数列通项公式求法(3)

1、n观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系n例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：1.观察法观察法101nna （3）.541,431,321,21111nnanndmnadnaamn)() 1(1 mnmnnqaqaa 11)0( qn当已知数列为等差或等比数列时，可直当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。需求得首项及公差公比。11(1)(2)nnnsnassn 主主要要是是公公式式的的运运用用3

2、.S 3.S n n法法（1 1）若）若f(n)f(n)为常数为常数, ,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为等此时数列为等差数列，则差数列，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数时，用累加法的函数时，用累加法. .方法如下：方法如下： 由由 a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)得：当得：当n1n1时，有时，有 a an n=a=an-1n-1+ f(n-1)+ f(n-1) a an-1 n-1 =a=an-2n-2+ f(n-2) + f(n-2) a a3 3= a= a2 2 +

3、 f(2) + f(2) a a2 2 = a= a1 1 + f (1)+ f (1)所以各式相加得所以各式相加得a an n-a-a1 1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1) =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1). 一般地，对于型如一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，的通项公式，只要只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。能进行求和，则宜采用此方法求解。4. 4. 叠加法叠加法( (也称累加法）也称累加法） 例 已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (

4、n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1已知已知, ,a a1 1=a=a， an+1=an+f(n),其中其中f(n)f(n)可以是关于可以是关于n n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项求通项. .

5、若若f(n)f(n)是关于是关于n n的一次函数，累加后可转化为等的一次函数，累加后可转化为等差数列求和差数列求和; ;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的二次函数，累加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和; ;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的指数函数，累加后可转化为等的指数函数，累加后可转化为等比数列求和比数列求和; ;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的分式函数，累加后可裂项求的分式函数，累加后可裂项求和。和。备 注：11 ,1,1.nnnnanaaana 例例 已已知知数数列列中中求求数数列列的的通通项项公公式式（1 1）当）当f(n)f(n)为常数为常数, ,即：即

6、： （其中（其中q q是不为是不为0 0的数）的数）, ,此时此时, ,数列为等比数列，数列为等比数列，a an n=a=a1 1qqn-1n-1. .（2 2）当）当f(n)f(n)为为n n的函数时的函数时, ,用累乘法用累乘法. . 由由 得得n1 n1 时，时， ，5.5.叠乘法叠乘法对于型如：对于型如：a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n 类的通项公式，当类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方的值可以求得时，宜采用此方法。法。1nnaqa ( (也称累乘法、累积法）也称累乘法、累积法） 1( )nnaf na 1(1)n

7、naf na 121121nnnnnaaaaaaaa 1( )(1)(1)f n f nfa （1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若c1c1且且d0d0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求. .方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c( a+m=c( an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m, +(c-1)m, 与题

8、设与题设a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，6.6.辅助数列法辅助数列法这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法, , 用于形如用于形如a an+1n+1=ca=can n+d+d(c (c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11(

9、)11nnddaaccc 即即：（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）例已知数列例已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数求数列的通项公式列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法

10、2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-

11、a-an-2n-2)+ +(a)+ +(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)构造法构造法辅助数列法辅助数列法待定系数法）待定系数法）)1, 0,(1 qqdqdqaann为常数),1(11 qdaqqdann),(1为非零常数dcdacaannn cacdann1111 构造法构造法)1, 1,(1 dqdqdqaannn且为非零常数ddadqdannnn111 nnndab 令令构造法构造法类型类型7 其它类型其它类型求法：按题中指明方向求解求法：按题中指明方向求解.1111(1)=121(*)

12、1222(1)(*)1212.1nnnnnnnnaaanNaaanNaaa 证证：，是是公公比比为为 的的等等比比数数列列111(2)1(1) 222221(*)nnnnnnaaanN 解解： 由由( (1 1) )知知 11 13=121(*)+1nnnnaaanNaa 例例 （中中）已已知知数数列列满满足足，( (1 1) )求求证证：数数列列是是等等比比数数列列; ;( (2 2) )求求的的通通项项公公式式. .),(1为非零常数dcdacaannn cacdann1111 1, 0, 0, 01 ppcacaanpnncapannlglglg1 构造法构造法)1, 1,(1 dqdq

13、dqaannn且为非零常数ddadqdannnn111 nnndab 令令构造法构造法 22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana 例例设设是是首首项项为为 的的正正数数项项数数列列 且且求求的的通通项项公公式式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan 由由本题是关于本题是关于a an n和和a an+1n+1的二次齐次式，可以通过的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到因式分解（一般情况时用求根公式）得到a an n与与a an+1n+1的更为明显的关系式，从而求出的更为明显的关系式，从而求出. .)2(:)1(), 4 , 3)(2(

14、31, 2, 112121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通项公式的通项公式求数列求数列是等比数列；是等比数列；数列数列求证求证满足满足设数列设数列 例例8类型类型7 其它类型其它类型求法：按题中指明方向求解求法：按题中指明方向求解.类型六：等定系数法求递推数列的通项：类型六：等定系数法求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)(),(为常数dq则可考虑待定系数法设则可考虑待定系数法设 xaqxann1为待定系数，其中x ()dqxx满足构造新的辅助数列构造新的辅助数列 xan是首项为是首项为 xa 1公比为公比为q的等比数列，求出的等比数列，求出 xan ,再进一步求通项再

15、进一步求通项 na 的通项公式求数列，满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna )( 121211nnaa两式相减整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故dqaann1)2(2121nnaadqxx 归纳提高：满足这样的归纳提高：满足这样的推递关系的推递关系的数列数列的通项求解问题（的通项求解问题（陌生的，难陌生的，难的，不会的的，不会的），可用），可用待定系数法待定系数法转转化为化为特殊数列特殊数列（等差数列或等比数（等差数列或等比数列）的通项问题（列）的通项问题（熟悉的，易，我

16、熟悉的，易，我们会的们会的） ,借助等差（比）数列的借助等差（比）数列的通项公式求辅助数列的通项，从而通项公式求辅助数列的通项，从而解决问题。解决问题。数学思想：转化、化归思想。数学思想：转化、化归思想。方方法法2 2： 1,nnacad 当当2 2时时1,nnnacad 两两式式相相减减，得得：11()nnnnaac aa 11nnnnaacaa 2 2数数列列是是以以为为首首项项，以以 为为公公比比的的等等比比数数列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a

17、a = =（1211)1nca ac )1, 0,(1 qqdqdqaann为常数),1(11 qdaqqdann),(1为非零常数dcdacaannn cacdann1111 1, 0, 0, 01 ppcacaanpnncapannlglglg1 )1, 1,(1 dqdqdqaannn且为非零常数ddadqdannnn111 nnndab 令令类型类型7其它类型其它类型求法：按题中指明方向求解求法：按题中指明方向求解.方法四：归纳、猜想、证明方法四：归纳、猜想、证明. . 先计算出先计算出a a1 1,a ,a2 2,a ,a3 3; ; 再猜想出通项再猜想出通项an;an;1. 1.

18、最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacad c cadd c ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 递推式递推式直接迭代得直接迭代得例已知数列例已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数求数列的通项公式列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+

19、3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等

20、比数列为公比的等比数列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-a-an-2n-2)+ +(a)+ +(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)2*1 1210(),6263.23nnna xaxnNa 例 （中）设二次方程例 （中）设二次方程有两根满足有两根满足求证：是等比数列。求证：是等比数列。n+1+ =1nnaaa 证证：依依题题

21、意意，由由韦韦达达定定理理可可知知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa 又又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa 是是以以 为为公公比比的的等等比比数数列列1111(1)=121(*)1222(1)(*)1212.1nnnnnnnnaaanNaaanNaaa 证证：，是是公公比比为为 的的等等比比数数列列111(2)1(1) 222221(*)nnnnnnaaanN 解解： 由由( (1 1) )知知 11 13=121(*)+1nnnnaaanNaa 例例 （中中）已已知知数数列列满满足足，( (1 1) )求求证证：数数列列是是等等

22、比比数数列列; ;( (2 2) )求求的的通通项项公公式式. .例例. .已知已知，111,1nnanana 求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式. .解解：11,nnanan 11,nnanan （1 1）11(1),nnan a 又又11a 即即110a 10na 由由得得：，11(1)1nnana 故由累乘法，得：故由累乘法，得：1321122111111(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa 1(1)! (1)nana1(1) (2) (3)2 1 (1)nnna 例例. . 已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1, a an+1n+1+3a+3

23、an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：111-3naa 是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1) ( 3)1(1) ( 3)43nnaann 143nan 7.7.逐差法逐差法 形如形如a an+1n+1+a+an n=f(n)=f(n)的数列的数列. .（1 1）若）若a an+1n+1+a+an n=d =d （d d为常数），则数列为常数），则数列 a an n 为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列

24、，周期为2 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论其通项分奇数项和偶数项来讨论; ;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）时，可通过构的函数（非常数）时，可通过构造转化为造转化为a an+1n+1-a-an n=f(n) =f(n) 型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项; ;或用逐差法或用逐差法( (两式相减两式相减) )转化为转化为a an+1n+1-a-an-1n-1=f(n)-f(n-1),=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项分奇偶项来分求通项. .n例例. . 数列数列aan n 满足满足a1=0, aa1=0, an+1n+1+a+an n=2n, =2

25、n, 求求数列数列aan n 的通项公式的通项公式.分分析析1 1. .构构造造转转化化为为型型1( )nnaaf n 解解法法1 1：令令( 1)nnnba 则则111111( 1)( 1)( 1)() ( 1)2nnnnnnnnnnbbaaaan 时时111222111( 1) 2(1)( 1)2(2)2 ,( 1) 2 10nnnnnnbbnbbnnbbba 1322 ( 1) (1) ( 1) (2)( 1) 2 ( 1) 1nnnbnn 各式相加得：各式相加得：当当 为为偶偶数数时时，22 (1)( 1)2nnnbnn 此此时时，nnabn 当当 为为奇奇数数时时，12()12nnnbn 此此时时，nnba 1nan 为为奇奇数数故故为为偶偶数