（河北专版）2019年中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.6 运动型问题（试卷部分）优质课件

1、18.6运动型问题中考数学中考数学 (河北专用)2一、点动一、点动(2017吉林长春,23,10分)如图1,在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6.点P从点A出发,沿折线ABBC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动.P、Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.(1)求线段AQ的长;(用含t的代数式表示)(2)连接PQ,当PQ与ABC的一边平行时,求t的值;(3)如图2,过点P作PEAC于点E,以PE、EQ为邻边作矩形PEQF,点D为AC的中点,连接DF

2、.设矩形PEQF与ABC重叠部分图形的面积为S.当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式;直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1 2时t的值.43好题精练3解析解析(1)在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6,AC=8,CQ=t,AQ=8-t(0t4).(2)如图,当PQBC时,APQABC,=,即=,解得t=.如图,当PQAB时,CPQCBA,22ABBC221064343APABAQAC510t4838t324=,BP=3(t-2),CP=6-3(t-2)=-3t+12,=,解得t=3.综上所述,t=或3时,PQ与ABC的一边平行.(3)当点P在AB上时,sin

3、 A=,cos A=,PE=APsin A=3t,AE=APcos A=4t.(i)当0t时,如图.CQCACPCB438t3126t32BCAB35ACAB45325EQ=AC-AE-CQ=8-4t-t=8-t,S=PEEQ=3t=-16t2+24t.(ii)当t2时,如图.QGBC,=,即=,QG=6-t.431631683t32QGBCAQAC6QG4838t6QE=AE+CQ-AC=4t+t-8=t-8.S=(QG+PE)QE=(6-t+3t)=t2+8t-24.(iii)当2t3时,如图.PHAC,=,即=,PH=4t-8.FH=QC-PH=t-(4t-8)=-t+8,PC=FQ=-

4、3t+12,QG=6-t,FG=-3t+12-(6-t)=-2t+6.S=S矩形PCQF-SFGH=CQPC-FHFG=t(-3t+12)-(-2t+6)=-t2+32t-24.4316312121683t163BPBCPHAC3(2)6t 8PH4383124312883t2037或.详解:当0t1时,如图.点E在点D的左侧,SDFQS矩形PEQF.若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1 2,则SDFQ=S矩形PEQF.S矩形PEQF=FQQE,SDFQ=FQDQ,DQ=QE,即4-t=,解得t=.当1t时,如图.35651213122343231683t35328点E在点D的右侧,SP

5、MFS矩形PEQF.若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1 2,则SPMF=S矩形PEQF.S矩形PEQF=FQQE,SPMF=PMQE,PM=PE,易知DMEFMP,=,即=.解得t=.综上所述,当t=或时,若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1 2.12131223PMMEPFDEQEDE21168344tt6535659思路分析思路分析 (1)利用勾股定理先求出AC的长,根据AQ=AC-CQ即可得结果;(2)分两种情况讨论,根据相似三角形对应边成比例分别列出方程求解即可;(3)分三种情况讨论:0t;t2;2t3;分两种情况:当0t1时,若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1

6、2,则可得DQ=QE,列出方程求得t=;当1t时,若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1 2,则可得PM=PE,进而由相似三角形的性质列出方程求得t=.32322335322365难点突破难点突破 若存在DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1 2,则需将面积关系转化为线段间的关系,进而列出含t的等量关系式,从而得出结果.10二、线动二、线动1.(2018湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,C=120,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动,点N从A出发沿边ABBCCO以每秒2个单位

7、长的速度做匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(1)当t=2时,求线段PQ的长;(2)求t为何值时,点P与N重合;(3)设APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围. 11解析解析(1)在菱形OABC中,易知AOC=60,AOQ=30,当t=2时,OM=2,PM=2,QM=,PQ=.(2)当t4时,AN=PO=2OM=2t,t=4时,P点与C点重合,N到达B点,故点P,N在边BC上相遇.设t秒时P与N重合,则(t-4)+2(t-4)=8,解得t=.即t= 秒时,P

8、与N重合.(3)当0t4时,PN=OA=8,且PNOA,PM=t,SAPN=8t=4t.当4t时,PN=8-3(t-4)=20-3t,SAPN=4(20-3t)=40-6t.当t8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,SAPN=4(3t-20)=6t-40.当8t12时,ON=24-2t,N到OM的距离为12-t,N到CP的距离为4-(12-t)=t-832 334 3320320331233203123332031233333333312,CP=t-4,BP=12-t,SAPN=S菱形OABC-SAON-SCPN-SAPB=32-8(12-t)-(t-4)(t-8)-(12-t)4=-t2

9、+12t-56.综上,S与t的函数关系式为S=注:第一段函数的定义域写为0t4,第二段函数的定义域写为4t0),则PH=AHtan A=x,AP=x.BPH=KQP=90-KPQ,PB=QP,RtHPB RtKQP.KP=HB=10-x,PD=(10-x),AD=15=x+(10-x),解得x=6.PH=8,HB=4,PB2=80,S阴影=20.4353545354图3点Q在BC延长线上时,如图4,过点B作BMAD于点M,由得BM=8.图4又MPB=PBQ=45,PB=8,S阴影=32217思路分析思路分析 (1)分以下两种情形求解:点Q和点B在PD同侧,点Q和点B在PD异侧;(2)过点P作P

10、HAB于H,连接BQ,当tanABP tan A=3 2时,AH HB=3 2,进而得出AH,HB的长,在RtAPH中,利用tan A=求出PH的长,在RtPBH中,根据勾股定理求出PB的长,进而可得BQ的长;(3)分以下三种情形求解:点Q落在直线AD上,点Q落在直线DC上,点Q落在直线BC上.43难点分析难点分析 本题是以旋转为背景的探究题,此类问题图形发生变化,要善于从动态位置中寻找不变的关系.点Q位置的确定是解决问题的关键.183.(2014广东,25,9分)如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,BC=10 cm,AD=8 cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3 cm的速度向

11、点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于点E、F、H.当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒(t0).(1)当t=2时,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的PEF的面积存在最大值.当PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使PEF是直角三角形?若存在,请求出此刻t的值;若不存在,请说明理由.19解析解析(1)证明:如图1,当t=2时,HD=2t=4 cm.AD=8 cm,HD=AD.(1分)EFAD,ADBC,EFBC,E,F分别

12、是AB,AC的中点.AB=AC,ADBC,D是BC的中点,DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形.(2分)又ADEF,四边形AEDF是菱形.(3分)12图1(2)如图2,EFBC,AEFABC,=,=,EF=cm.(4分)SPEF=EFDH=2t=-t2+10tEFBCAHAD10EF828t5102t12125102t52图220=-(t-2)2+10.(5分)当SPEF取最大值时,t=2.此时,BP=3t=32=6(cm).(6分)(3)存在.如图3,若PEF=90,则PEAD.图3BEPBAD,=,=,52PEADBPBD28t35t21t=0.当t=0时,EPF不存在,t=0不

13、合题意,舍去.(7分)如图4,若EPF=90,在RtEPF中,图4连接PH,H是EF的中点,PH=EF=5-t.在RtHDP中,HP2=HD2+DP2,12125102t5422=(2t)2+(5-3t)2.解得t=0或t=.由知,t=0不合题意,舍去,t=.(8分)如图5,若PFE=90,则PFAD.CPFCDA,2554t280183280183图5=,=,解得t=.综上所述,当t=或时,PEF是直角三角形.(9分)PFADCPCD28t1035t4017401728018323三、图形动三、图形动1.(2018邯郸一模,25)如图1,图2中,正方形ABCD的边长为6,点P从点B出发沿边B

14、CCD以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动,以BP为边作等边三角形BPQ,使点Q在正方形ABCD内或边上,当点Q恰好运动到AD边上时,点P停止运动.设运动时间为t秒(t0).(1)当t=2时,点Q到BC的距离= ;(2)当点P在BC边上运动时,求CQ的最小值及此时t的值;(3)当点Q在AD边上时,如图2,求出t的值;(4)直接写出点Q运动路线的长. 24解析解析(1)当t=2时,BP=BQ=PQ=4,过点Q作QMBP,垂足为M,QM=BQcos 30=4=2.(2)当点P在BC边上运动时,有QBC=60,根据垂线段最短,可知当CQBQ时,CQ最小.如图,在直角三角形BCQ中,QBC=60,B

15、CQ=30,BQ=BC=3.BP=BQ=3,t=.CQ=BQtanQBC=3.3231232325故当点P在BC边上运动时,CQ的最小值为3,此时t=.(3)若点Q在AD边上,则CP=2t-6,BA=BC,BQ=BP,A=C=90,RtBAQ RtBCP(HL).AQ=CP=2t-6,DQ=DP=12-2t.BP=PQ,且由勾股定理可得DQ2+DP2=QP2,BC2+CP2=BP2,2(12-2t)2=62+(2t-6)2,解得t1=9+3(舍去),t2=9-3.t=9-3.(4)18-6.详解:如图.332333326当点P在BC上运动时,QBC=60不变,点Q的运动路线为BQ,BQ=6,当

16、点P在DC上运动时,点Q沿着与BQ垂直的方向运动,运动路线为QQ.理由:BQ=BP,QBQ=CBP=60-PBQ,BQ=BC,BQQ BCP,BQQ=BCP=90,QQ=CP,由第(3)问结果可知QQ=CP=2(9-3)-6=12-6.点Q运动路线的长为6+12-6=18-6.3333解题关键解题关键 明确点Q的运动路线是解决本题的关键所在.272.(2016吉林,25,10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,BAC=90,AC=8 cm,ADBC于点D.点P从点A出发,沿AC方向以 cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中,过点P作PQAB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM

17、,且PQM=90(点M,C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),PQM与ADC重叠部分的面积为y(cm2).(1)当点M落在AB上时,x= ;(2)当点M落在AD上时,x= ;(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 2228解析解析(1)4.(2分)(2).(4分)(3)当0 x4时,如图,设PM,PQ分别交AD于点E,F,则重叠部分为PEF.图由题意得AP=x.EF=PE=x.y=SPEF=PEEF=xx=x2.(6分)当4x时,如图,设PM,MQ分别交AD于点E,G,则重叠部分为四边形PEGQ.163212121216329图PQ=PC=8-x,PM=16-2x.M

18、E=PM-PE=16-3x.y=SPQM-SMEG=PQ2-ME2=(8-x)2-(16-3x)2=-x2+32x-64.(8分)当x8时,如图,则重叠部分为PQM.2212121222127216330图y=SPQM=PQ2=(8-x)2=x2-16x+64.综上所述,y=(10分)1212222221(04),27163264 4,231616648 .3xxxxxxxx31一、点动一、点动教师专用题组教师专用题组1.(2015山东聊城,25,12分)如图,在直角坐标系中,RtOAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同

19、时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动,当两个动点运动了x秒(0 x4)时,解答下列问题:(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);(2)设OMN的面积为S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?(3)在两个动点运动的过程中,是否存在某一时刻,使OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. 32解析解析(1)由题意知,ON=1.25x.在RtOAB中,由勾股定理,得OB=5.(1分)如图,作NPOA于点P,则NPAB.OPNOAB.(2分)=,即=,解得OP=x,PN=x.点N的坐标是.(3分)22OAAB2243PN

20、ABOPOAONOB3PN4OP1.255x343,4xx33(2)由题意知MA=x.在OMN中,OM=4-x,OM边上的高PN=x,S=OMPN=(4-x)x=-x2+x.S与x之间的函数表达式为S=-x2+x(0 x0).(1)求线段CD的长;(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1 2两部分?(3)伴随P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l,t为何值时,l经过点C?求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长. 36解析解析(1)作DEBC于点E.ADBC,A=90,四边形ABED为矩形,BE=AD=1厘米,DE=AB=3厘米,EC=BC-BE=4厘米.在RtDEC

21、中,DE2+EC2=DC2,DC=5厘米.(2分)(2)点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒,运动时间为t秒,BP=t厘米,PC=(5-t)厘米,CQ=2t厘米,QD=(5-2t)厘米,且0t2.5.作QHBC于点H,DEQH,DEC=QHC,223437又C=C,DECQHC,=,=,QH=t厘米.SPQC=PCQH=(5-t)t=平方厘米,S四边形ABCD=(AD+BC)AB=(1+5)3=9平方厘米.分两种情况讨论:当SPQC S四边形ABCD=1 3时,-t2+3t=9,t2-5t+5=0,解得t1=,t2=(舍).当SPQC S四边形ABCD=2 3时,DEQHDCQC3Q

22、H52t651212652335tt1212351355255238-t2+3t=9,t2-5t+10=0,0,方程无解.当t=时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1 2两部分.(6分)(3)如图.当PQ的垂直平分线l经过点C时,可知PC=QC,5-t=2t,3t=5,t=.当t=时,直线l经过点C.(8分)3523552535339如图.连接DP.当PQ的垂直平分线l经过点D时,可知DQ=DP.则在RtDEP中,DP2=DE2+EP2,DQ2=DE2+EP2,(5-2t)2=32+(t-1)2,t1=1,t2=5(舍),40BP=1厘米.当t=1时,直线l经过点D,此时点P与点E重合.(1

23、0分)如图.连接FQ,直线l是DPQ的对称轴.DEF DQF,DQF=90,EF=QF.设EF=x厘米,则QF=x厘米,FC=(4-x)厘米,在RtFQC中,FQ2+QC2=FC2,即x2+22=(4-x)2,x=,EF=厘米.在RtDEF中,DE2+EF2=DF2,32+=DF2,DF=厘米.32322323 5241在RtDEF中,EGDF,SDEF=DFEG=DEEF,EG=,EG=厘米,PQ=2EG=厘米.(12分)1212DE EFDF3 556 55评析评析 本题是四边形中的动点问题,考查勾股定理,三角形的相似,四边形与三角形的面积表示,线段的垂直平分线等知识,解题关键是用含t的代

24、数式表示线段长和面积,题目计算量较大,对学生的计算能力有较高要求.属难题.423.(2014福建福州,21,13分)如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且BOC=60,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.(1)当t=秒时,则OP= ,SABP= ;(2)当ABP是直角三角形时,求t的值;(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQBP,并使得QOP=B.求证:AQBP=3. 图1 图212备用图43解析解析(1)1;.(2)ABOC=60,A不可能为直角.当ABP=90时,BOC=60,OPB=30.OP=2OB,即2t=2.t

25、=1.当APB=90时,作PDAB,垂足为D,则ADP=PDB=90.OP=2t,OD=t,PD=t,AD=2+t,BD=1-t(BOP是锐角三角形).3 34344解法一:BP2=(1-t)2+3t2,AP2=(2+t)2+3t2.BP2+AP2=AB2,(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,即4t2+t-2=0.解得t1=,t2=(舍去).解法二:APD+BPD=90,B+BPD=90,APD=B.又ADP=PDB=90,APDPBD,=,PD2=ADBD.1338 1338 ADPDPDBD45于是(t)2=(2+t)(1-t),即4t2+t-2=0.解得t1=,t2=(舍去)

26、.综上,当ABP是直角三角形时,t=1或.(3)AP=AB,APB=B.31338 1338 1338 作OEAP,交BP于点E,OEB=APB=B.AQBP,QAB+B=180.又3+OEB=180,3=QAB.又AOC=2+B=1+QOP,B=QOP,461=2.QAOOEP.=,即AQEP=EOAO.OEAP,OBEABP.=.OE=AP=1,BP=EP.AQBP=AQEP=AOOE=21=3.AQEOAOEPOEAPBEBPBOBA13133232323247二、线动二、线动(2017四川绵阳,25,14分)如图,已知ABC中,C=90,点M从点C出发沿CB方向以1 cm/s的速度匀速

27、运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持NMC=45.再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将MNF关于直线NF对称后得到ENF.已知AC=8 cm,BC=4 cm,设点M运动时间为t(s),ENF与ANF重叠部分的面积为y(cm2).(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;(3)当y取最大值时,求sinNEF的值. 48解析解析(1)能.(1分)如图,过F作FDBC于点D,四边形MNEF为正方形时,易知MN=MF,FMD=NMC=45,因

28、为CNM和FDM都是等腰直角三角形,所以CM=MD=DF=t cm,所以BD=(4-2t) cm,易证FDBACB,所以=,(2分)即=,解得t=.(4分)(2)如图,当点E恰好落在AB上时,连接ME,记EM与NF交于点O,FDACBDBC8t424t8549由已知得,EO=OM=CM=t cm,所以EM=2OM=2t cm,易证EMBACB,所以=,即=,解得t=2.(5分)当0t2时,易证ANFACB,所以=,即=,解得NF=cm,(6分)EMACBMBC28t44tNFBCANAC4NF88t42t50此时y=NFNC=t=-t2+2t;(7分)当2t4时,如图,设NE与AB交于点K,过

29、K作KLNF于点L,连接EM,交直线NF于点H,易证KLFANF,所以=,因为NF=cm,且易知KL=NL,所以=,解得NL=cm,即KL=cm,(9分)121242t14LFNFKLAN42t4242tNLt8NLt833t833t51此时y=NFKL=(8-t)2=t2-t+.综上所述,y=(10分)(3)由(2)知,当t=2时,y取得最大值,此时,点E恰好落在AB上,(11分)则有NM=t=2 cm,NE=NM=2 cm.过N作NGAB,垂足为G,如图,121242t833t112112431632212 (02),41416(24).1233tttttt 222AC=8 cm,BC=4

30、 cm,C=90,AB=4 cm.易知ANGABC,=,即=,NG= cm,(12分)sinNEF=.(14分)22845NGBCANAB4NG64 56 55NGNE3 101052三、图形动三、图形动1.(2018吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,ADB=30.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB-BC运动,在AB上的速度是2 cm/s,在BC上的速度是2 cm/s;点Q在BD上以2 cm/s的速度向终点D运动.过点P作PNAD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作 PQMN.设运动时间为x(s), PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(c

31、m2).(1)当PQAB时,x= ;(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1 3两部分时,直接写出x的值. 备用图353解析解析(1).(2分)(2)当0 x时,如图,过点Q作QHAB于H.由题意得QH=x,AP=2x.y=S PQMN=APQH=2xx=2x2.(4分)y=2x2.当x1时,如图,过点Q作QHAB于H.设QM与AD交于点G.y=S梯形PQGA=(QG+AP)QH=(2-x+2x)x=x2+x.(6分)y=x2+x.当1x2时,如图,过点Q作QHAB于H.y=S梯形PQGN=(QG+PN)GN=(2-x+2)x-2(x-1)23

32、233333231212332332312123354=x2-3x+4.y=x2-3x+4.(8分)(3)或.(如图,如图)(10分)32333233254755提示:由题意知BC=AD=ABtan 60=2,当E点在BC上时,=BE=BC=,如图,作EFCD交BD于点F,设BD与AE的交点为O,3ABEABCDSS矩形12AB BEAB BC13 11412356则BF=BD=2,由FEOBAO可得BO=BF=,而AP=BQ=2x,由PQOA可得=x=.同理,当E点在DC上时,=DE=AB=1,设AE、BD交点为O,由DEOBAO可得BO=BD=,又AP=BQ=2x,且PQOA所以=x=.评

33、分说明:1.第(2)题,写自变量取值范围用“”或“”均不扣分;122343BQBOBPAB243x222x25ADEABCDSS矩形12AD DEAB BC13 114122383BQBOBPAB283x222x472.第(2)题,结果正确,不画图或画图错误均不扣分.572.(2017吉林,25,10分)如图,在RtABC中,ACB=90,A=45,AB=4 cm.点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQAB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与ABC重叠部分图形的面积是y(cm2),点P的运动时间为x(s).(1)

34、当点Q在边AC上时,正方形DEFQ的边长为 cm(用含x的代数式表示);(2)当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值;(3)当0 x2时,求y关于x的函数解析式;(4)直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围. 58解析解析(1)x.(2分)(2)如图,延长FE交AB于点G.图由题意,得AP=QP=2x cm.D为PQ中点,DQ=x cm.GP=x cm,BG=2x cm.2x+x+2x=4.x=.(4分)(3)如图,当0 x时,y=S正方形DEFQ=DQ2=x2 cm2.y=x2.454559图如图,当x1时,过点C作CHAB于点H,交FQ于点K,则CH=2 cm.图PQ=AP=2x cm,CK=(2-2x)cm.MQ=2CK=(4-4x)cm.4560FM=x-(4-4x)=(5x-4)cm.重叠部分图形的面积=S正方形DEFQ-SMNF=cm2.y=-x2+20 x-8.如图,当1x2时,PQ=BP=(4-2x)cm.DQ=(2-x)cm.图重叠部分图