气体分子匀动论

1、第二篇第二篇 热热 学学 第六章第六章 气体分子运动论气体分子运动论 第七章第七章 热力学基础热力学基础 一、热学的研究对象一、热学的研究对象 热学的研究对象：热学的研究对象：热现象、热运动以及热运动与其它运热现象、热运动以及热运动与其它运 动形式之间相互转换所遵循的规律。动形式之间相互转换所遵循的规律。 热现象：热现象：凡与温度有关的现象，如热胀、冷缩、蒸发、凡与温度有关的现象，如热胀、冷缩、蒸发、 凝结、淬火、退火凝结、淬火、退火在自然界形形色色的物质运动中，许在自然界形形色色的物质运动中，许 多都与温度有关，即与冷热变化有关。多都与温度有关，即与冷热变化有关。 热运动：热运动：宏观物体内

2、部大量微观粒子（分子、原子、电宏观物体内部大量微观粒子（分子、原子、电 子）的无规则运动。子）的无规则运动。 热运动是热现象的微观本质，热现象是热运动的宏观表现。热运动是热现象的微观本质，热现象是热运动的宏观表现。 二二. 热学的研究方法热学的研究方法 由由宏观方法宏观方法出发，发展成为出发，发展成为热力学热力学。 热学研究方法有两种热学研究方法有两种 由由微观统计方法微观统计方法出发形成出发形成统计物理学统计物理学； 1.1.微观方法：微观方法： 从分子的微观结构和热运动的概念出发，依据个别分子所从分子的微观结构和热运动的概念出发，依据个别分子所 遵从的力学规律，遵从的力学规律，运用统计的方

3、法运用统计的方法，揭示由大量分子构成的物，揭示由大量分子构成的物 质的宏观现象的本质。质的宏观现象的本质。 微观量微观量描述微观粒子特征的物理量；描述微观粒子特征的物理量； 如质量、速度、能量、动量等。如质量、速度、能量、动量等。 2. 2. 宏观方法：宏观方法： 热力学研究方法不考虑物质的微观结构，而以观察热力学研究方法不考虑物质的微观结构，而以观察、实实 验所总结出的热力学规律为依据，运用严格的逻辑推理方法，验所总结出的热力学规律为依据，运用严格的逻辑推理方法， 从从 能量的观点出发，研究宏观物质的热学性质。能量的观点出发，研究宏观物质的热学性质。 宏观量宏观量描述宏观物体特性的物理量；描

4、述宏观物体特性的物理量； 如温度、压强、体积、热容量、密度、熵等。如温度、压强、体积、热容量、密度、熵等。 微观粒子微观粒子观察和实验观察和实验 出出 发发 点点 热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质力学本质 二者关系二者关系 无法自我验证无法自我验证不深刻不深刻 缺缺 点点 揭露本质揭露本质普遍，可靠普遍，可靠 优优 点点 统计平均方法统计平均方法 力学规律力学规律 总结归纳总结归纳 逻辑推理逻辑推理 方方 法法 微观量微观量宏观量宏观量 物物 理理 量量 热现象热现象热现象热现象 研究对象研究对象 微观理论微观理论 （统计物理学）（统计物理

5、学） 宏观理论宏观理论 （热力学）（热力学） 扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STMSTM） 一一 了解了解气体分子热运动的图像气体分子热运动的图像 . 二二 理解理解压强公式和温度公式。从宏观和微观两方面理压强公式和温度公式。从宏观和微观两方面理 解压强和温度的概念解压强和温度的概念 。 三三 了解了解自由度概念，自由度概念，理解理解能量均分定理，会计算理想气能量均分定理，会计算理想气 体（刚性分子模型）体（刚性分子模型） 的定体摩尔热容、定压摩尔热容和内能的定体摩尔热容、定压摩尔热容和内能 . 四四 理解理解麦克斯韦速率分布律、分布函数和分布曲线的物麦克斯韦速率分布律、分布函数和分布曲线的

6、物 理意义理意义 . 掌握掌握三种统计速率。三种统计速率。 五五 了解了解平均碰撞次数和平均自由程平均碰撞次数和平均自由程 . 6.1 6.1 平衡态平衡态 理想气体状态方程理想气体状态方程 一一. 分子运动论的基本观点分子运动论的基本观点 1. 宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在 一定的空隙一定的空隙 2. 分子在永不停息地作无序热运动分子在永不停息地作无序热运动 (1) 气体、液体、固体的扩散气体、液体、固体的扩散 水和墨水的混合水和墨水的混合 相互压紧的金属板相互压紧的金属板 例如：例如： (1) 1cm3的空气中包含

7、有的空气中包含有2.71019 个分子个分子 (2) 水和酒精的混合水和酒精的混合 例如：例如： (2) 布朗运动布朗运动 NO 2 O A B C 3. 分子间存在相互作用力分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作 用用(分子力分子力)可近似地表示为可近似地表示为 ( 布朗运动 布朗运动 ) )(ts rr f ts 式中式中r 表示两个分子中心的距离，表示两个分子中心的距离， 、 、 s 、 t 都是正数，其都是正数，其 值由实验确定。值由实验确定。 0 r 斥力斥力 引力引力 r (分子力与分子间距离的关系

8、分子力与分子间距离的关系) st rr 1 0 )( 0f 0 rr 0 rr 分子力表现为斥力分子力表现为斥力 分子力表现为引力分子力表现为引力 由分子力与分子距离的关系，有由分子力与分子距离的关系，有 m10 10 0 r( 平衡位置平衡位置 ) 一切宏观物体都是由一切宏观物体都是由大量分子大量分子组成的，分子都在组成的，分子都在永不停息地永不停息地 作无序热运动，分子之间有作无序热运动，分子之间有相互作用相互作用的分子力。的分子力。 结论结论 气体分子运动的规律气体分子运动的规律 1. 气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 (1)

9、由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小，由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小， 除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分 子间相互作用的分子力是极其微小的子间相互作用的分子力是极其微小的。 (2) 由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略以忽略。 2. 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子一秒内一个分子和其它分子大约大约要碰撞几十亿次要碰撞几十亿次( (10109 9次次/ /秒秒) ) 二二.气体分

10、子热运动及统计规律气体分子热运动及统计规律 统计规律的特征统计规律的特征 对于由大量对于由大量 分子组成的热力分子组成的热力 学系统从微观上学系统从微观上 加以研究时，必加以研究时，必 须用统计的方法须用统计的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在伽小球在伽 尔顿板中的分尔顿板中的分 布规律布规律

11、 . 统计规律统计规律 当小球数当小球数 N 足够大时小球的分布具有统计规律足够大时小球的分布具有统计规律. 设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 . i Ni N N i N i lim 概率概率 粒子在第粒子在第 格中出现格中出现 的可能性大小的可能性大小 . i 1 i i i i N N 归一化条件归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i NN粒子总数粒子总数 (1) (1) 统计规律是统计规律是大量大

12、量偶然事件的偶然事件的总体总体所遵从的规律所遵从的规律 (2) (2) 统计规律和统计规律和涨落涨落现象是分不开的。现象是分不开的。 结论结论 3. 3. 气体分子热运动服从统计规律气体分子热运动服从统计规律 统计规律统计规律 气体处于气体处于平衡状态平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的时，气体分子沿各个方向运动的 概率相等，故有概率相等，故有 0 zyx vvv 222 zyx vvv 2222 3 1 vvvv zyx 由于气体处于由于气体处于平衡状态平衡状态时，气体分子沿各个方向运时，气体分子沿各个方向运 动的概率相等，故有动的概率相等，故有 2222 zyx 物质的性质和所遵从的规律大

13、不相同，各种物质只有在物质的性质和所遵从的规律大不相同，各种物质只有在 一定的温度和压强范围内才能处于某一确定的状态。一定的温度和压强范围内才能处于某一确定的状态。 1 1物质的状态物质的状态 由大量分子、原子组成的物质可以有各种不同形式的聚由大量分子、原子组成的物质可以有各种不同形式的聚 集态，如固态、液态、气态、等离子体状态和超固态。集态，如固态、液态、气态、等离子体状态和超固态。 四气体的状态参量四气体的状态参量 2 2. 系统和外界系统和外界 热力学系统热力学系统热力学所研究的具体对象，简称系统。热力学所研究的具体对象，简称系统。 系统是由大量分子组成，系统是由大量分子组成，如气缸中的

14、气体如气缸中的气体。 外界外界系统以外的物体系统以外的物体 3. 气体的状态参量气体的状态参量 分子物理学和热力学研究的是气体粒子集合体的状态。表分子物理学和热力学研究的是气体粒子集合体的状态。表 征集合状态的参量，征集合状态的参量，体积体积V V、压强压强P P、温度温度T T，这三个物理量称这三个物理量称 为气体的状态参量。为气体的状态参量。 温度温度(T) 体积体积(V) 压强压强(p) 气体分子可能到达的整个空间的体积气体分子可能到达的整个空间的体积即容器容积即容器容积 大量分子与器壁及分子之间不断碰撞而产生的宏大量分子与器壁及分子之间不断碰撞而产生的宏 观效果观效果(1atm=1.0

15、1105Pa)（可表示真空度）可表示真空度） 大量分子热运动的剧烈程度大量分子热运动的剧烈程度 温标：温度的温标：温度的数值数值表示方法表示方法 热力学温标：规定水的三相点温度为热力学温标：规定水的三相点温度为273.16 K KtT)273( 室温：室温： 300K标准状态：标准状态：0 ，1 1atmatm，1mol1mol气体气体22.422.4升升 五五. 平衡态和平衡平衡态和平衡过程过程 1.1.平衡态平衡态在没有外界影响的情况下，系统各部分的宏观性质在没有外界影响的情况下，系统各部分的宏观性质 在长时间内不发生变化的状态。在长时间内不发生变化的状态。 说明说明 (1) 不受外界影响

16、是指系统与外界不受外界影响是指系统与外界不通过作功或传热的方不通过作功或传热的方 式交换能量，但可以处于均匀的外力场中；式交换能量，但可以处于均匀的外力场中； (2) 平衡是热动平衡平衡是热动平衡 (3) 平衡态的气体平衡态的气体系统宏观量可用一组确定的值系统宏观量可用一组确定的值(P,V,T)表示表示 (4) 平衡态是一种平衡态是一种理想状态理想状态 平衡过程：平衡过程：无限缓慢进行的极限过程，中间状态都无限缓慢进行的极限过程，中间状态都 无限接近于平衡状态无限接近于平衡状态准静态过程准静态过程 2.2.平衡过程平衡过程 系统从某状态开始经历一系列的中间状态系统从某状态开始经历一系列的中间状

17、态 到达另一状态的过程。到达另一状态的过程。 热力学过程热力学过程 1 2 21 非准静态过程非准静态过程 系统经历一系列非平衡态的过程系统经历一系列非平衡态的过程 实际过程是非准静态过程，但只要过程进行的时间远大于实际过程是非准静态过程，但只要过程进行的时间远大于 系统的驰豫时间，均可看作准静态过程。系统的驰豫时间，均可看作准静态过程。如：如：实际汽缸的实际汽缸的 压缩过程可看作准静态过程压缩过程可看作准静态过程 S 说明说明 (1) 准静态过程是一个理想过程准静态过程是一个理想过程； (3) 准静态过程在状态图上准静态过程在状态图上可用一条曲线表示可用一条曲线表示, 如图如图. . (2)

18、 除一些进行得极快的过程（如爆炸过程）外，除一些进行得极快的过程（如爆炸过程）外，大多数情大多数情 况下都可以把实际过程看成是准静态过程；况下都可以把实际过程看成是准静态过程； O V p 六六. .理想气体的状态方程理想气体的状态方程 （平衡态）（平衡态） 1、理想气体宏观定义、理想气体宏观定义：遵守三个实验定律的气体：遵守三个实验定律的气体 . 2. 物态方程：理想气体平衡态宏观参量间的函数关系物态方程：理想气体平衡态宏观参量间的函数关系 . 玻玻-马定律：马定律：温度一定温度一定 状态状态1 (P1V1T1) 状态状态2 (P2V2T2) 2211 VPVP即：即：常量PV 盖盖吕萨克定

19、律：吕萨克定律：压强一定压强一定 2 2 1 1 T V T V 即：即： 常量 T V 查理定律：查理定律：体积一定体积一定 2 2 1 1 T P T P 即：即： 常量 T P 方程推导方程推导 0 V 1 T 1 P 1 V 2 T V 2 V （等压）（等压） 21 1 T V T V （等温）（等温） 221 VPVP 消去消去 得：得： V 2 22 1 11 T VP T VP 设设为为标准状态标准状态：气体质量为：气体质量为M， 摩尔质量为摩尔质量为 0 00 2 22 1 11 T VP T VP T VP M 即即R M T VPM T PV 0 00 15.273 10

20、4 .2210013. 1 35 0 00 T VP R 11 KmolJ 8.31 P 2 P 22.4升升 2 22 1 11 T Vp T Vp 对一定质量的同种气体对一定质量的同种气体 11 KmolJ31. 8 R摩尔气体常量摩尔气体常量 RT M pV 理想气体物理想气体物 态方程态方程 气体质量气体质量 摩尔质量摩尔质量 玻马定律 PV=constant 盖吕萨克定律 V/T=constant 查理定律 P/T=constant T不变 P不变 V不变 PV/T=R 1mol 克拉伯龙方程 RT M PV 理想气体状态方程理想气体状态方程 微观领域理想气体状态方程：微观领域理想气

21、体状态方程： 设单个分子的质量为设单个分子的质量为 m ，总总 分子数为分子数为 N，则：则： NmM mN0 23 0 1002. 6N：其中 则理想气体状态方程为：则理想气体状态方程为： T V N N R T V R mN Nm T V RM P 00 令：令： 123 0 1038. 1 KJ N R k 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数 knTP 理想气体方程的微观形式理想气体方程的微观形式 V N n 分子数密度分子数密度 RT M pV 由由 例：例： 氧气瓶的容积为氧气瓶的容积为32升，其中氧气的压强为升，其中氧气的压强为 ，氧，氧 2 1300cmN 气厂规定压强降到气厂规定压强降到

22、 时，应重新充气，以免经常时，应重新充气，以免经常 2 100cmN 洗瓶。某小型车间，平均每天用洗瓶。某小型车间，平均每天用400升，升，1atm的氧气，的氧气， 求：求：一瓶氧气能用几天（使用过程中温度不变）。一瓶氧气能用几天（使用过程中温度不变）。 解：解：PaP 7 1 103 . 1 PaP 6 2 101 使用前：使用前：RT M Vp 1 1 RT Vp M 1 1 RT M Vp 2 2 使用后：使用后： RT Vp M 2 2 RT M Vp 每天用量每天用量 RT Vp M 设使用设使用N天，则有：天，则有： MNMM 21 M MM N 21 RT Vp RT Vp RT

23、 Vp 21 PV PPV )( 21 天天5 . 9 6.2 理想气体的压强理想气体的压强公式公式温度的统计意义温度的统计意义 一一. 理想气体的微观模型理想气体的微观模型 (2) 分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了 碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。 (3) 碰撞为完全弹性。碰撞为完全弹性。 理想气体分子理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没 有相互作用的弹性球。有相互作用的弹性球。 (1)分子可视为质点；分子可视为质点； 线度线度 ,1

24、0 10 m d rdr ,10 9 m 分子间距离分子间距离 (4) 分子的运动遵从经典力学的规律分子的运动遵从经典力学的规律 。 2. 分子按位置的均匀分布分子按位置的均匀分布（重力不计）（重力不计） 在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同, 容器内容器内 各处的分子数密度相同各处的分子数密度相同 const V N V N n 3. 分子速度按方向的分布均匀分子速度按方向的分布均匀 由于碰撞由于碰撞, 分子向各方向运动的概率相同，所以分子向各方向运动的概率相同，所以 2222 3 1v vvv zyx 0 zyxvvv 二二. 平衡态气体分子

25、的统计性假设平衡态气体分子的统计性假设 1. 每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化 三三. 理想气体的压强公式理想气体的压强公式 气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁 以力的作用所引起的。以力的作用所引起的。 例例: 雨点对伞的持续作用雨点对伞的持续作用 从气体分子运动看气体压强的形成从气体分子运动看气体压强的形成 大量分子对器壁碰撞的总效果大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定的、持续的力的作用恒定的、持续的力的作用 . 单个分子对器壁碰撞特性单个分子对器壁碰撞特性 : 偶然

26、性偶然性 、不连续性、不连续性. v y v x v z v a x vm x vm- A1 A2 X Y Z 取长方体容器，边长分别为取长方体容器，边长分别为l1 1，l2 2，l3 3，其中充满了质量为其中充满了质量为 M、分子数为的理想气体，单个分子的质量为分子数为的理想气体，单个分子的质量为。 1 l 2 l 3 l kji iziyixi vvvv 分子分子a运动速度运动速度 1.1.理想气体压强公式的推导理想气体压强公式的推导 v y v x v z v a ix vm ix vm- A1 A2 X Y Z 1 l 2 l 3 l 1)1)分子与器壁分子与器壁A A2 2面碰撞动量

27、改变：面碰撞动量改变： ixixixix 2mmmP 分子对分子对A A2 2面的冲量面的冲量: : ix 2m 2)2)单位时间内单位时间内a a对对A A2 2的冲量：的冲量： 从从A A2 2AA1 1AA2 2面的一个来回面的一个来回 所需时间，即连续碰撞两所需时间，即连续碰撞两 ix l 1 2 次所用时间为次所用时间为: : ， 则单位时间碰撞次数则单位时间碰撞次数 1 2l ix 单位时间单位时间内内 a a 对对A A面上的冲量，即面上的冲量，即 平均冲力为：平均冲力为： 1 2 1 2 2 l m l mf ix ix ixi 3)3)N N个分子对个分子对A A2 2的平均

28、冲力：的平均冲力： 4)4)N N个分子对个分子对A A2 2产生的压强：产生的压强： 32 2 ll F S F P A i ix ll l m 2 321 i ix V m 2 N m V N i ix 2 N i ix x 2 2 令：令： V N n 平平方方的的统统计计平平均均值值 x 分子数密度分子数密度 2 nmp x i i fF i ix l m 1 2 i ix l m 2 1 2 nmp x 由统计假设：由统计假设： 2222 3 1 zyx 2 nm 3 1 pn 3 2 2 m 2 1 气体分子的平均平动动能气体分子的平均平动动能 2 m 2 1 n 3 2 n 3

29、2 P 压强公式为压强公式为: (1) 压强压强 p 是一个统计平均量。它反映的是是一个统计平均量。它反映的是宏观量宏观量 p 和微和微 观量观量统计平均统计平均 的关系的关系。对大量分子，压强才有意义。对大量分子，压强才有意义。 (2).(2).PP：说明当愈大，则单位时间内碰撞到单位面积：说明当愈大，则单位时间内碰撞到单位面积 上的分子数就愈多，因此上的分子数就愈多，因此P P也愈大。也愈大。 (3).(3).分子速度愈大，单位时间内碰撞器壁的次数愈多，每次分子速度愈大，单位时间内碰撞器壁的次数愈多，每次 碰撞施于器壁的冲力也愈大，所以碰撞施于器壁的冲力也愈大，所以P P也愈大。也愈大。

30、说明说明 n n1 1，n n2 2 . .，则混合气体的总压强为：则混合气体的总压强为： (4).(4).如果容器内装有混合气体，它们的分子数密度分别为如果容器内装有混合气体，它们的分子数密度分别为 2 222 2 11121 v 3 1 v 3 1 mnmnPPP kTnkTnkTn nnPPP 321 2121 3 2 3 2 即即 四温度的统计意义四温度的统计意义 理想气体方程理想气体方程nkTP k nP 3 2 压强公式压强公式: kT k 2 3 1. 温度的统计意义温度的统计意义 温度温度 T 的物理的物理意义意义 1） 温度是分子平均平动动能的量度温度是分子平均平动动能的量度

31、 （亦即是构成宏观物（亦即是构成宏观物 体大量微观粒子热运动剧烈程度的标志）体大量微观粒子热运动剧烈程度的标志）. 2）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义. 3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。 热热运动与运动与宏观宏观运动的运动的区别区别：温度所反映的：温度所反映的 是分子的无规则运动，它和物体的整体运动无是分子的无规则运动，它和物体的整体运动无 关，物体的整体运动是其中所有分子的一种有关，物体的整体运动是其中所有分子的一种有 规则运动的表现规则运动的表现. 注意注意 2 2气体分子

32、的方均根速率气体分子的方均根速率 kT k 2 3 2 2 1 m k 气体分子的方均根速率为：气体分子的方均根速率为： mkT3 2 RT3 (1)气体分子的方均根速率与温度的开方成正比，与摩尔质气体分子的方均根速率与温度的开方成正比，与摩尔质 量的开方成反比。量的开方成反比。 讨论讨论 (2)(2)温度相同时，各种气体的平均平动能相等，但不同气温度相同时，各种气体的平均平动能相等，但不同气 体的方均根速率并不相等。体的方均根速率并不相等。 （A）温度相同、压强相同。温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。温度、压强都不同。 （C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强温度相同，但氦气的

33、压强大于氮气的压强. （D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强. RT M pV 解解RT V M p 1 )He()N( 2 )He()N( 2 pp 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同， 而且它们都处于平衡状态，则它们而且它们都处于平衡状态，则它们 例：例： RT 1 例例 理想气体体积为理想气体体积为 V ，压强为压强为 p ，温度为温度为 T ,一个分子一个分子 的质的质 量为量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，为玻尔兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理为摩尔气体常量，则该理 想气体的分子

34、数为：想气体的分子数为： （A） （B） mpV )(RTpV )(kTpV )(TmpV kT pV nVNnkTp 解解 （C） （D） 例例 若气体分子的平均平动动能为若气体分子的平均平动动能为1 1eVeV，问气体的温度为多少？问气体的温度为多少？ 解解 设气体温度为设气体温度为T T，温度公式得：温度公式得： 23 19 1038. 13 10602. 12 k T k 3 2 kT k 2 3 )(1074. 7 3 K 例例.设氢的密度设氢的密度 ， 试计算氢分子在试计算氢分子在1.0大气大气 压下的方均根速率。并求此种情况下的温度压下的方均根速率。并求此种情况下的温度 T 等于

35、多少？等于多少？ 32 1099. 8mkg 解：解： n 3 2 P 2 nm 3 1 2 m V N 3 1 2 3 1 故：故： P3 2 2 5 1099.8 1001.13 s m 1839 P3 2 由：由： RT3 2 R P T 31. 81099. 8 1021001. 1 2 25 K2.271 有一容积为有一容积为10cm3 的电子管，当温度为的电子管，当温度为300K时用真空泵时用真空泵 抽成高真空，使管内压强为抽成高真空，使管内压强为510- -6 mmHg。 (1) 此时管内气体分子的数目；此时管内气体分子的数目； (2) 这些分子的总平动动能。这些分子的总平动动能

36、。 解解 例例 求求 3001038. 1 103 .133105 23 56 kT pV N 12 1061. 1 (1) 由理想气体状态方程由理想气体状态方程 p=nkT 得得 (2) 每个分子平均平动动能每个分子平均平动动能 kT 2 3 N 个分子总平动动能为个分子总平动动能为 J10 2 3 8 kTNN 火车火车：被限制在一曲线：被限制在一曲线 上运动，独立坐标为上运动，独立坐标为1 1； 飞机飞机：独立坐：独立坐 标标3 3（经度、纬（经度、纬 度、高度）度、高度） 轮船轮船：被限制在一曲面上：被限制在一曲面上 运动，独立坐标为运动，独立坐标为2 2 （经度、纬度）（经度、纬度）

37、 6.3 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 一一. 自由度自由度 自由度：自由度：确定一个物体的空间位置所需的独立坐标确定一个物体的空间位置所需的独立坐标 数，常用数，常用 i 表示。表示。 平动自由度：平动自由度：t=3 轴线的转动需两个轴线的转动需两个 独立的坐标，独立的坐标， 绕自身轴的转动需绕自身轴的转动需 一个独立坐标一个独立坐标 转动自由度：转动自由度：r=3 刚体的自由度数为：刚体的自由度数为： i =t+r=6 刚体的自由度刚体的自由度 二二. 气体分子的自由度气体分子的自由度 故故单原子分子自由度为单原子分子自由度为3（i = t =3）， 称为平动自由度称为平动自由

38、度 ，如，如He、Ne等。等。 x O y z ),(zyx )He( 单原子分子可视为质点，确定其单原子分子可视为质点，确定其 空间位置需三个独立坐标，空间位置需三个独立坐标， 1. 1. 单原子分子单原子分子 2. 2. 刚性刚性双原子分子双原子分子 x O y z ),(zyx )O( 2 首先确定一个质点的位置需三个独立坐标；首先确定一个质点的位置需三个独立坐标； 可用其与三个坐标轴的夹角可用其与三个坐标轴的夹角 来确定，但来确定，但 ),( 1coscoscos 222 再确定两原子连线的方位；再确定两原子连线的方位； 刚性哑铃型双原子分子自由度刚性哑铃型双原子分子自由度 为为5（i

39、=t+r=5）。）。 （两个独立）（两个独立） 确定其空间位置需分步进行：确定其空间位置需分步进行： 首先确定一个质点的位置需首先确定一个质点的位置需三个三个独立坐标；独立坐标； 再确定两原子连线的方位需再确定两原子连线的方位需两个两个独立坐标；独立坐标； 刚性自由多原子分子自由度为刚性自由多原子分子自由度为6（i=6）。）。 x O y z ),(zyx O)(H 2 最后确定绕两原子连线的转动的最后确定绕两原子连线的转动的 角坐标，需角坐标，需一个一个独立坐标；独立坐标； 一般地，由一般地，由 n 个原子构成的个原子构成的非刚性非刚性多原子分子，最多有多原子分子，最多有 i=3n 个自由度

40、，其中个自由度，其中3 平动自由度，平动自由度，3 个转动自由度，（个转动自由度，（3n-6）个振个振 动自由度。动自由度。 3. 3. 刚性刚性自由多原子分子自由多原子分子 srti 自由度数目自由度数目 平动 平动 转动 转动 振动 振动 单单原子分子原子分子 3 0 3 双双原子分子原子分子 3 2 5 多多原子分子原子分子 3 3 6 刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度 tri 分子分子 自由度自由度 平动平动转动转动总总 对刚性分子：对刚性分子：0s 二二. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 理想气体分子的平均平动动能为理想气体分子的平均平动动能为 kTm 2 3 2 1

41、2 v 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 zyx mmmmvvvvkTmmm zyx 2 1 2 1 2 1 2 1 222 vvv 由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一 个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能 是是平均分配平均分配在每一个平动自由度上的。在每一个平动自由度上的。 2222 3 1 zyx 上述结论可推广到振动和转动，得到上述结论可推广到振动和转动，得到能均分定理能均分定理： 表述为：表述为： 在温度为在温度为T 的的平衡状态平衡状态下，分子的每个自下，分子的每

42、个自 由度的由度的平均动能平均动能均为均为 。 kT 2 1 这样的能量分配原则称为这样的能量分配原则称为能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 (1) 能量按自由度均分能量按自由度均分是大量分子是大量分子统计统计平均平均的结果的结果，是是分子分子 间的频繁间的频繁碰撞而致碰撞而致。对个别分子不适用。对个别分子不适用。 说明说明 (2)能均分定理不仅适用于气体，对液体和固体分子依然成能均分定理不仅适用于气体，对液体和固体分子依然成 立，是经典物理的基本原理推导出的，并得到实验的验证。立，是经典物理的基本原理推导出的，并得到实验的验证。 (3) 若某种气体分子具有若某种气体分子具有t 个个平动

43、自由度和平动自由度和r 个转动自由度个转动自由度， s 个个振动自由度振动自由度， kTsrt)( 2 1 则每个气体分子的则每个气体分子的平均总动能平均总动能为为 每个气体分子的每个气体分子的平均势能平均势能为为 ，kT s 2 因此因此 kTsrt)2( 2 1 每个气体分子的每个气体分子的平均总能量平均总能量为为 气体分子的平均总动能等于气体分子的气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能量平均总能量。即为即为 kT i kTrt 2 )( 2 1 对于刚性分子对于刚性分子 0s即：即：irt 三三. 理想气体的内能理想气体的内能 内能内能 气体中所有分子各种形式动能和分子内气体中所有分

44、子各种形式动能和分子内 原子间振动势能的总和原子间振动势能的总和 理想气体的内能理想气体的内能 系统中与热现象有关的那部分能量系统中与热现象有关的那部分能量(动能动能和和势能势能) 刚性刚性理想气体的内能理想气体的内能 气体中所有分子各种形式气体中所有分子各种形式动能总和动能总和 1mol 理想气体的内能为理想气体的内能为 每个理想气体分子的平均总能量为每个理想气体分子的平均总能量为 RT i kT i NE 22 0 RT i RT iM E 22 质量为质量为M 理想气体的内能为理想气体的内能为 kT i 2 刚性理想气体的内能公式：刚性理想气体的内能公式： RT i RT iM E 22

45、 RT M E 2 3 单原子理气：单原子理气： 双原子理气：双原子理气：RT M E 2 5 三三(多多)原子理气：原子理气： RT M E 2 6 说明说明 一定质量的理想气体一定质量的理想气体内能内能完全完全取决于取决于分子运动的分子运动的自由度数自由度数 和和气体的温度气体的温度，而与气体的体积和压强无关。对于，而与气体的体积和压强无关。对于给定气给定气 体体，i 是确定的，所以其内能就只与是确定的，所以其内能就只与温度温度有关，这与宏观有关，这与宏观 的实验观测结果是一致的。的实验观测结果是一致的。 或或 pV i E 2 内能只是气体状态参数温度内能只是气体状态参数温度T T的单值

46、函数。的单值函数。如果如果 气体的温度发生变化，则其内能也要发生变化，关系气体的温度发生变化，则其内能也要发生变化，关系 为：为： TR iM TR i E 22 一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为273K，密度为密度为= 1.25 g/m3， 压强为压强为 p = 1.010- -3 atm (1) 气体的摩尔质量，是何种气体？气体的摩尔质量，是何种气体？ (2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平动动能？单位体积内气体分子的总平动动能？ (4) 设该气体有设该气体有0.3 mol，气体的内能？气体

47、的内能？ 解解 例例 求求 kg/mol028. 0 10013. 110 27331. 81025. 1 53 3 p RT 由结果可知，这是由结果可知，这是N2 或或CO 气体。气体。 (1) 由由 ，有，有 RT M pV (2) 平均平动动能和平均转动动能为平均平动动能和平均转动动能为 J1056. 52731038. 1 2 3 2 3 2123 kT t J 2123 1077. 32731038. 1 2 2 kT r (3) 单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能为 32 23 2 21 J/m1052. 1 2731038. 1 10013. 1 10

48、56. 5 kT p nE ttt J 3 1070. 127331. 8 2 5 3 . 0 2 RT iM E (4) 由气体的内能公式，有由气体的内能公式，有 6.4 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 气体中所有分子均以不同的速率运动着，且气体中所有分子均以不同的速率运动着，且 不断发生碰撞，就每个分子而言，其速率取值是不断发生碰撞，就每个分子而言，其速率取值是 随机的，但在温度为随机的，但在温度为T的平衡态下，由于大量分的平衡态下，由于大量分 子的不断碰撞，气体分子的速率却遵从确定的分子的不断碰撞，气体分子的速率却遵从确定的分 布规律。布规律。 一一. 分布的概念分布的概念 气

49、体系统是由大量分子组成，气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞而各分子的速率通过碰撞 不断地改变，不断地改变， 不可能逐个加以描述不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按只能给出分子数按 速率的分布。速率的分布。 问题的提出问题的提出 分布的概念分布的概念 例如学生人数按年龄的分布例如学生人数按年龄的分布 年龄年龄 15 16 17 18 19 20 2122 人数按年龄人数按年龄 的分布的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按人数比率按 年龄的分布年龄的分布 20% 30% 40% 10% 二二. 气体速率分布的实验测定气体速率分布的实验测定 1. 实验装置实验装

50、置 2. 测量原理测量原理 (1) 能通过细槽到达检测器能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件的分子所满足的条件 L v v L 通过改变角速度通过改变角速度的大小，的大小， 选择速率选择速率v 沉积在检测器上相应的金属层厚沉积在检测器上相应的金属层厚 度必定正比相应速率下的分子数度必定正比相应速率下的分子数 d 伽尔顿板实验 N 的粒子数的粒子数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 粒子数按空间位

51、置粒子数按空间位置 X X 分布曲线分布曲线 粒子落入哪一格内是粒子落入哪一格内是 一个偶然事件，大量粒子一个偶然事件，大量粒子 下落运动却遵从确定的服下落运动却遵从确定的服 从统计分布规律。从统计分布规律。 xx Nxxx 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi +v 分子数按速分子数按速 率率 的分布的分布 N1 N2 Ni 分子数比率分子数比率 按速率的分按速率的分 布布 N1/N N2/N Ni/N 气体分子按速率的分布气体分子按速率的分布 Ni 就是就是分子数按速率的分布分子数按速率的分布 三三. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 理想气体在理想气体在平衡态平衡态下分子的速率

52、分布定律下分子的速率分布定律 T mv e kT m f k2 22/3 2 ) 2 (4)( vv ( 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 ) 1. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 vv v d) 2 (4 d 2/22/3 2 kTm e kT m N N 它表示速率在它表示速率在vv+ dv 区间内的分子数与总分子区间内的分子数与总分子 数的比率。数的比率。 说明说明 (1) 从统计的概念来看讲速率从统计的概念来看讲速率恰好恰好等于某一值的分子数多少，等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的麦克斯韦速率分布

53、定律对处于平衡态下的混合气体的各各 组分组分分别适用。分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能分布能很好的符合很好的符合。 vvvv v d) 2 (4d)( d 2/22/3 2 kTm e kT m f N N v v d d )( N N f 在速率在速率v 附近单位速率间隔内的分子附近单位速率间隔内的分子 数与总分子数的比率数与总分子数的比率。 2. 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线 f(v) vOv ( 速率分布曲线速率分布曲线 ) 由图可见，气体中 由图可见，气体中 速率很小、速率很速率很小

54、、速率很 大的分子数都很少。大的分子数都很少。 N Nd vv d)(f 在 在dv 间隔内间隔内, , 曲线下曲线下 的面积表示速率分布的面积表示速率分布 在在vv+ dv 中的中的分子分子 数与总分子数的比率数与总分子数的比率 vdv N N f 2 1 d)( v v vv v1v2 T 在在v1v2 区间内区间内, ,曲线下的面积表示速率分布在曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间之间 的的分子数与总分子数的比率分子数与总分子数的比率 vO T ( 速率分布曲线速率分布曲线 ) 曲线下面的总面积， 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速等于分布在整个速 率范围内所有各个率范围内所有各个

55、 速率间隔中的分子速率间隔中的分子 数与总分子数的比数与总分子数的比 率的总和率的总和 0 1d)(vvf 最概然速率最概然速率v p f(v) 出现极大值时出现极大值时, , 所对应的速率称为最概然速率所对应的速率称为最概然速率 p v (归一化条件归一化条件) f(v) 0 d (d p vv v v)f RTRT m kT p 41. 1 22 v m 一定一定, ,T 越大越大, , 这时曲线向右移动，变低，变宽这时曲线向右移动，变低，变宽 T 一定一定, , m 越大越大, , 这时曲线向左移动，变高，变窄这时曲线向左移动，变高，变窄 v p 越大越大, , v p 越小越小, ,

56、T1 f(v) vO T2( T1) 1 p v 2 p v 1 f(v) vO 2( 1) 1 p v 2 p v 由于曲线下的面积不变由于曲线下的面积不变, ,由此可见由此可见 不同气体不同气体, , 不同温度下的不同温度下的速率分布曲线的关系速率分布曲线的关系 m kT p 2 v 四四. 分子速率的三种统计平均值分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率平均速率 RTkT 59.1 m 8 0 dv)( 1d vvvvNf NN N J/K1038. 1 106.022 8.31 23 23 0 N R k 0 dv)(vvvf 2 1 d)( v v vvvf思考：思考： 是否表示在是

57、否表示在v1 v2 区间内的平均速率区间内的平均速率 ？ 式中式中 为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量为摩尔气体常量 RT m kT 73. 1 3 2 v 3. 最概然速率最概然速率 2. 方均根速率方均根速率 m kT f 3 )d( 0 22 vvvv 0 d (d p vv v v)f RTRT m kT p 41. 1 22 v T (1) 一般三种速率一般三种速率用途用途各不相同各不相同 讨论分子的讨论分子的碰撞次数碰撞次数用用 说明说明 v 讨论分子的讨论分子的平均平动动能平均平动动能用用 2 v 讨论讨论速率分布速率分布一般用一般用 p v p v v 2

58、v p vvv 2 f(v) vO (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系同一种气体分子的三种速率的大小关系: (3) 统计平均值公式：统计平均值公式： dxxfxuu b a 其中：其中： 为为 的分布函数，的分布函数， xf x)(xu是是 的函数的函数x dxxfxu b a 则：则：表示表示 的的bxa)(xu的统计平均值的统计平均值 (4)麦克斯韦速率分布函数的其它表达：麦克斯韦速率分布函数的其它表达： KT m e kT m f 2 2 22/3 ) 2 (4)( v 2 2 23 )( 4 )( P P ef v KT k E e kT m f 22/3 ) 2 (4)( v

59、 2 2 23 )( 4 )( P P ef N N v 例例 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？ （A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值. （C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大. p v p v p v p v 氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示. 解解 例例 求求 (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 1000 He 2 H m/s1000 102 3 RT 2 2 H H 2 )( M RT p v m/s1041. 1 3 2 2 H H 2 3 )( M RT v m/s1073. 1 3 He He 2 M RT p v )(vf )m/s(v O (2) (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， 3 10 RT 3 102 3 RT 例：例： 在平衡态下，温度为在平衡态下，温度为T，求（求（1） 区间内的速区间内的速 率分布率率分布