直线与平面平行

1、直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF平面BCD.()(5)若，直线a，则a.()1设，为三个不同的平面，m，n是两条

2、不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有()A或 B或C或 D或或答案C解析由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故选C.2下列命题中，错误的是()A平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面3空

3、间中，下列命题正确的是()A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若，b，则bD若，a，则a答案D解析对于A，b可以在内，A错；对于B，当a，b相交时才能有，B错；对于C，b可能在内，C错；由面面平行的性质知，D正确4如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_答案解析因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.题型一直线与平面平行的判定与性

4、质例1(2014山东改编)如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.思维点拨(2)中可证明平面OFH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点又F是PC的中点，FOAP，FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD

5、.又GH平面OHF，GH平面PAD.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa) (2013福建改编)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(2)求三棱锥DPBC的体积方法一(1)证明如图，取PB中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是 PA的中点，MNAB，MNAB3，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行

6、四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(2)解VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.方法二(1)证明如图，取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC，又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(2)同方法一题型二平面与平面平行的判定与性质例2(2013陕西)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，

7、O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积(1)证明由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)解A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，SABDA1O1.思维升华证明面面

8、平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(

9、2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维点拨利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值解AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证EFGH，截面EFGH是平行四边形设ABa，

10、CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，SEFGHFGGHsin x(ax)sin x(ax)x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一

11、点F，使EF平面PAD.解在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设PAx则PC，由PBBCBEPC得：aa，xa，即PAa，PCa.又CE a，即GECDa，AFa.即AFAB.立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图，在四棱锥SABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2

12、.tanSDA.(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)在棱SD上找一点E，使CE平面SAB，并证明规范解答解(1)SA底面ABCD，tanSDA，SA2，AD3.2分由题意知四棱锥SABCD的底面为直角梯形，且SAABBC2，4分VSABCDSA(BCAD)AB2(23)2.6分(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE平面SAB.8分取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，则EF綊AD，BC綊AD，BC綊EF，CEBF.10分又BF平面SAB，CE平面SAB，CE平面SAB.12分答题模板解决立体几何中的探索性问题的步骤第一步：写出探求的

13、最后结论第二步：证明探求结论的正确性第三步：给出明确答案第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”.方法与技巧1平行问题的转化关系2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2

14、)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：45分钟)1设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同的直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1 Bl1且l2Cm且n Dml1且nl2答案D解析ml1，且nl2，但/

15、 ml1且nl2，“ml1，且nl2”是“”的一个充分不必要条件2若直线a平行于平面，则下列结论错误的是()Aa平行于内的所有直线B内有无数条直线与a平行C直线a上的点到平面的距离相等D内存在无数条直线与a成90角答案A解析若直线a平行于平面，则内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确3在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB12，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A平行 B相交C在平面内 D不能确定答案A解析如图，由得ACEF.又因为EF平面DEF，AC平面D

16、EF，所以AC平面DEF.4给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m.n，l，则mn.其中真命题的个数为()A3 B2 C1 D0答案C解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l、m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确5下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A B C D答案B解析中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(如图)中，NPAB，能得出AB平面MNP.6在四面体ABCD中，M，N分别是

17、ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E.则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.所以MN平面ABD，MN平面ABC.7如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.8在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为_ACBD；AC截面PQ

18、MN；ACBD；异面直线PM与BD所成的角为45.答案解析PQMN是正方形，MNQP，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故正确又BDMQ，异面直线PM与BD所成的角即为PMQ45，故正确9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积(1)证明取BC中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且EGBB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边形EGAD是平行四边形

19、所以EDAG.又DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(2)解因为ADEG，EG平面BCE，AD平面BCE，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBECVABCEVEABC，由(1)知，DE平面ABC.所以VEABCVDABCADBCAG36412.10如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OBGE，由线面平行的判定定理即可证EG平面BB1D1D.(2)由题意可知BDB1D1.如

20、图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1BF.又B1D1HD1D1，BDBFB，所以平面BDF平面B1D1H.B组专项能力提升(时间：30分钟)11对于平面和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是()A若m，n与平面所成的角相等，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，n，则mn答案D解析正三棱锥PABC的侧棱PA，PB与底面所成角相等，但PA与PB相交，应排除A；若m，n，则m与n平行或相交，应排除B；若m，mn，则n或n，应排除C；因为m，n共面，设经过m，n的平面为，因为m，所以m.因为n，所以nm.12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段FH解析因为HNBD，HFDD1，所以平面NHF平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN平面B1BD