同济大学高数课件ch3_9

1、定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功从物理学中知道，如果物体在作直线运动的过程中受从物理学中知道，如果物体在作直线运动的过程中受|WFs到常力到常力 的作用，并且力作用的方向与位移的方向一致，的作用，并且力作用的方向与位移的方向一致，F则当物体移动了距离则当物体移动了距离 s 时，力时，力 对物体所作的功为对物体所作的功为FFs如果物体在运动过程中受到变力的作用，又该如何求如果物体在运动过程中受到变力的作用，又该如何求出相应的功呢？出相应的功呢？d| dWFx问题的分析：设质点在变力问题的分析：设质点在变力 的作用下，由点的作用下，由点 a 位移

2、位移FFabx到点到点 b在位移过程中，设质点从在位移过程中，设质点从 x 移到移到 处时，处时，dxx由于由于 很小，故把很小，故把 看为常力，则相应的功元素为看为常力，则相应的功元素为d xF上述只是一个基本的做法，在具体问题中，还有确定上述只是一个基本的做法，在具体问题中，还有确定坐标系、选定合适的积分变量等问题，因此具体问题还坐标系、选定合适的积分变量等问题，因此具体问题还需具体分析，下面具体举例说明需具体分析，下面具体举例说明点点 O 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力例例1 把一个带电量为把一个带电量为 的点电荷放在的点电荷放在

3、 r 轴的坐标原轴的坐标原q到到 处时，求电场力处时，求电场力 F 对它所作的功对它所作的功()rb ba离原点离原点 O 为为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为的地方，那么电场对它的作用力的大小为2qFkr( k 是常数是常数)当这个单位正电荷在上述电场中从当这个单位正电荷在上述电场中从 处沿处沿 r 轴移动轴移动 ra由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中rOabq解解 取取 r 为积分变量，在为积分变量，在 区间中取一小区间区间中取一小区间 , a b2dkqrr，从而功元素为从而功元素为于是，所求的功为于是，所求的功为

4、,d r rr，当单位电荷从当单位电荷从 r 移动到移动到 时，电场力时，电场力drr对它所作的功近似于对它所作的功近似于2ddkqWrr，2111dbbaakqWrkqkqrrab 2qFkr例例2 有一弹簧，用有一弹簧，用5N的力可以将它拉长的力可以将它拉长0.01m，现，现解解 由物理学知道，在弹性限度范围内，使弹簧产生由物理学知道，在弹性限度范围内，使弹簧产生Fkx当当 时，有时，有0.01(m)x 5(N)F ，从而从而500k 将弹簧拉长至将弹簧拉长至0.1m，求力作的功，求力作的功伸缩的力，它的大小与伸缩量成正比伸缩的力，它的大小与伸缩量成正比了了 x m时，相应力的大小为时，相

5、应力的大小为因此当弹簧伸缩因此当弹簧伸缩所作的功为所作的功为0.105002. (J)d5Wxxd500 dWxx，因此作功微元为因此作功微元为例例3 内燃机动力的产生可简化为如下的模型：把汽内燃机动力的产生可简化为如下的模型：把汽塞从点塞从点 a 移到点移到点 b 的过程中气体的过程中气体缸看作为一个圆柱形容器，在圆柱形容器中盛有一定的缸看作为一个圆柱形容器，在圆柱形容器中盛有一定的气体，气体，个活塞从一点处推移到另一点处，个活塞从一点处推移到另一点处，种直线运动的动力传播出去种直线运动的动力传播出去经过一定的机械装置将活塞的这经过一定的机械装置将活塞的这如果活塞的面积为如果活塞的面积为 S

6、 ，计算活，计算活压力所作的功压力所作的功ab在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一abOx由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强 p 与与解解 如图建立坐标系，活塞的位置用坐标如图建立坐标系，活塞的位置用坐标 x 来表示，来表示，体积体积 V 的乘积是常数的乘积是常数 k ，即，即pVk，因为因为 ，所以，所以VxSkpxS，于是作用在活塞上的力为于是作用在活塞上的力为kFpSxabOx取取 x 为积分变量，则功元素为为积分变量，则功元素为ddkWxx，因此，总的作功为因此，总的作功为dlnbak

7、bWxkxaxdxx例例4 一圆柱形蓄水池高一圆柱形蓄水池高5m，底半径为，底半径为3m，池内盛满，池内盛满解解 如图建立坐标系，取如图建立坐标系，取 x 为为了水问要把池内的水全部吸出，至少需作多少功？了水问要把池内的水全部吸出，至少需作多少功？xOxdxx5积分变量，则积分变量，则0,5x任取一个小区间任取一个小区间 ,d x xx，相应的这一层薄水的重力为相应的这一层薄水的重力为2d 3 d9dg Vgxgx，从而，功元素为从而，功元素为d9dWgxx，于是，所作的功为于是，所作的功为525009 d93464(KJ)2xWg xxg等，等，例例5 用铁锤将一铁钉击入木用铁锤将一铁钉击入

8、木木板的深度成正比木板的深度成正比打时，将铁钉击入木板打时，将铁钉击入木板1cm，板，设木板对铁钉的阻力与击入板，设木板对铁钉的阻力与击入果铁锤每次打击铁钉所作的功相果铁锤每次打击铁钉所作的功相Ox123R解解 如图建立坐标系，并设木如图建立坐标系，并设木在第一次击在第一次击入多少？入多少？问铁锤在第问铁锤在第 n 次时将铁钉击次时将铁钉击板对铁钉的阻力为板对铁钉的阻力为 R Rkx则由条件可知则由条件可知如如设前设前 n 次锤击总的作功为次锤击总的作功为 ，把钉子击入木板深度为，把钉子击入木板深度为 h ，nW第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为11100dd2kWRxkxx，则则2

9、01d2hnWkxxkh由于每次锤击时所作的功相等，因此由于每次锤击时所作的功相等，因此112nWnWkn所以第所以第 n 次锤击时击入的深度为次锤击时击入的深度为1nn212khhn，的平板水平地置于深度为的平板水平地置于深度为 d 处，则平板一侧所受的水压处，则平板一侧所受的水压二、水压力二、水压力FpA从物理学中知道，水深从物理学中知道，水深 d 处的压强为处的压强为 ，其中，其中pgd 是水的密度，是水的密度，g 为重力加速度为重力加速度如果平板并非水平地置于水中时，我们具体举例说明水如果平板并非水平地置于水中时，我们具体举例说明水压力的计算压力的计算如果有一块面积为如果有一块面积为

10、A力为力为的长分别为的长分别为 10m 和和 6m，高为，高为 20m，较长的底边与水平，较长的底边与水平例例6 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边2(kN/ m )xg面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力解解 如图建立坐标系取如图建立坐标系取 x 为积分变量，则为积分变量，则0,20 x，任取一个小区间任取一个小区间 ,d x xx， 闸门上对应于该小区间的窄条闸门上对应于该小区间的窄条各点处所受到的水的压强近似各点处所受到的水的压强近似等于等于20m10mxOxdxx6m窄条的宽度近似为窄条的宽度近似为 因此这一

11、窄条一侧所受到的因此这一窄条一侧所受到的105xd10d5xFgxx，于是，所求的水压力为于是，所求的水压力为20010d5xFgxx20320514373(kN)15xgx水压力近似为水压力近似为20m10mxxdxx6mO设桶的底面半径为设桶的底面半径为 R ，水的密度为，水的密度为 ，求桶的一端面，求桶的一端面例例7 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，上的水压力上的水压力任取小区间任取小区间 ，则在相应的小窄矩形上各点处，则在相应的小窄矩形上各点处 ,d x xx解解 如图建立坐标系取如图建立坐标系取 x 为积分变量，则为积分变量，则0,xR

12、pgx的压强为的压强为RxdxxOxy22d2dPgx Rxx，故所求水压力微元为故所求水压力微元为2202dRPgx Rxx22220d()RgRxRx 323gR小矩形的宽为小矩形的宽为222 Rx，RxdxxOxy于是，所求水压力为于是，所求水压力为三、引力三、引力由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为 相距为相距为 r 的两质点的两质点12,m m122m mFGr，其中其中 G 为引力系数，引力的方向沿这两质点的连线方向为引力系数，引力的方向沿这两质点的连线方向间的引力大小为间的引力大小为该棒对质点该棒对质点 M 的引力的引力.例例8 有一长度为有一长度为 l 、线密度为、线密度为 的均匀细棒，在其的均匀细棒，在其中垂线上距棒中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M ，计算，计算解解 如图建立坐标系，取如图建立坐标系，取 y 为为上，质量为上，质量为 ，d y ,d y yy积分变量，在小区间积分变量，在小区间于是，引力的大小近似为于是，引力的大小近似为量