2006年高考第一轮复习数学131导数的概念与运算

1、第十三章导数网络体系总览考点目标定位1理解导数的定义,求函数的最大(小)值 会求多项式函数的导数2理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬 时速度3会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间4理解函数极大(小)值的概念，会用导数求多项式、 函数的极值及在闭区间上的最值， 会求一些简单的实际问题的最大(小)值 复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可

2、从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必 考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度， 注意与函数、数列、不等式相结合的问题13.1导数的概念与运算知识梳理1用定义求函数的导数的步骤(1) 求函数的改变量 y;(2) 求平均变化率过.Ax(3) 取极限，得导数f (xo) = lim2导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线斜率物理意义：若物体运动方程是s=s (t),在点P (i

3、o, s (to)处导数的意义是t=to处的瞬时速度.3. 求导公式(c) =0 , (xn)丄n xn 1 ( n N* ).4. 运算法则如果 f(x)、g (x)有导数，那么f(x) g(x)r =(x) g(x),c f(x)=c f (x).点击双基1.若函数f ( x) =2x2- 1的图象上一点(1, 1)及邻近一点(1+ x, 1+ y),贝 U等于A.4解析： y=2 (1 +A x)C.4+2 A x2 1 1=2 A x2+4 A x y =4+2 A x.xB.4x2D.4+2 A x答案：C2. 对任意x,有f ( x)A. f (x) =x4 23C.f (x) =

4、x解析：筛选法.答案：A3. 如果质点A按规律s=2t3运动，则在A.6B.18解析：T s =6t2,. s |t=3=54. 答案：C4. 若抛物线y=x2 x+c上一点P的横坐标是2,贝U c的值为.解析:T y =2x 1,二 y |x=-2= 5.=4x3, f (1) = 1，则此函数为B.f (x)D.f (x)4=x4+24 =xt=3 s时的瞬时速度为C.54D.81抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,6 +c又 P ( 2, 6+c), 口 = 5.-2 c=4.答案：45. 设函数 f ( x) = ( x a) (x b) (x c) ( a、b、c是两两不等的常数)，则

5、a b c+ =f (a) f (b) f (c)解析： f (x) =x ( a+b+c) x + (ab+bc+ca) x abc, f (x) =3x2 2 (a+b+c) x+ab+bc+ ca.又 f (a) = (a b) (a c),同理 f (b) = (b a) (b c),f (c) = (c a) (c b).代入原式中得值为 0.答案：0典例剖析【例 1 】(1)设 a0, f (x) =ax2+bx+c,曲线 y=f (x)在点 P (x0, f (x。)处切线的倾斜角的取值范围为0, n,贝U P到曲线y=f (x)对称轴距离的取值范围为41A. :0,a(2) (

6、2004年全国,A. y=3x 4b _1D. 0，F(3) (2004年重庆,B. 0,丄C. 0, | |2a2a3)曲线y=x3 3x2+i在点(1, 1)处的切线方程为B.y= 3x+2C.y= 4x+3D.y=4x 515)已知曲线y=lx3+4，则过点P (2, 4)的切线方程是 3313)过点P ( 1, 2)且与曲线y=3x2 4x+2在点M (1, 1)处的(4) (2004年湖南，切线平行的直线方程是_剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率解析：(1)，过P (Xq, f (x0)的切线的倾斜角的取值范围是0,上,4P 到曲线

7、y=f (x)对称轴 x= b 的距离 d=xo( ) =xgb .2a2a2a又 f ( Xo)=2ax+ b 0, 1, Xo* ,2a1 比:.2ab1-d=Xo+ b 0,1:.2a2a(2) ，点(1, 1)在曲线上，y =3x 6x,切线斜率为 3X 12 6X 1= 3.所求切线方程为 y+1= 3 (x 1).(3) ，P (2, 4)在 y=x3+4 上,33又 y =x2,.斜率 k=22=4.所求直线方程为 y 4=4 ( x 2), 4x y 4=0.(4) y =6x 4,.切线斜率为 6X 1 4=2.所求直线方程为 y 2=2 ( x+1 ),即2x y+4=0.

8、答案：(1) B (2) B (3) 4x y 4=0(4) 2x y+4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用？答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等【例2】 曲线y=x3在点(3, 27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点解：曲线在点(3, 27)处切线的方程为y=27x 54，此直线与 x轴、y轴交点分别为(2, 0)和(0, 54),切线与坐标轴围成的三角形面积是S=- X 2X 54=54.2评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用【例

9、3】 已知曲线C: y=x3 3x2+2x,直线I : y=kx，且直线I与曲线C相切于点(xo, y0) (x0M 0),求直线I的方程及切点坐标.剖析：切点(xo, y。)既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：直线过原点，则 k=K (x0m 1).Xo32由点(Xo, yo)在曲线 C 上，贝y yo=xo 3xo +2xo,二也=xo2 3xo+2.Xo又 y =3x2 6x+2,在(Xo, yo)处曲线C的切线斜率应为 k= f (Xo) =3xo2 6x0+2.22- xo 3xo+2=3xo 6xo+2.整理得 2xo2 3xo=0.解得 xo=

10、3 (TO).2这时，yo= 一 , k= 1.84因此，直线I的方程为y=丄x,切点坐标是(3 ,-).428评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识【例4】 证明：过抛物线 y=a (x xj (x x2) (O, x1 B ,贝U tan=|kA|=|a (xi X2) | ,tanB =|kB|=|a (X2 Xi) |,故 tan: =tan 3 .又爲、3是锐角，贝U鳥=3 .评述：由tan工=tan 3不能直接得二=3 ,还必须有二、3为锐角时(或在同一单调区间 上时)才能得:-=3 .闯关训练夯实基础2i 函数 f ( X) = ( X+i ) (X X+

11、i )的导数是A.x2 x+iB. (x+i) (2x i)2 2C.3xD.3x +i解析： f (x) =X3+i , f (x) =3x2.答案：C2曲线y=f (x)在点(xo , f (xo)处的切线方程为 3x+y+3=O ,则A.f(xo)oB.f(Xo)oC.f (xo)=oD.f(Xo)不存在解析：由题知f (Xo) = 3.答案：B3. 函数 f (x) =ax3+3x2+2 ,若 f ( 1) =4 ,则 a 的值等于 解析： (x) =3ax2+6x ,从而使 3a 6=4 , a=一.3答案：-324. 曲线y=2x +1在P ( 1, 3)处的切线方程是 解析：点

12、P (- 1, 3)在曲线上，k= f * (- 1) = 4, y 3= 4 (x+1), 4x+y+ 仁0. 答案：4x+y+仁05. 已知曲线y=x2 1与y=3 x3在x=xo处的切线互相垂直，求x.解：在x=xo处曲线y=x2 1的切线斜率为2xo,曲线y=3 x3的切线斜率为3x。2.2 12xo (一 3xo ) = 1， xo= 3.6答案：316. 点P在曲线y=x3 x+ 2上移动，设点P处切线的倾斜角为：，求的范围.3解：T tan ： =3x2 1, tan用 1, +8).当 tan o, +8)时，:.： o,上)；2当 tan 1 , o)时，:-： 3n , n

13、 ).4： o, n)U 3n , n).24培养能力7. 曲线 y= x +4x 上有两点 A (4, o)、B (2, 4).求：(1) 割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；(2) 在曲线AB上是否存在点 C,使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出 C点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) kAB= -0 = 2,24 y= 2 (x 4).所求割线AB所在直线方程为2x+y 8=0.(2) y = 2x+4, 2x+4= 2，得 x=3, y= 3 +3 X 4=3. C点坐标为(3, 3),所求切线方程为 2x+y 9=0.8. 有点难度哟！若直线y=3x+1是曲线y=

14、x3 a的一条切线，求实数 a的值.解：设切点为P (x0, y0),对y=x3 a求导数是y =3x2，二 3xo2=3. xo= 1.(1) 当 x=1 时，t P (xo, yo)在 y=3x+1 上，y=3 x 1+1=4，即 P (1, 4).又 P (1, 4)也在 y=x3 a 上， 4=1 a. a= 3.(2) 当 x= 1 时， P (xo, yo)在 y=3x+1 上， y=3X( 1) +仁一2,即卩 P ( 1, 2).又 P ( 1, 2)也在 y=x3 a 上，- 2= ( 1) 3 a. a=1.综上可知，实数a的值为3或1.29确定抛物线方程 y=x +bx+

15、c中的常数b和c,使得抛物线与直线 y=2x在x=2处相切. 解：y =2x+b, k=y X=2=4+b=2,b= 2.又当 x=2 时，y=22 + (- 2)x 2+c=c,代入y=2x,得c=4.探究创新10有点难度哟！曲线y=x3+3x2+6x 10的切线中，求斜率最小的切线方程解：y =3x2+6x+6=3 (x+1) 2+3,x= 1 时，切线最小斜率为 3,此时，y= ( 1) 3+3X( 1) 2+6 ( 1) 10= 14.切线方程为 y+14=3 (x+1)，即 3x y 11=0.思悟小结1. 理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键2. 非多项式函数要化成多项

16、式函数求导.3. 要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法 教师下载中心教学点睛(x0X) f(x0)的几种等价形式:xf (X0) = limf(x) - f (x0)X flim f(x0 +h) f(X0) 冯 h=lim0f (x0)- f (x0 - h)h2. 曲线C: y=f ( x)在其上一点P (x0, f ( x0)处的切线方程为 y f (X0)= f (x0)( x X。).3. 若质点的运动规律为s=s (t)，则质点在t=t0时的瞬时速度为 v=s (t).这就是导数 的物理意义.4. 直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由