微分方程4-5-6ppt

1、)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.

2、线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)(

3、)()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解

4、解例例1 1例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 二、伯努利方程二、伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形

5、式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n时时，当当1 , 0 n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.，得，得两端除以两端除以ny),()(1xQyxPdxdyynn ,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(代入上式代入上式),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn例例 5.

6、42的的通通解解求求方方程程yxyxdxdy 解解，得，得两端除以两端除以y,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(2

7、2zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解

8、。的方程来求解。第五节第五节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，用降阶法求解，一般都没有初等解法，以二阶方程以二阶方程 0),( yyyxF为例展开讨论为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况重点讨论能将二阶导数解出的情况),(yyxfy 如果我们设法作变量代换把它从二阶降如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，

9、就有可能应用前节中所介绍的方法至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解来求解一、一、 型型)(xfy 特点：特点：右端不含右端不含 yy ,仅是仅是 x 的函数的函数 解法：解法： 将将y 作为新的未知函数作为新的未知函数降阶降阶 令令yz zy 有有)(xfz 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程 积分积分 1)(cdxxfz即即 1)(cdxxfy再积分再积分 21)(cxcdxdxxfy对对 n 阶方程阶方程同理同理)()(xfyn 令令) 1( nyz)(xfz 积分得积分得 1)1()(cdxxfyn如此连续积分如此连续积分n 次即得原方程的次即得原方程的含有含有n个任意常数

10、的通解个任意常数的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyxfy特点：特点：.,)1( kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数解法：解法：zyk )(令.,)()()1(knnkzyzy 则则).,()1()( knknzzxfzz 的的(n-k)阶方程阶方程, z求求得得,)(次次连连续续积积分分将将kzyk 可得通解可得通解.例例1 xysin)4( 解解1coscxy 21sincxcxy 322121coscxcxcxy 4322312161sincxcxcxcxy 例例 2.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设)()5(xPy 代入

11、原方程代入原方程, 0 PPx）（0 P解线性方程解线性方程, 得得xCP1 ,1)4(xCy 即即两端积分两端积分,得得,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 原方程通解为原方程通解为54233251dxdxdxdxdy 二、二、 型型),(yxfy 特点：特点：右端不含右端不含 y 解法：解法：降阶降阶令令 py py 代入原方程得代入原方程得),(pxfdxdp 若已求得其通解为若已求得其通解为),(1cxp 回代回代 py 得得),(1cxdxdy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得 21),(cdxcxy 例例3 解方程解方程3, 1

12、,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1 (2 分离变量得分离变量得212xxpdp 12ln)1ln(lncxp 即即)1 (21xcp )1 (21xcy 由由得得30 xy31 c)1(32xy 233cxxy 由由1120 cyx故故133 xxy解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 例例4 曲线？在平衡状态时是怎样的下垂。试问绳索绳索仅受重力的作用而索，两端固定，设有一均匀，柔软的绳例例 3例5 位于坐标原点处的军舰，向位于x轴上从点

13、A(1,y)处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰.设敌舰以常速v0沿平行于y轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程.), 1 (),()( 0处处，敌舰位于点点鱼雷位于，在时刻为设鱼雷航行的曲线方程tvQyxPtxyy 解，由导数的几何意义可知处的切线在点是曲线故因鱼雷始终对准敌舰，xytvPCCQyyxPxyyPQ1tan .),()(0，的长度为又曲线弧tvxyOPx0022d1 .2)1 (2d1 020yyxxytvx，得从上面两式消去，求导，得将上式两端对yyxyyx2)1 (221 2. 0)0(, 0)0( yy依题意，有初值条件为.)()3( )1 (21

14、 2应满足的微分方程这就是曲线，即xyyxyy.)1 (21dd )3(dd.)3(2xpxpxpypy中，得代入方程，则令满足初值条件的特解下面求方程，分离变量，得)1 (2d1d 2xxpp，化简得，积分得211212)1 (1 ln)1ln(21)1ln( xCppCxpp)4( )1 (1 10)0()0( 2121，所以代入上式，得以xppCpy)5( )1 (1 )1 (11 212212，即，而xppxpp，即得，可解出和由21212121)1 (21)1 (21 )1 (21)1 (21 )5()4(xxyxxp.)1 (31)1 ( d)1 (21d)1 (21 223212

15、121Cxxxxxxyx积分，得再对.32)1 (31)1 ( .320)0(23212xxyCy鱼雷航行曲线方程为代入，即以三、三、 型型),(yyfy 特点：特点：右端不含右端不含 x降阶降阶解法：解法：令令pdxdyy dxdpy 由复合函数求导法则得由复合函数求导法则得dxdydydpdxdpy dydpp 代入原方程得代入原方程得 ),(pyfdydpp 这是一个关于这是一个关于 y ，p 的一阶方程的一阶方程若已求得它的通解为若已求得它的通解为),(1cypy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得21),(1cxdycy 即得原方程的通解即得原方程的通解一般情况一般

16、情况),()1()()( nknyyyfy特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则,)(2222dydPPdyPdPy ,阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()( nyP求得其解为求得其解为),()(11 nCCyyPdxdy原方程通解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 例例5 解方程解方程3)(yyy 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1积分得积分得21)sin(ln

17、cxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 若若0 p则则cy 包含在通解中包含在通解中如一方程既属于不含如一方程既属于不含 x 型型 又属于不含又属于不含 y 型型则一般而言则一般而言若两边可消去若两边可消去 p 作为不含作为不含 x 型（类型三）型（类型三）来解较简单来解较简单 若两边不可消去若两边不可消去 p 作为不含作为不含 y 型（类型二）型（类型二）来解较简单来解较简单注注 例例6 解方程解方程 2 yy解解 令令 yz 2 dxdzz42 dxdz)( 412cxz 12cxy 2231)(34ccxy 32251)(158cxccxy 12cxz

18、 例例 7.02的通解的通解求方程求方程 yyy解一解一),(ypy 设设,dydPpy 则则代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可可得得,1yCdxdy 原方程通解为原方程通解为.12xceCy 解二解二,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 解三解三原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy 解：设卫星的质量解：设卫星的质量m，由牛

19、顿第二定律、万有引力定律，由牛顿第二定律、万有引力定律2222:,xMkdtxdxmxmMkmaF 即即并满足初始条件：并满足初始条件：)(,000待待定定vvRxtt 解得：解得：)2(2202RMkvxMkv 只有当人造卫星的速度始终大于零，才能脱离地球引力。只有当人造卫星的速度始终大于零，才能脱离地球引力。RkmvRMkvv2, 02, 020202 只要只要故，要使故，要使 发射人造卫星的最小速度：发射人造卫星的最小速度：v0 x=R时，万有引力时，万有引力=卫星的重力，即卫星的重力，即2RkmMmg 秒秒米米/1012.11106381. 922350 Rgv第二宇宙速度第二宇宙速度

20、一、概念的引入一、概念的引入例例: :设设有有一一弹弹簧簧下下挂挂一一重重物物,如如果果使使物物体体具具有有一一个个初初始始速速度度00 v,物物体体便便离离开开平平衡衡位位置置,并并在在平平衡衡位位置置附附近近作作上上下下振振动动.试试确确定定物物体体的的振振动动规规律律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻阻力力xxo第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthxkdt

21、dxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定理定理 1 1 如果函数如果函数)(

22、1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常数）数）问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数如果存在个函数如果存在n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I内内线性相关线性相关否则否则称称线性无关线性无关例如例如xx22sin,cos1，x

23、xxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时时，当当),( x特别地特别地: 若在若在 I 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理

24、3 3 设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy 的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那

25、么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理第七节二阶常系数齐次线性方程解法第七节二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法0 qyypy,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程特征根特征根,2422,1qppr 特点特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想猜想有特解有特解rxey 有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根为特征根为,2421qppr ,2422qp

26、pr 两个线性无关的特解两个线性无关的特解,11xrey ,22xrey 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 有两个相等的实根有两个相等的实根特征根为特征根为,221prr 一特解为一特解为,11xrey ,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy )0( 有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为,1 jr ,2 jr ,)(1xjey

27、 ,)(2xjey 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx )0( 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .方法步骤方法步骤写出特征方程写出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解)(21实rr xrxrececY2121 21rr xrexccY1)(21 jr 2

28、, 1)sincos(21xcxceYx 例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程为特征方程为0322 rr特征根为特征根为3, 121 rr齐通解为齐通解为xxececY321 例例2 2.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例3 3.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例4 设圆柱形浮筒，直径为设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水