对压强为的绝对压强为pj，则有则有 p1=pj+ 1gh1p2=pa+ 2gh2p1 = p2，所以，所以 pj+ 1gh1= pa+ 2gh2A点的绝对压强：点的绝对压强： pj=pa+ 2gh2- 1gh1 A点的表压强：点的表压强： pb=pj-pa= 2gh2- 1gh1v注意：注意：工作液体的密度要大于被测液体的密度，并且这两种工作液体的密度要大于被测液体的密度，并且这两种液体不能掺混。液体不能掺混。 4、U型差压计型差压计

30、v测试原理：存在两个等压面测试原理：存在两个等压面12和和33在在12等压面上有：等压面上有：p1=p2=p3+ 1gh1在在33等压面上有：等压面上有： pB=p3+ ghB 而：而： pA=p1+ ghA即：即： pA=p3+ 1gh1+ ghA=pB + 1gh1+ ghA - ghB 于是于是 pA-pB= 1gh1+ ghA- ghB = 1gh1- g(hB-hA) = 1gh1- gh1 =( 1- )gh15、微压计、微压计v测试原理：连通容器中装满密度测试原理：连通容器中装满密度为为 2的液体，右边的测管可以绕的液体，右边的测管可以绕枢轴转动从而形成较小的锐角，枢轴转动从而形

31、成较小的锐角，容器原始液面为容器原始液面为OO，当待测气，当待测气体（体（ppa)引入容器后，容器液面引入容器后，容器液面下降下降 h ，而测管中液面上升，而测管中液面上升h，形成平衡。根据等压面形成平衡。根据等压面方方程，有：程，有： pj=pa+ 2g(h+ h)表压强表压强 pb = pj-pa = 2g(h+ h)而而 h=L sin 根据体积相等原则有：根据体积相等原则有：变换为：变换为：所以所以 pb = 2gL(sin+(d/D)2)4422dLDhLDdh2)(一、容器做匀加速直线运动一、容器做匀加速直线运动例：如图例：如图3-12所示，设盛有液体的容器以等加速度所示，设盛有液

32、体的容器以等加速度a，沿与水平面成，沿与水平面成 角的倾斜面做直线运动。试分角的倾斜面做直线运动。试分析平衡状态下流体的压强分布情况。析平衡状态下流体的压强分布情况。第一步：建立适当的坐标系；第一步：建立适当的坐标系；第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位质量力分量：质量力分量：fx= 0 , fy=acos , fz=asin -g 第三步：根据相应几何关系确定等压面方程第三步：根据相应几何关系确定等压面方程acos dy+(asin -g)dz=0 于是：于是：2.6 2.6 流体的相对静止流体的相对静止tgsincosagaydzd第四步

33、：根据压强差公式，建立流体的压强分布公第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公式。式。由压强差公式：由压强差公式：dp= (fxdx+fydy+fzdz)得：得： dp= acos dy+(asin -g)dz 积分得积分得 p= aycos +z(asin -g) +c其中其中 c=p0 ，于是得出，于是得出p=p0+aycos +z(asin -g) 二、匀加速直线运动的两个特例二、匀加速直线运动的两个特例特例特例1容器向左沿水平面作匀加速直线运动容器向左沿水平面作匀加速直线运动图示坐标系中：图示坐标系中：单位质量力：单位质量力： fx= 0 , fy=a , fz=-g 等压面方程：

34、等压面方程：tan=a/g压强分布公式：压强分布公式： dp= ady-gdz 积分得积分得 p= ay +z(-g) +c其中其中 c=p0 ，于是得出，于是得出 p=p0+ ay +z(-g) =p0+ g (a/g)y -z = p0+ g ytan -z = p0+ gh 定义定义 h=ytan -z 为倾斜液面下的淹深为倾斜液面下的淹深特例特例2容器沿铅锤方向作匀加速直容器沿铅锤方向作匀加速直线运动线运动向下运动时：向下运动时：v图示坐标系中：图示坐标系中：v单位质量力：单位质量力： fx= 0 , fy=0 , fz=a-g v等压面方程：等压面方程：tan= 0v压强分布公式：压

35、强分布公式： dp= (a-g)dzv积分得积分得 p= (a-g)z+cv其中其中 c=p0 ，于是得出，于是得出v p=p0+ (a-g)z v =p0+ (g-a)(-z) = p0+ (g-a)h v此时此时 h=-z 为液面下的淹深为液面下的淹深 向上运动时：向上运动时：v图示坐标系中：图示坐标系中：v单位质量力：单位质量力： fx= 0 , fy=0 , fz=-a-g v等压面方程：等压面方程：tan= 0v压强分布公式：压强分布公式： dp= (-a-g)dzv积分得积分得 p= (-a-g)z+cv其中其中 c=p0 ，于是得出，于是得出v p=p0+ (-a-g)z v =

36、p0+ (g+a)(-z) v = p0+ (g+a)h v此时此时 h=-z 为液面下的淹深为液面下的淹深 三、容器做等角速度旋转运动三、容器做等角速度旋转运动例：如图例：如图3-13所示。盛有液体的容器绕铅垂轴旋所示。盛有液体的容器绕铅垂轴旋转，当运动为等角速度旋转时，液体质点之间没有转，当运动为等角速度旋转时，液体质点之间没有相对运动，处于平衡状态。相对运动，处于平衡状态。第一步：建立适当的坐标系；第一步：建立适当的坐标系；第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位质量力分量：质量力分量：fx= 2x , fy= 2y , fz=-g 第三步

37、：根据相应几何关系确定等压面方程第三步：根据相应几何关系确定等压面方程 2x dx+ 2ydy-gdz=0 积分得：积分得：cgzr222第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公式。式。由压强差公式：由压强差公式：dp= (fxdx+fydy+fzdz)得：得： dp= ( 2x dx+ 2ydy-gdz)积分得积分得 p= g 2r2/(2g)-z+c其中其中 c 根据实际问题的边界条件确定。根据实际问题的边界条件确定。四、等角速度旋转运动的两个特例四、等角速度旋转运动的两个特例特例特例1如图如图3-14容器顶盖中心开口通大气。容器顶盖中心开口

38、通大气。分析：根据压强分布规律方程分析：根据压强分布规律方程p= g 2r2/(2g)-z+c代入边界条件：代入边界条件：r=0, z=0时，时，p=0，得，得 c=0 所以有：所以有：p= g 2r2/(2g)-z当当r=R时，边缘处压强为时，边缘处压强为p=2R2/2- gz特例特例2如图如图3-15容器顶盖边缘开口通大气。容器顶盖边缘开口通大气。分析：根据压强分布规律方程分析：根据压强分布规律方程p= g 2r2/(2g)-z+c代入边界条件：代入边界条件：r=R, z=0时，时，p=0，得，得 c=-2R2/2 所以有：所以有：p= 2(r2-R2)/2 - gz当当r=0时，中心处压

39、强为时，中心处压强为p=-2R2/2一、静止流体对平面壁的总压力一、静止流体对平面壁的总压力实例分析：设有一任意形状的平板，其面积为实例分析：设有一任意形状的平板，其面积为A，置于静止液体之中，如图置于静止液体之中，如图3-16所示。液体中任意点所示。液体中任意点的压强与淹深的压强与淹深 h 成正比，且垂直指向平板。液体对成正比，且垂直指向平板。液体对平板的总作用力，相当于对平行力系求合力。平板的总作用力，相当于对平行力系求合力。 （1）力的求解）力的求解在平板受压面上，任取一微小面积在平板受压面上，任取一微小面积dA ，其上的压，其上的压强可看成均布，则强可看成均布，则p=p0+ gh = p0+ gysin 2.7 2.7 静止流体对壁面作用力的计算静止流体对壁面作用力的计算因此微元面积因此微元面积 dA上受到流体的微小作用力为上受到流体的微小作用力为 dF=pdA= (p0+ gysin )dA积分上式得流体作用于平板积分上式得流体作用于平板 A上的总压力上的总压力 （2）面积矩：定义）面积矩：定义 为平面为平面A 绕通过绕通过o点的点的ox轴轴的面积矩。而的面积矩。而 ，yc是平板形心是平板形心c 到到ox轴的轴的距离。且距离。且ycsin =hc，所以总压力化为，所以总压力化为