第三章--离散傅立叶变换--总结

1、数字信号处理数字信号处理第三章第三章-离散傅立叶变换离散傅立叶变换卢继华卢继华DFT: Discrete Fourier Transform3-2 四种Fourier transformation书P71页 结论一个域的离散造成另一个域的周期延拓；一个域的周期，对应另一个域的取样，一个域取样点间增量倒数对应另一个域周期。时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0)离散(T)和非周期周期(s=2/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和离散(0=2/T0)傅里叶变换傅里叶级数序列的傅里叶变换离散傅里叶变换(DFS：离散傅里叶

2、级数;DTFT序列的傅里叶变换;DFT：离散傅里叶变换）3-3 DFS（ discrete Fourier series ）10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnxNjNeW2x(n)为周为周 期期 为为 N 的的 周周 期期 序序 列列 1212( )( )( )( )DFS axnbxnaXkbXk其中a,b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。线性线性2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k时域移位书P73页 )()()(2nxen

3、xWlkXIDFSnlNjnlN频域移位)()()()(10)(10lnlnlkXWnxWnxWnxWDFSNnnklNNnknNNN证明：调制特性周期卷积 周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积过程限在一个周期内称为 。 频域相乘等于时域卷积（指周期卷积）。频域相乘等于时域卷积（指周期卷积）。频域 ：)()()(21kXkXkY10121021)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny则有：时域卷积时域卷积频域卷积频域卷积 )()()(21nxnxny10121021)()(1)()(1)()(NmNllkXlXNlkXlXNnyDFSkY时域：频域：频域卷积周周期期卷

4、卷积积 证明：)()()(1)()()(1)(21011010)(21)(210101mnxmxWkXNmxWkXmxNnyNmNmNkkmnNkmnNNkNm knNNkWkXkXNkXkXIDFSny102121)()(1)()(（代入：则：mkNNmWmxkX1011)()(DFT是DFS延拓后在0N-1主值区间的值3-4 DFT（ discrete Fourier transform ）mNnn1101Nn1Nnn7252792259,2591nNnNn5455949, 49NnNnDFT定义10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFTkX10102)()(1

5、)()(NknkNNknkNjWkXekXNkXIDFTnx( )()rx nx nrN( )( )( )Nx nx n Rn ( )Nx n( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓P76页页3-33,3-341212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk线性线性书书P773-5 DFT性质这里，序列长度及DFT点数均为N,若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N10)(1)(10NnWkXNnxnkNNk另另IDFTIDFT定义定义)()()(1kNxkxnXN对称性对称性)(nx)(kX的的DFT为：为：若若则则 的的

6、DFT为：为：)( nx )( kX 反转定理反转定理100100)()()(NnkNnnkNknxWnxkX序列和序列和10)(1)0(NkkXNx序列初值序列初值延长序列的离散傅立叶变换：书书P78页页 七、七、 列长为列长为N的序列的序列x(n)，填充零值，人为加长到，填充零值，人为加长到rN,得到得到g(n) 其其DFT为：为：1010)()(rNnNNnnxng1,.,1 , 0)()()()()(102210rNkrkXenxengngDFTkGNnNrknjrNnkjrNn假若增加的长度并非假若增加的长度并非N的整数倍的整数倍 见见P78页页 最下面一行最下面一行 序列的圆周移位

7、 定义：( )()( )mNNxnx nmRn( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm时间移位时间移位( )( ) ()( )mmNNXkDFT x nDFT x nmR n( )mkNWX k2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n频率移位：即调制定理频率移位：即调制定理时域序列的调制等效于频域的圆周移位时域序列的调制等效于频域的圆周移位 线卷积：反折、平移、相乘、积分（或相加） 圆卷积：反折、周期化周期化、平移、相乘、相加书书P84-87页页 圆周卷积在信号处理中的应用仅做了解。圆周卷积在信号处理中的应

8、用仅做了解。 时域卷积-频域相乘 频域卷积-时域相乘)()()()(2121kXkXnxnxDFT)()()()(12121nxnxDFTkXkXN有限长序列的线性卷积与圆周卷积说明见书说明见书P81页页 （3-52） 圆周卷积与线性卷积相等而不产生混淆的必要条件 结合周期卷积， 书P84页最上端，结论。1MNL书书8383页页 （3 35454）圆周（循环相关）相关定理 设有限长序列 则x1(n)与x2(n)N点圆周相关定义为 注：圆周相关结果长度不变为N。相关通信中很重要。120),(2110),(1NnnxNnnx1N0lNN233)n(R)nl(x) l (x)k(XIDFT)n(x1

9、)k(X)k(X)k(X213若帕斯瓦尔定理（Parsevals Theorem)1N0n1N0k*)k(Y)k(XN1)n(y)n(x)k(Y)n(yDFT),k(X)n(xDFTN)n(y)n(x则点有限序列为、设说明：1）这是DFT形式下的帕斯瓦尔定理;2 ）只需令y(n)=x(n),再两边取模，便得到明确物理意义的能量计算公式。表明一个序列在时域计算的能量与频域计算的能量是相等的。表明一个序列在时域计算的能量与频域计算的能量是相等的。奇偶序列的DFT 时域 x(n) 取圆周偶对称圆周偶对称, 对应于频域 X(k) 也取圆周偶对称圆周偶对称. 若x(n)本身是圆周奇对称序列是圆周奇对称序

10、列, 对对应频域应频域 X(k) 也是也是圆周奇对称序列圆周奇对称序列; )()()()()()(kNXkXkXnNxnxnx则若)()()()()()(kNXkXkXnNxnxnx则若时域x(n)取共轭 ，对应于频域X(k)取圆周共轭对称。)()()()()()(*kNXkRkNXkRkXnxDFTNNNN共轭复序列的DFT书书P91页页 （3-79）式）式*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )( )epopX kXkXk由线性：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中：x

11、(n)=xep(n)+xop(n).复数序列的DFT 设x(n)为N点有限长序列0nN-1 则有1，2，3：)()(Im)(Re)(kXnxjnxDFTnxDFT1）时域）时域x(n)取实部取实部, 对应频域取对应频域取 X(k)的圆周共轭对称分量的圆周共轭对称分量.)()()()(Re(kXepkXnxDFTnxDFT)()()(21)()(Im*kRkNXkXkXnxjDFTNNop2）时域）时域 x(n)取虚部并加权取虚部并加权 j, 对应频域取对应频域取X(k)的圆周共轭反对称分量的圆周共轭反对称分量.)()()()(ImkXkXnxDFTnxjDFTop)(Im)()(Re)(kXj

12、nXDFTkXnXDFTopep3）若若X(k)是实序列，则时域是实序列，则时域x(n)是圆周共轭对称序列；是圆周共轭对称序列； 若若X(k)是纯虚序列，则时域是纯虚序列，则时域x(n)是圆周共轭反对称序列。是圆周共轭反对称序列。奇,偶;虚 ,实的含义 奇-指序列是圆周奇对称序列; 偶-指序列是圆周偶对称序列; 虚-指序列是纯虚序列;实-指序列是实序列. 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算

13、它们各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njxn12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n则12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epXkDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNN

14、WkWNkRkjDFT 与z变换关系 Z变换的定义式 (正变换)重写如下: 取z=ejw 代入定义式, 得到单位圆上z变换为 W是单位圆上各点的数字角频率. 再进行抽样N等分.这样w=2k/N, 即w值为0,2/N,4/N,6/N, 考虑到x(n)是N点有限长序列, 因而n只需0N-1即可。将w=2k/N代入并改变上下限, 得 这正是离散傅里叶变换 (DFT)正变换定义式.nnznxzX)()(0njwnjwenxeX)()(010220)()(NnnNkjNkjenxeXkNjezzXkX2)()(03-6 频率取样 由 z 变 换 与 DFT 的 关 系, 知 道： x(n) 的 离 散

15、傅 里 叶 变 换 X(k) 序 列 值 和 x(n) 的 z 变 换 在 单 位 圆 N 个 等 分 点 上 的 抽 样 值 相 等, 这 就 是 说 实 现 了 频 域 的 抽 样。 是否任何一序列(或说任何一个频率特性) 都能用频域抽样的办法去逼近呢? 其 限 制 条 件 是 什 么?分析 将x(n)的频域函数X(ejw)，按每周期 N点抽样，得到一周期序列 ,再反变换回时域,得到变换结果 ,是一周期延拓的序列,且与原序列x(n) 有如下关系 即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样, 时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓. 此结果符合频域抽样,时域周期延拓的说法. )(kX)(nx

16、NrNrNnxnx)()()()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN一、对X(z)取样时取样点数的限制 长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件： 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足NM.此时可得到 表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示. 抽样后序列能否无失真恢复原时域信号？书上P97-98页例子-1 频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。例子-2 解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加,时域延拓的周期个数等于频域的抽样

17、点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。例子-3 按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为M=5，NM,时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。）二、X(z)的内插公式 从频 域 抽 样 不 失 真 条 件 可 以 知 道： N 个 频 域 抽 样 X(k) 能 不 失 真 地 还 原 出 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 x(n)。 那 么 用 N 个 X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 频 率 响 应 即 单 位 圆 上 的 X(z). 过 程 很 简 单, 先 把 N 个 X(k) 作 IDFT 得

18、到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 变 换 便 得 到 X(z). （1）内插公式称为内插函数其中)()()()(10zzkXzXkkNk1111)(zwzNzkNNk（2）频域响应的内插公式)2()()10kNwkXeXezzNkjwjw（代替便得到用把wNjkewwNNw)21()2sin()2sin(1)(3)说明 从 公 式 中看 出: 在 每 个 抽 样 点 上X(ejw) 就 精 确 地 等 于 X(k) (因 为 其 他 的 内 插 函 数 在 这 一 点 上 的 值 为 零, 无 影 响), 即 各 抽 样 点 之 间 的X(ejw) 值, 则 由 各 抽 样 点 的 加

19、 权 内 插 函 数 在 所 求 点 上 的 值 的 叠 加 而 得到. 频 率 响 应 的 内 插 函 数 具 有 线 性 相 位. 1,.1 ,0),()2NkkXeXkNwjw（)(w3-7、用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的问题 为 了 能 在 计 算 机 上 分 析 连 续 信 号 的 频 谱, 常 常 用 DFT 来 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 但 同 时 也 产 生 以 下 问 题: 混 叠 现 象 频 谱 泄 漏 栅 栏 效 应1、混 叠 现 象 利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混 叠

20、 失 真, 要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则： fs2fh 其中fs为抽 样 频 率 , fh 为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F的约束. 抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力, 它是 记 录 长 度的 倒 数, 即 Tp = 1 / F 若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F = fs / N 2fh /N混叠现象的结论 由F=fs/N2fh/N看出： 在N给定时,为避免混叠失真而一味提高抽样频率fs,必然导致F增加,即频率分辨力下降; 反之,若要提高频率分辨力即减小F,则导致减小fs,最终必须减小信号的

21、高频容量.以上两点结论都是在记录长度内抽样点数N给定的条件下得到的. 所以在高频容量fh与频率分辨力F参数中,保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法, 就是增加记录长度内的点数N,即fh和F都给定时, 则N必须满足N2fh/F这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足的条件。例子-1 有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力10Hz（2）信号的最高频率4kHz试确定以下参量：（1）最小记录长度Tp；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。解： （

22、1）由分辨力的要求确定最小记录长度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T. fs2fh, T=1/fs 1/2fh=0.125*10-3 (s)(3)最小记录点数N，它应满足N2fh /F=800该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为N=29=512点不够）2、栅 栏 效 应 利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 其 频 谱 将 不 再 是 连 续 函 数 而 是 基 频 F 的 整 数 倍。 用 DFT 计 算 频 谱, 就 如 通 过 一 个 栅栏观 看 一 个

23、 景 色, 只 能 在 离 散 点 的 地 方 看 到 真 实 的 景 象, 从 而 产 生 栅 栏 效 应. 如 果 在 两 离 散 的 谱 线 间 频 谱 有 很 大 变 化, 不 作 特 殊 处 理, 则 无 法 将 其 检 测 出 来.减 小 栅 栏 效 应 的 方 法 减 小 栅 栏 效 应 的 一 个 方 法 是 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点, 使 一 个 周 期 内 点 数 增 加, 但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据. 这种方法 等 效 于 加 长 了 周 期 Tp . 因 公 式 F = 1/ Tp (F是 抽 样 间 隔). Tp 增

24、加, 抽 样 间 隔 变 小, 从 而 能 保 持 原 来 频 谱 形 式 不 变 的 情 况 下 使 谱 线 变 密, 也 就 使 频 谱 抽 样 点 数 增 加. 这 样, 原 来 看 不 到 的 频 谱 分 量 就 有 可 能 看 到 了.补零加长使谱线细化 在DFT与Z变换的关系一节中,我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从 该角度解释这一现象的.补零加长谱线细化减 小 栅 栏 效 应 注 意 点 补 加 零 点 以 改 变 周 期 时, 所 用 窗 函 数 宽 度 却 不 能 变, 亦 即 必 须 按 数 据 记 录 原 长 来 选 择 窗 函 数, 而 不 能

25、按 补 了 零 值 点 后 的 长 度 来 选 择 窗 函 数. 通 俗 地 说, 就 是 应 先先 加加 窗窗, 再再 补补 零零. 具体做法在后续具体做法在后续 38中有述。书中有述。书P103例子 画出x(n)=1, 0 n 3, x(n)=0, 其它n时的4点DFT，8点DFT，16点DFT图形。3、频 谱 泄 漏 在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。 时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数,使原连续时间函数成为两端突然截断,中间为原信号与窗函数相乘的结果. 时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积.由于窗函数不可能取无限宽,即其

26、频谱不可能为一冲激函数,信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象.造成 频谱泄漏. 所 以 在 截 取 (即 在 窗 函 数 的 选 取) 时, 应 尽 量 选 择 适 当 形 状 的 窗 函 数 对时域信号进行截断, 使频谱泄漏最小. 频 谱 泄 漏 注 意 点 由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。 为了减少频率泄漏可采用： （1）适当加大窗口宽度，增加M值； （2）采用适当形状的窗函数截断； 指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。 因为泄露导致频谱的扩展，从而使频谱的最高频率超过折叠频率，造成混叠。书P103例子-1 设信号为x(n)=1/2,经

27、过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数。 解：设信号经过矩形窗函数后的信号为x1(n),矩形窗函数为W(n),其频谱函数为X1(ejw) x1(n)=x(n)W(n) X1(ejw)=X(ejw)*W (ejw)很明显： X1(ejw) X(ejw) 相当于X(ejw)失真，这种失真是由于X(ejw)的频谱泄漏引起，其现象为“拖尾（扩展现象），称之频谱泄漏。因为X(ejw)=(w),矩形窗函数2sin2sin)()21(wMweeWMjwjw处。处“泄漏”到其他频率即频谱成分从形状的连续频谱。（变成了为中心的一根谱线是以（看出这样由02sin2sin)0),()(*)(2sin2

28、sin| )(|1wwMweXwweXeWeXwMweWjwjwjwjwjwwX(ejw)X(ejw)w产生泄漏3-8 加权技术与窗函数频谱泄漏的影响及措施 DFT泄漏问题很麻烦，因为含低信号幅值的位被相邻高信号幅值的旁瓣所影响。 尽管没有办法完全消除频谱泄漏，但加窗法可对此进行修补。 频谱泄漏是由于输入信号被截断所引起的P103页，窗函数往往是偶对称的时间序列。窗函数分析 可通过最小化sinc函数的旁瓣幅值来减小频谱泄漏。 Sinc函数的形状就是由矩形窗引起的，因为矩形函数的连续傅立叶变换就是sinc函数。 我们采用前后端变化平缓的窗口函数取代矩形窗函数。 即强制时域输入信号的振幅在采样期间的前、后平滑的过渡到最高值。窗函数的数学表达式： N个输入信号的序号由n表示，0n N，我们定义N时域窗函数w(n)，即输入序列在进行DFT前先乘上窗函数w(n)，加窗后的DFT输出为： 1N0nN/nk2jenxnkX . 1N0,1,2,.,nfor , 1n :r windowRectangula各种窗函数的影