静电场(xu13)十周周四

1、下册下册 P2762013-04-18喻有理喻有理狭义相对论狭义相对论下周交相对论作业下周交相对论作业 电磁学电磁学 ( Electromagnetism ) 电磁作用是物质世界中最普遍的相互作用之一电磁作用是物质世界中最普遍的相互作用之一 宏观与微观宏观与微观 静电场静电场 稳恒磁场稳恒磁场 变化的电磁场变化的电磁场 内容：内容： 电磁场理论电磁场理论静止或低速静止或低速( c )电荷产生电荷产生 的电场的电场第第8章章(Electrostatic field)带电体带电体电场电场带电体带电体8.1 带电体产生的电场带电体产生的电场一一. 点电荷点电荷1. 点电荷点电荷1. 几何点几何点2.

2、 具有一定的电量具有一定的电量PQiq带电体带电体带电点带电点带电体带电体点电荷系点电荷系电场强度电场强度QPE描述场中各点电场强弱的物理描述场中各点电场强弱的物理量是量是 电场强度电场强度E2. 实验方法：实验方法：试验电荷试验电荷0q试验电荷试验电荷线度小到可以看作点电荷线度小到可以看作点电荷电量充分地小电量充分地小F0qFE3. 电场强度定义电场强度定义的电场的电场的电场的电场),(QrE二二. 库仑定律库仑定律 点电荷场强公式点电荷场强公式F0qrQP1. 库仑定律库仑定律1q2qr22121rqqKF点电荷点电荷q1 对对q2 的作用力的作用力F21大小大小2.点电荷的场强公式点电荷

3、的场强公式0qFE02004rrQqF0204rrQE点电荷场强公式点电荷场强公式p点场强点场强三三. 场强叠加原理场强叠加原理iq2) P点场强点场强电场中某点的场强等于每个电荷电场中某点的场强等于每个电荷单独单独在在该点产生的场强的该点产生的场强的叠加叠加( (矢量和矢量和) )。 iiEEiEP1) 源电荷源电荷, , i21qqq四四. 电偶极子电偶极子(Electric dipole)电场强度计算电场强度计算定义定义 一对相距一对相距 l 的等量异号的点电荷的等量异号的点电荷电偶极矩电偶极矩l qP由由 -q 指向指向 +q2. 电偶极子轴线延长线上任一点电偶极子轴线延长线上任一点

4、p 的场强的场强1. 电偶极子电偶极子利用利用 r l ，有有q q lPrEEE2)/(12)/(14220lrlrqEEEE302rqlE3042rpE31rE rq q lPEEO电偶极子电偶极子 l Rx若若圆环圆环 点电荷点电荷点电荷并非真正的点电荷并非真正的“点点”r EdxrxcosRoQyzxEdEd/qdq dE d例例 Ro半径为半径为 R ，面电荷密度为，面电荷密度为 的带电圆盘在轴线上任的带电圆盘在轴线上任 一点一点 P 产生的场强产生的场强Edrd(1) 当当x R其上带电量为其上带电量为rrqd2d 在在P 点产生的场强大小为点产生的场强大小为3/2220)(d41

5、dxrqxE)(12)(d2d1/222003/2220 xRxxrrrxEER)(121/22220 xRxRq解解取半径为取半径为r，宽度为，宽度为dr 的细圆环的细圆环3/2220)(d2xrrrx204xqErdqxxP求求讨论讨论 (2) 当当R x ，圆板可视为无限大薄板，圆板可视为无限大薄板02E(3)E1E1E1E2E2E2021IEEE021IIEEE021IIIEEE(4) 补偿法补偿法ixRxRx)(1)(122/12222/1221012RREEE1R2RpxO无限大带电无限大带电面（板）面（板）dLdr dr lr Lr 0N0N=0猜想猜想 对于电场中的任意对于电场

6、中的任意封闭面封闭面, ,穿入和穿出穿入和穿出电场线数电场线数代数和与代数和与该面包围的该面包围的电荷代数量电荷代数量有关。有关。-+q q 包围包围-q,电场线电场线穿入穿入S1包围包围+q,电场线电场线穿出穿出S2S31)2)3)观察观察穿入穿入电场线数为电场线数为负负, ,穿出穿出为为正正)(qfN 二二. 电通量电通量 (electric flux) 面电场线条数面电场线条数1. 匀强电场中通过任一平面的电场线条数匀强电场中通过任一平面的电场线条数2. 不匀强电场中任意曲面电通量不匀强电场中任意曲面电通量通过通过 ss和和电场线条数相同电场线条数相同cosESESNnSS SEeSEN

7、面的电通量面的电通量定义定义等于匀强电场中平面等于匀强电场中平面电场线条数电场线条数1) 把曲面分成许多个面积元把曲面分成许多个面积元Sd2) 每一面元处视为匀强电场每一面元处视为匀强电场E研究方法：研究方法：ESSn SdESEed dS e3. 不匀强电场中任意闭合曲面电通量不匀强电场中任意闭合曲面电通量规定规定：闭合曲面闭合曲面法线法线向外为正，向内为负。向外为正，向内为负。E1dS2dS穿出为正穿出为正 穿入为负穿入为负 0dd11SEe0dd22SEeSSEeedd穿出、穿入闭合面电力线条数之差穿出、穿入闭合面电力线条数之差通过闭合曲面的电通量通过闭合曲面的电通量E2n2s3s3n例

8、例 如图所示如图所示,在均匀电场中放一个半径为在均匀电场中放一个半径为R ,长为长为l 的封闭圆柱面的封闭圆柱面 321eeee0022RERE求求 此面的电通量。此面的电通量。解解闭合面的电通量与该面包围电荷有关闭合面的电通量与该面包围电荷有关猜想转化为猜想转化为封闭面由三部分组成封闭面由三部分组成: :S1、 S2、 S31s1n+q 三三. 静电场的高斯定理静电场的高斯定理 (Gauss theorem)下面用归纳法来寻求定理的形式下面用归纳法来寻求定理的形式1. 由特例猜测定理的形式由特例猜测定理的形式例例 求求以点电荷以点电荷+q为球心为球心,半径为半径为 r 的球面的的球面的 电通

9、量电通量0204rrqESrrqSEed4dd020022044dqrrqSee在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以面所包围的电量的代数和除以 。0 2. 定理表述定理表述iiSqSE内01d猜测猜测法线和场强方向平行法线和场强方向平行SdEr+q 3. 定理的证明定理的证明1) 闭合曲面是以点电荷为中心的球面闭合曲面是以点电荷为中心的球面2) 包围点电荷的任意形状的曲面包围点电荷的任意形状的曲面SS定理成立定理成立SSEed0q0e3) 点电荷在闭合面外点电荷在闭合面外4) 闭合面内、外有点电荷存在闭合面内

10、、外有点电荷存在521.EEEE+ q穿出、穿入的电力线条数相等穿出、穿入的电力线条数相等q1q2q3q4q5SEEESEed).(d521SESESEd.dd521任意闭合面电通量为任意闭合面电通量为高斯定理高斯定理仍然成立仍然成立030201 qqq 内qSE01d q1q2q3q4q51) 高斯定理是静电场的一个重要高斯定理是静电场的一个重要定理，反映定理，反映场和源场和源的关系。的关系。2) 适用于任何分布电荷产生的真空电场适用于任何分布电荷产生的真空电场和任何形状的闭合曲面。和任何形状的闭合曲面。qSSSSq3) 闭合面上场强是空间闭合面上场强是空间所有电荷产生所有电荷产生q PSq

11、 PSq 4) 定理用于已知电场分布求电荷分布及某些电荷对称分布带电定理用于已知电场分布求电荷分布及某些电荷对称分布带电 体的电场分布体的电场分布讨论讨论Vd10 VESE)d(d 0 E例例 已知已知R1 R2和和 求求场强分布场强分布1R2Roqdq dPEdEd解解取通过取通过P 点点,以以o 为球心的球面为高斯面为球心的球面为高斯面SeSEd区 区 区 0 1 qRr0 0402ErEe )(34 31321 Rr qRrR 203132034rRrrqE )(34 31322RR qrR 2031322034rRRrqErEP 点点E 的方向、大小特点的方向、大小特点选合适的高斯面选

12、合适的高斯面计算计算分析分析 四四. 高斯定理应用高斯定理应用rpE1P1pESSE d24rE0 3)1R21 1)RR 21 2)RR 体分布体分布, ,体内场强线性分布体内场强线性分布空腔带电体空腔带电体, ,腔内无场强腔内无场强面分布面分布, ,面处场强突变面处场强突变用高斯定理求电场分布的步骤用高斯定理求电场分布的步骤1) 分析带电体的对称性分析带电体的对称性3) 选合适的高斯面选合适的高斯面,写出电通量写出电通量4) 用高斯定理计算场强用高斯定理计算场强2) 分析电场强度的对称性分析电场强度的对称性rER20rER20rER20讨论讨论 4)方法可用于球对称分布的带电体电场强度的计

13、算方法可用于球对称分布的带电体电场强度的计算如如:求电荷体密度为下列分布的电场求电荷体密度为下列分布的电场) ( 0R)r(0 rRar例例 已知线密度为已知线密度为 的无限长带电线的无限长带电线,求求场强分布。场强分布。 r2PP1Ph解解取以带电线为轴，半径为取以带电线为轴，半径为r ，高为，高为h 的柱面及上、下底面构成高斯面的柱面及上、下底面构成高斯面上底SESESedd柱面下底SESEddrhESE2d柱面hrhE012rE02柱面SEd1)对称性分析对称性分析2)选高斯面选高斯面3)计算计算分析思路分析思路高斯定理高斯定理法线和场强方向平行法线和场强方向平行2) 方法可用于无限长轴

14、对称分布的带电体电场强度的计算方法可用于无限长轴对称分布的带电体电场强度的计算思考思考1) 用高斯定理求出的场强只是闭合面内的电荷产生的场强用高斯定理求出的场强只是闭合面内的电荷产生的场强？解解 电场强度垂直带电平面电场强度垂直带电平面, 选取选取垂直带电面的圆柱形高斯面垂直带电面的圆柱形高斯面 SEed电场强度分布电场强度分布求求右底左底侧SESESEdddSESE210根据高斯定理根据高斯定理0/ Se02/ EEEE21两个底面对称两个底面对称“无限大无限大”均匀带电平面，电荷面密度为均匀带电平面，电荷面密度为 例例3右底左底SESEdd0 例例4 无限大带电板无限大带电板电荷体密度为电

15、荷体密度为 ，厚度为，厚度为d板外：板外：ESe202dE外板内：板内：SESe20 xE内 解解 取关于平板对称的圆柱面为高取关于平板对称的圆柱面为高斯面斯面求求 电场场强分布电场场强分布ddS0Sd02xS x电场强度分析方法小结电场强度分析方法小结综合应用可求出更多带电体的电场分布。综合应用可求出更多带电体的电场分布。如如两平行的无限大带电平板两平行的无限大带电平板 2 1带圆孔的无限大平板带圆孔的无限大平板 a 内有空腔的带电球体内有空腔的带电球体带小缺口的细圆环带小缺口的细圆环 点电荷场强积分法点电荷场强积分法用高斯定理求场强用高斯定理求场强场强叠加原理场强叠加原理8.4 静电场的环

16、路定理静电场的环路定理 电势能电势能一一. 静电场力是保守力静电场力是保守力作功与路径无关作功与路径无关, ,只与始末位置有关的力只与始末位置有关的力 称为称为保守力保守力数学表示数学表示0lfLd保保守力的环流为零保守力的环流为零LEqf0保0d 0LlEq二二. 静电场的环路定理静电场的环路定理 d lE静电场是无旋场静电场是无旋场0 E0d LlEsLslEd dE的旋度的旋度说明说明 1) 环路定理可环路定理可检验电场检验电场不是静电场不是静电场, , 图示为静电场吗？图示为静电场吗？2) 环路定理要求电力线不能闭合环路定理要求电力线不能闭合3) 静电场是有源、无旋场。可引进电势能静电

17、场是有源、无旋场。可引进电势能EldEL 0)(ESE定义定义 q0 在电场中在电场中a、b 两点两点电势能之差电势能之差等于把等于把q0自自a 点移至点移至b 点过程中电场力所作的功。点过程中电场力所作的功。三三 .电势能电势能1. 电势能的差电势能的差babaabWWlEqA )()(0db 点电势能点电势能ab0q2. 电势能电势能取取W“0” = 0 0)(00daaalEqAW电势能零点电势能零点1) 电势能属于电势能属于q0和产生电场的和产生电场的源电荷系统源电荷系统共有。共有。说明说明3) 选势能零点原则选势能零点原则：当：当(源源)电荷分布在电荷分布在有限范围有限范围内时，内时

18、，一般选在无穷远。实际应用中取大地、仪器外壳等一般选在无穷远。实际应用中取大地、仪器外壳等2) 电荷电势能的值与零点有关电荷电势能的值与零点有关,而两点的差值与零点无关而两点的差值与零点无关例例 在带电量为在带电量为Q的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为q 的点电荷，位置如图所示。的点电荷，位置如图所示。lEqWad bblEqWd cacaarrqQlEqW)11(4d0 cbcbbrrqQlEqW)11(4d0 bababarrqQlEqWW)11(4d0 ba c解解Qarbrcr求求 q在在a点和点和b点的电势能。点的电势能。 bababarrq

19、QlEqWW)11(4d0 aarqQ04brqQ048.5 电势电势一一. 电势电势0qWuaa 000daaalEqAu1. 电势定义电势定义单位正电荷自该点单位正电荷自该点“势能零势能零点点”过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。arldq2. 点电荷的电势点电荷的电势 aalEud02014rrqE 0 ddrrl rarrqu20d4 rq04 3. 电势叠加原理电势叠加原理 pplEud1q2q1E2E1r2rP plEEd)(21 21d4d422022101rrrrqrrq 20210144rqrq 对对n 个点电荷个点电荷: niiirqu104 对连续分布的带电体对连续分

20、布的带电体：Qrqu04d二二. .电势的计算电势的计算方法方法（2） 已知电荷分布已知电荷分布 Qrqu04d （1） 已知场强分布已知场强分布 0dpplEu先算场强先算场强方法一：场强积分法方法一：场强积分法( (由定义由定义) )选势能零点选势能零点积分积分选合适的路径选合适的路径L L步骤：步骤：求求电荷线密度为电荷线密度为 的无限长带电直线空间中的电势分布的无限长带电直线空间中的电势分布例例XO P解解取无穷远为势能零点取无穷远为势能零点 xE02 PplEudxxpxd 20 )ln(ln20px xp axa取取a 点为电势零点点为电势零点,a 点距离直线为点距离直线为xa )

21、()(dapplEu)ln(ln20paxx 0ln , 1 aaxx取xupln20 对无限长带电直线的电势分布对无限长带电直线的电势分布,不能选无穷远处为电势零点不能选无穷远处为电势零点注意注意如图所示如图所示, ,计算均匀带电球面的电势分布计算均匀带电球面的电势分布 PlEudR均匀带电球面电场的分布为均匀带电球面电场的分布为0204 rrQERr P解：解：Rr RQ04 Rr rrQurd420 rQ04 r球面内是一球面内是一等势空间等势空间与电量集中在球与电量集中在球心的点电荷的电心的点电荷的电势分布同势分布同0 ERr电势的分布为电势的分布为例例o R ru电势分布曲线电势分布曲线rERo电场分布曲线电场分布曲线RQoPRrlodrrQd420R1R2o 例例1 1 如图所示，有一带电面密度为如图所示，有一带电面密度为 的扇形带电体，张角为的扇形带电体，张角为 ，大小半径分别为大小半径分别为R1、R2 ,求顶点求顶点o 处的电势。处的电势。解解rrsqd d dd rqu04dd 方法二：电势叠加法方法二：电势叠加法3)由由du u = durrdd 04d d r 21dd4 00RRru 0124)-( RR 步骤：步骤：1)把带电体把带电体 分为无限多分为