第四章_气体动理论

1、第四章第四章气体动理论气体动理论 4-1 4-1 宏观与微观宏观与微观 统计规律统计规律 4-2 4-2 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度 4-3 4-3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能预习要点预习要点1. 什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量和微什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量和微观量之间有什么关系？观量之间有什么关系？2. 什么是统计规律？什么是统计规律？ 它对个别或少量事件成立吗它对个别或少量事件成立吗?3. 什么是平衡态？它与力学中的平衡概念有何不同？什么是平衡态？它与力学中的平衡概念有何不同？2 2 气体分子热运动的图象气体分子热运动的图象

2、 1)1)分子数巨大，常态下任何气体分子数巨大，常态下任何气体 . . 2 2）分子频繁碰撞，每秒内的平均碰撞次数约为）分子频繁碰撞，每秒内的平均碰撞次数约为1010亿次亿次. . 3) 3) 分子的位置和速度瞬息万变无法预测分子的位置和速度瞬息万变无法预测. . 只能用统计方法寻找大量分子整体所遵循的规律性只能用统计方法寻找大量分子整体所遵循的规律性. .1 1 热力学系统热力学系统 热学研究的对象热学研究的对象. . 通常是由大量微观粒子组成的系统通常是由大量微观粒子组成的系统. .molNA/10023. 6233 3 宏观量宏观量 实测的物理量实测的物理量, , 反映大量分子的集体特征

3、反映大量分子的集体特征. . 如压强如压强P、体积体积V和温度和温度T等等. .4 4 微观量微观量 描述组成系统的单个粒子描述组成系统的单个粒子( (分子、原子、或其它分子、原子、或其它) )性质和状态的物理量性质和状态的物理量, , 如质量、动量、能量等如质量、动量、能量等. .5 5 平衡态和非平衡态平衡态和非平衡态 一个系统若和外界无能量交换，其内部也无能量一个系统若和外界无能量交换，其内部也无能量交换，交换， 经过足够长的时间后系统达到一个宏观性质经过足够长的时间后系统达到一个宏观性质不随时间变化的状态不随时间变化的状态, , 即为平衡态，否则为非平衡态即为平衡态，否则为非平衡态.

4、. 热平衡时，系统内分子的热运动不会停息，因此热平衡时，系统内分子的热运动不会停息，因此热平衡是一种动态平衡热平衡是一种动态平衡. . 对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律，对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律，对个别或少量事件不成立对个别或少量事件不成立. . 宏观系统的热现象及其规宏观系统的热现象及其规律就是它所包含的大量分子热运动的统计规律性表现律就是它所包含的大量分子热运动的统计规律性表现. .1 1 统计规律统计规律2 2 宏观量和微观量的关系宏观量和微观量的关系 宏观量是大量分子微观量的统计平均值，体现统宏观量是大量分子微观量的统计平均值，体现统计规律计规律. . 实测值与

5、统计平均值会存在一定偏差，称为实测值与统计平均值会存在一定偏差，称为涨落涨落. . 分子数越多，涨落越小分子数越多，涨落越小. . 对大量无规则的事件进行统计，其满足一定的规律对大量无规则的事件进行统计，其满足一定的规律性，事件的次数越多，规律性也越强，用性，事件的次数越多，规律性也越强，用“概率概率”来表来表示示. .1 1）定义）定义: : 某一事件某一事件i发生的概率发生的概率Pi 3 3 概率概率 Ni -事件事件i发生的次数发生的次数N -各种事件在相同条件下发生的总次数各种事件在相同条件下发生的总次数NNPiNi lim2 2）概率的性质）概率的性质1.NiiPb归一化条件归一化条

6、件10.ipa 实验表明，对质量为实验表明，对质量为m，摩尔质量为，摩尔质量为M的理想气的理想气体系统，在平衡态下遵从方程体系统，在平衡态下遵从方程RTMmPV 式中对质量一定的理想气体，式中对质量一定的理想气体，常量TPV1 1）T一定，一定，PV= =常量常量 玻意尔玻意尔- -马略特定律马略特定律2 2）P一定，一定，V/T= =常量常量 盖盖- -吕萨克定律吕萨克定律3 3）V一定，一定，P/T= =常量常量 查理定律查理定律设容器中气体分子数为设容器中气体分子数为N，1mol气体分子数气体分子数NA，气，气体的物质的量体的物质的量 ， 并引入玻耳兹曼常数并引入玻耳兹曼常数 ANNMm

7、ANRk ，则理想气体的状态方程又可表示为，则理想气体的状态方程又可表示为nkTP 预习要点预习要点1. 理想气体的微观模型是怎样的理想气体的微观模型是怎样的? 推导压强公式时推导压强公式时, 哪些地方用到这一模型哪些地方用到这一模型?2. 注意理想气体压强公式推导的条件、思路和方法注意理想气体压强公式推导的条件、思路和方法. 推导中哪些地方用到了统计假设推导中哪些地方用到了统计假设? 假设的内容是什假设的内容是什么么?3. 理想气体压强和温度这两个宏观量与哪些微观量的理想气体压强和温度这两个宏观量与哪些微观量的统计平均值有关统计平均值有关? 如何理解这两个宏观量的微观本如何理解这两个宏观量的

8、微观本质质?4. 为什么说理想气体的压强和温度这两个概念仅具有为什么说理想气体的压强和温度这两个概念仅具有统计意义统计意义? 1）分子可视为质点；）分子可视为质点； 线度线度 间距间距 ; ,m1010drdr,m1092）除碰撞瞬间）除碰撞瞬间, 分子间及分子与器壁之间均无分子间及分子与器壁之间均无相互作用力；相互作用力；3）分子之间以及分子与器壁之间是完全弹性碰撞）分子之间以及分子与器壁之间是完全弹性碰撞. 即理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作即理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用的遵守经典力学的弹性质点用的遵守经典力学的弹性质点.VNVNndd1 1 分子按位置的分子按位置的

9、分布是均匀分布是均匀的的 其中，其中，N 表示容器体积表示容器体积V内的分子总数，内的分子总数，n是分子数是分子数密度密度. .2 2 分子速度在分子速度在各方向分量的算术平均值各方向分量的算术平均值相等相等. .常量同样有同样有021NNxxxxvvvv, 0yv, 0zv 由于分子沿由于分子沿x轴正向和轴正向和x轴负向的运动概率是相同轴负向的运动概率是相同的，因此，在的，因此，在x方向上分子的平均速度为方向上分子的平均速度为0 。0zyxvvv即即Nx2Nx22xvvv21iixxN221vv3 3 分子速度在分子速度在各方向分量的方均值各方向分量的方均值相等相等. .同理，分子速度在同理

10、，分子速度在y、z方向的方均值：方向的方均值：iiyyN221vviizzN221vv 由于分子在由于分子在x、y、z三个方向上没有哪个方向的运三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均值相等动占优势，所以，分子的三个速度方均值相等. .由矢量合成法则，分子速度的方均值为：由矢量合成法则，分子速度的方均值为：222zyxvvv222223xzyxvvvvv222231vvvvzyx各方向运动各方向运动概概率均等率均等设长方形容器的边长分别为设长方形容器的边长分别为x、y、z。体积为。体积为V，其内有，其内有N个个分子，分子的质量为分子，分子的质量为m，视，视为弹性小球，速度为

11、为弹性小球，速度为 .VNn分子数密度分子数密度n：单位体积内：单位体积内的分子数的分子数. .1. .跟踪第跟踪第i个分子，它在某一时刻的速度个分子，它在某一时刻的速度 在在x方向的分方向的分量为量为vix.XYZom1A2Aixvixv-ivv2. .分子以分子以 向向A1面碰撞，并以面碰撞，并以 弹回，分子受弹回，分子受A1面面的冲量的冲量xiixixPPI0ixixixvvvmmm2)(由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，A1面受到面受到分子的冲量为分子的冲量为ixvmIix23. .分子与分子与A2面发生碰撞后，面发生碰撞后，又与又与A1面发生碰撞，相继两面发生碰撞，相继两次对次对A1面

12、碰撞所用的时间：面碰撞所用的时间：单位时间内对单位时间内对A1面的碰撞次数为：面的碰撞次数为：ixv/2xt xt21ixvixvixv-XYZom1A2Aixvixv-4. .单位时间一个分子对单位时间一个分子对A1面的冲量（即平均冲力）为：面的冲量（即平均冲力）为：tIFixix5. .容器内容器内N个分子对器壁的平均冲力为：个分子对器壁的平均冲力为：NiixFF16.A1面受到的压强为：面受到的压强为：SFPxmxm2ixixixvvv22Nixm12ixvNixyzm12ixv体积体积V为：为：xyzV则压强则压强NiVmP12xv上下同乘上下同乘N 得得由由和和VNn得压强公式得压强

13、公式：NiNP12ixvVNmNNi132ix22xvvv2vnmP31定义分子定义分子平均平动动能平均平动动能：压强公式又可表示为：压强公式又可表示为：2vmk21knnmP32312v1. .压强是大量分子对时间和面积的统计平均结果压强是大量分子对时间和面积的统计平均结果. . 压强压强具有统计意义，即它对于大量气体分子才有明确的意义具有统计意义，即它对于大量气体分子才有明确的意义. .2. .压强公式建立起宏观量压强压强公式建立起宏观量压强P与微观气体分子运动之与微观气体分子运动之间的关系间的关系. .3. .分子数密度越大，压强越大；分子数密度越大，压强越大；nP分子运动得越激烈，压强

14、越大分子运动得越激烈，压强越大. .kPk32np 4.4.压强的物理压强的物理意义意义宏观可测量宏观可测量微观量的统计平均值微观量的统计平均值nkTp k32np 理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体状态方程理想气体状态方程nkTnk32kTm23212kv理想气体分子平均平动动能只和理想气体分子平均平动动能只和温度温度有关，并且有关，并且与热力学温度成与热力学温度成正比正比.1 温度公式温度公式2 温度的微观意义温度的微观意义 热力学温度是分子平均热力学温度是分子平均平动动能的量度平动动能的量度. 温度温度反映了物体内部分子无规则运动的反映了物体内部分子无规则运动的激烈程度激烈程度.3

15、 温度温度T的统计意义的统计意义4 在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等.其已为比林实验间接证实其已为比林实验间接证实.Tk 温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对个别分子温度无意义个别分子温度无意义. .由由4 方均根速率方均根速率mkT/32vkTm23212kvMRTmkT332v例：求例：求273K时的氧气方均根速率的氧气方均根速率. .解：解：3103227331. 83m/s8 .461RT32v预习要点预习要点1.1. 什么是自由度什么是自由度? ? 单原子和刚性双原子分子的自由单原子和

16、刚性双原子分子的自由度各是多少度各是多少? ?2.2. 什么是能量均分定理什么是能量均分定理? ? 为什么平衡态时物质分子为什么平衡态时物质分子的能量会按自由度均分的能量会按自由度均分? ?3.3. 注意理想气体内能的概念、公式及其特点注意理想气体内能的概念、公式及其特点. . 1. 自由度自由度：自由度是描写物体在空间位置所需的自由度是描写物体在空间位置所需的独独立坐标数立坐标数. .rti2. 气体分子的自由度数目气体分子的自由度数目刚性气体分子的自由度刚性气体分子的自由度= =平动自由度平动自由度+ +转动自由度转动自由度1）单原子分子气体单原子分子气体其模型可用一个质点来代替其模型可用

17、一个质点来代替. .yzxo平动自由度平动自由度3t转动自由度转动自由度0r303rti总自由度总自由度XYZ2）双原子分子气体双原子分子气体其模型可用看成一根刚性杆两端各其模型可用看成一根刚性杆两端各连一质点的模型来代替连一质点的模型来代替. .平动自由度平动自由度3t转动自由度转动自由度2r523rti总自由度总自由度o3）多原子分子气体）多原子分子气体其模型可用多个刚性质点来代替其模型可用多个刚性质点来代替. .平动自由度平动自由度3t转动自由度转动自由度3r633rti总自由度总自由度yzxXYZ单单原子分子原子分子 3 0 3双双原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3

18、3 6刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度tri分子分子自由度自由度平动平动转动转动总总kTm23212kv222231vvvvzyxkTmmmmzyx2121312121212222vvvv 可见，在温度为可见，在温度为T的平衡态下，气体分子每个自的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，而且等于由度的平均动能都相等，而且等于kT/2.。由由得得 由于气体分子频繁碰撞，在平衡态下，不可能由于气体分子频繁碰撞，在平衡态下，不可能有哪种运动形式和在哪个自由度上运动占优，每个自有哪种运动形式和在哪个自由度上运动占优，每个自由度上应分配有和每个自由度平动动能相等的平均动由度上应分配有和每个自由

19、度平动动能相等的平均动能能. .能量均分定理：能量均分定理：在温度为在温度为T的平衡态下，物质分子的的平衡态下，物质分子的任何一个自由度上分配有任何一个自由度上分配有kT/2的平均动能，对有个的平均动能，对有个i个个自由度的气体分子，其平均动能为自由度的气体分子，其平均动能为 .kTi2一个分子的能量为一个分子的能量为kTi21 mol气体分子的能量为气体分子的能量为: :定义：定义：气体内部所有分子的气体内部所有分子的动能动能和分子间的相互作和分子间的相互作用用势能势能的的总和总和称为气体的内能称为气体的内能. .对于理想气体，分子之间无势能，因此理想气体的内对于理想气体，分子之间无势能，因

20、此理想气体的内能就是它的所有分子的动能之和能就是它的所有分子的动能之和. .kTNiA2RTi2m 千克气体的能量为：千克气体的能量为：RTiMmE2 理想气体的理想气体的内能内能只是只是温度的单值函数温度的单值函数，而且和，而且和热力学温度成热力学温度成正比，也是状态函数正比，也是状态函数. . 对于一定量的理想气体，当温度改变对于一定量的理想气体，当温度改变 时，时，内能的改变量为内能的改变量为 TTRiMmE2 无论经由什么过程，只要温度变化相同，一定无论经由什么过程，只要温度变化相同，一定内能理想气体的内能变化就相同内能理想气体的内能变化就相同. .预习要点预习要点? 从从2. 什么是

21、气体分子的最概然速率、平均速率及方均根什么是气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率速率? 它们的计算公式是什么？它们的计算公式是什么？*3. NNd)(vf 大量分子速度分布遵循的统计规律叫大量分子速度分布遵循的统计规律叫麦克斯韦速麦克斯韦速度分布律度分布律，只考虑分子速率的分布的规律叫，只考虑分子速率的分布的规律叫麦克斯韦麦克斯韦速率分布律速率分布律.1 分子速率分布的实验结果图（典型实验为施特恩实验）分子速率分布的实验结果图（典型实验为施特恩实验）N：分子总数分子总数)/(vNNovvvvSvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf2 分布函数分布函数N 为速率在为速率在

22、区间的分子数区间的分子数.vvv表示速率在表示速率在 区间的分子区间的分子数占总数的百分比数占总数的百分比 .NNSvvvvv)d(fNdN 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数区间的分子数占总分子数的百分比的百分比 .vvvd 表示在温度为表示在温度为 的平衡状态下，速率在的平衡状态下，速率在 附附近近单位速率单位速率区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比.vT3 分布函数的意义分布函数的意义)(vfvvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数4 麦克斯韦气体速率分布律麦克斯韦气体速率分布律v)(vf

23、ovvv dSdpv5 麦克斯韦气体速率分布曲线麦克斯韦气体速率分布曲线1） 可取从可取从 的可能速率；的可能速率；1)(vv0df4）归一）归一化条件化条件v)(vfovvv dSdpvv02）具有等速率的分子数占气体）具有等速率的分子数占气体分子总数的百分比很大，而较分子总数的百分比很大，而较大和较小速率的分子数占分子大和较小速率的分子数占分子总数的百分比较小；总数的百分比较小；3）小面积）小面积 及面积及面积NdNfvv)d(NNf21vvvv)d(分别表示在分别表示在 和和 两区间内的气两区间内的气体相对分子数，或分在速率取值分别在上述区间内体相对分子数，或分在速率取值分别在上述区间内的概率的概率 . vvvd21vv 即一个分子速率取任意数值的概率为即一个分子速率取任意数值的概率为100%.pv1 最概然最概然速率速率0d)(dpvvvvfMRTmkT22pv pv物理意义：物理意义：气体在一定温度下分布在最概然速率气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多附近单位速率间隔内的相对分子数最多 . 分子出现概率最大时对应的速率，即求分子出现概率最大时对应的速率，即求 的的极大值对应的速率极大值对应的速率. .)(vf2 平均速率平均速率vMRTmkT88v3 方均根速率方均根速