第1.2节δ函数和梳状函数

1、教材：苏显渝等信息光学 第一章+第二章部分内容n上节回顾上节回顾n常用非初等函数：矩形函数、sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函数定义、图形、特征参数的实际含义？应用？本章内容本章内容1.1 常用非初等函数常用非初等函数1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数1.3 卷积和相关卷积和相关1.4 傅里叶变换傅里叶变换1.5 线性系统分析线性系统分析1.6 二维光场分析二维光场分析1.7 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的物理意义物理意义n为考察质量或能量在空间或时间上高度集中的现象，抽象出质点、点电荷、点光源、瞬时脉冲等物理模

2、型n 函数就是用来描述上述物理模型的数学工具n 函数不是普通函数，是广义函数，其属性由它在积分中的作用表现出来n 函数的函数的定义定义（有多种，介绍三种）（有多种，介绍三种）1.类似普通非初等函数形式的定义：n应同时满足积分式（守恒定律）n保留了“数值”对应关系的痕迹1,0, 0, 00,dydxyxyxyxyx0 xxx00 xn 思考：思考： 二维二维 函数的图？函数的图？1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数00,yyxxx00 xy0yn 函数的函数的定义定义（有多种，介绍三种）（有多种，介绍三种）2.普通函数序列极限形式的定义： 且对该函数序列中的任一函数，皆有：yxgyxnn,lim

3、,0, 0, 0,lim1,yxyxgdydxyxgnnn1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的定义定义（有多种，介绍三种）（有多种，介绍三种）2.普通函数序列极限形式的定义：n满足条件函数序列很多，常用的有：yxgyxnn,lim,)(sinc)(sinclim,)(rect)(rectlim,)(explim,222222nynxnyxnynxnyxyxnnyxnnn1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数xyn/11n 函数的函数的定义定义（有多种，介绍三种）（有多种，介绍三种）3.广义函数形式的定义：赋予检验函数 以一个数即：n要求 在 处连续n不同形式的函数，只要它在上述积

4、分中的作用满足上式，即可认为它们与 相等 0, 0,dydxyxyxyx,0, 00yx,0, 0yx,1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的定义定义（有多种，介绍三种）（有多种，介绍三种）n三种定义形式是等效的n应根据具体问题选用最合适的形式1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的性质性质1.筛选性质：设函数 在 点连续，则有： 0000,yxfdydxyyxxyxfyxf,00, yx广义函数定广义函数定义形式的扩义形式的扩展展1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的性质性质n筛选性质： 【证明】令 、 ，则 、 ，则左边变为：令检验函数代入 函数的广

5、义函数定义，则左边化为： 得证！ dYdXYXyYxXf,000yyY0 xxXdxdX dydY 0000,yxfdydxyyxxyxf00,yYxXfYX 0, 0,dYdXYXYX1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数00, yxfn 函数的函数的性质性质1.筛选性质：设函数 在 点连续，则有2.坐标缩放性质：设 、 为实常数，则有 0000,yxfdydxyyxxyxfabyxabbyax,|1,1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数yxf,00, yxn 函数的函数的性质性质n坐标缩放性质： 【证明】令 、 ，则 、 ，左边代入 函数的广义函数定义的积分式，则： 得证！yxabbyax,

6、|1,dYdXYXbYaX,byY axX dxadX dybdY yxbyaxab,|yx,1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数dydxbyaxabyx,|,ba0,00, 0n 函数的函数的性质性质3.分离变量性质： yxyx,1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的性质性质n分离变量性质： 【证明】由 函数的函数序列极限形式定义，有 得证！ yxyx,2222explimexplimynnxnnnn1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数)(explim,2222yxnnyxn yxn 函数的函数的性质性质3.分离变量性质：4.采样性质：与普通函数乘积的性质 yxyx, 0000

7、00,yyxxyxfyyxxyxf1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n 函数的函数的性质性质n采样性质： 思考：如何证明采样性质？ 000000,yyxxyxfyyxxyxf xfx00 x 00 xxxf0 xx1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数 0 xfn 函数的函数的性质性质3.分离变量性质：4.采样性质：与普通函数乘积的性质5.偶函数性质： yxyx,yxyxyxyx, 000000,yyxxyxfyyxxyxf1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数的梳状函数的定义定义n一维梳状函数：n由无数个 函数组成，也是广义函数n每个 函数都座落在整数坐标上 nnxxcomb xco

8、mbx01233211.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数的梳状函数的定义定义n二维梳状函数： 其中 ，n思考：二维梳状函数的图形？ 性质？ nnxxcombyx,combx01221 yxyxcombcomb,comb mmyycomby2121由由 函数的函数的性质决定性质决定1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数的梳状函数的定义定义 【例题例题】写出下图函数写出下图函数 的表达式的表达式 处的处的 函数：函数： 处的处的 函数：函数： xg ?gxx00 xb0 xx0 xbxx0bx 01.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数的梳状函数的定义定义 【例题例题】写出

9、下图函数写出下图函数 的表达式的表达式 处的处的 函数：函数： 处的处的 函数：函数： 所求函数由无数个所求函数由无数个 函数组成：函数组成： xg0 xnbxx0nbx 0 nnbxxxg0n 思考：思考： 写成梳状函数形式？写成梳状函数形式？1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数 ?gxx00 xb0 xxn梳状函数的梳状函数的性质性质1.比例变换性质： 有偏置情形：nanxaax|1combnanxxaxxa00|1comb0comb|xxaa|x00 x|1a1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数梳状函数的的性质性质n比例变换性质： 【证明】 证毕！1.2 函数和梳状函数函数和梳

10、状函数高度、间隔同时高度、间隔同时缩放为缩放为1/|a|！nnaxaxcombnanxa|1nanxa|1nanxananxaax|1combn梳状函数的梳状函数的性质性质1.比例变换性质：2.偶函数性质： 注意：有偏置情形不成立！nanxaax|1comb00combcombxxxx xxcombcomb1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数梳状函数的的性质性质n偶函数性质： 【证明】 、 值域及定义域均相同，故右边=左边 得证！ nanxaax|1comb nnxxacomb1kkxnnxxacomb1nk1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数 xxcombcomb)(nkn梳状函数

11、的梳状函数的性质性质1.比例变换性质：2.偶函数性质：3.周期性：4.平移性质：5.积分性质：nanxaax|1comb xxcombcomb xnxcombcomb21comb21combxx 1comb2121nndxx1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数的梳状函数的性质性质6.抽样性质： 有偏置和缩放情形： nnxnfxfxcomb nanxxanxfxfxxa|a|000comb1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数n梳状函数的梳状函数的性质性质n抽样性质：0comb|xxaa|x00 x|1a xfx01.2 函数和梳状函数函数和梳状函数 xfxxaa|0comb|x00 x连续变化的物理量连续变化的物理量 离散分布的抽样值离散分布的抽样值 梳状函数梳状函数也称也称“抽样函数抽样函数”n梳状函数的梳状函数的性质性质6.抽样性质：7.卷积性质： 有偏置和缩放情形： nanxxfxfxxa|a|00comb nnxfxfxcomb1.2 函数和梳状函数函数和梳状函数 nnxnfxfxcombn梳状函数的梳状函数的性质性质n卷积性质：0comb|xxaa|x00 x|1a xfx0 xfxxaa|0comb