全国版2017版高考数学一轮复习几何证明选讲1相似三角形的判定及有关性质课件理选修4_1

1、选修4-1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质 【知识梳理【知识梳理】1.1.平行线等分线段定理及其推论平行线等分线段定理及其推论名称名称条件条件结论结论定理定理一组平行线在一条直线上一组平行线在一条直线上截得的线段相等截得的线段相等在其他直线上截得在其他直线上截得的线段也的线段也_推论推论1 1经过三角形一边的中点与经过三角形一边的中点与另一边平行的直线另一边平行的直线_推论推论2 2经过梯形一腰的中点且与经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线底边平行的直线_相等相等平分第三边平分第三边平分另一腰平分另一腰2.2.平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理及其推论名称名称条件

2、条件结论结论定理定理三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线_推论推论平行于三角形一边的直线截平行于三角形一边的直线截其他两边其他两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )_所得的对应线所得的对应线段成比例段成比例所得的对应线所得的对应线段成比例段成比例3.3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质(1)(1)相似三角形的定义相似三角形的定义: :对应角对应角_,_,对应边对应边_的的两个三角形叫做相似三角形两个三角形叫做相似三角形. .相似三角形相似三角形_的比的比值叫做相似比值叫做相似比( (或相似系数或相似系数).).(2)(2)预备定理预备定理: :平行于三角形一边的直线和其他

3、两边平行于三角形一边的直线和其他两边( (或或两边的延长线两边的延长线)_,)_,所构成的三角形与原三角形所构成的三角形与原三角形_._.相等相等成比例成比例对应边对应边相交相交相似相似(3)(3)判定及性质判定及性质判判定定条件条件结论结论任意任意三角三角形形两角对应两角对应_两三角两三角形相似形相似两边对应两边对应_且夹角且夹角_三边对应三边对应_直角直角三角三角形形有一个锐角对应有一个锐角对应_两条直角边对应两条直角边对应_斜边和一条直角边对应斜边和一条直角边对应_相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例成比例成比例性质性质相似三角形对应高、对应中线、对应角相似三角形

4、对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆的直径、周长的比等于平分线、外接圆的直径、周长的比等于_相似三角形面积、外接圆的面积比等于相似三角形面积、外接圆的面积比等于_相似比相似比相似比的平方相似比的平方4.4.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理定理定理: :直角三角形斜边上的高是直角三角形斜边上的高是_的比例中项的比例中项; ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的的_._.两直角边在斜边上射影两直角边在斜边上射影比例中项比例中项【特别提醒【特别提醒】1.1.把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论交换之后

5、交换之后, ,命题仍然成立命题仍然成立. .2.2.应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误, ,可以根据相等的角去找可以根据相等的角去找. .考向一考向一平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理【典例【典例1 1】(2016(2016太原模拟太原模拟) )如图如图, ,在梯在梯形形ABCDABCD中中, ABCD,AB=4,CD=2., ABCD,AB=4,CD=2.点点E,FE,F分分别为别为AD,BCAD,BC上的点上的点, ,且且EF=3, EFAB,EF=3, EFAB,求求梯形梯形ABFEABFE与梯形与梯形EFCDEFCD的面积

6、比的面积比. .【解题导引【解题导引】利用平行线分线段成比例定理确定两个利用平行线分线段成比例定理确定两个梯形的高之间的关系梯形的高之间的关系, ,再确定两梯形的面积比再确定两梯形的面积比. .【规范解答【规范解答】如图，延长如图，延长ADAD，BCBC交于一点交于一点O O，作作OHABOHAB于点于点H.H.所以所以 ，得，得x=2hx=2h1 1， ，得，得h h1 1=h=h2 2. .所以所以S S梯形梯形ABFEABFE= = (3+4)(3+4)h h2 2= h= h2 2，S S梯形梯形EFCDEFCD= = (2+3)(2+3)h h1 1= h= h1 1，所以所以S S

7、梯形梯形ABFEABFESS梯形梯形EFCDEFCD=75.=75.1x2x h3112x h3x hh412721252【规律方法【规律方法】平行线分线段成比例定理的作用及应用平行线分线段成比例定理的作用及应用技巧技巧(1)(1)作用作用: :可以判定线段成比例可以判定线段成比例; ;当不能直接证明要证的比例成立时当不能直接证明要证的比例成立时, ,常用这个定理将常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比两条线段的比转化为另外两条线段的比. .(2)(2)应用技巧应用技巧: :利用定理来计算或证明时利用定理来计算或证明时, ,首先要观察首先要观察平行线组平行线组, ,再确定所截直线再确

8、定所截直线, ,进而确定比例线段及比例进而确定比例线段及比例式式, ,同时注意合比性质、等比性质的运用同时注意合比性质、等比性质的运用. .在应用推论时在应用推论时, ,一定要明确哪一条线段平行于三角形一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边的一边, ,是否过一边的中点是否过一边的中点. .【变式训练【变式训练】如图如图, ,在在ABCABC中中,DEBC,DFAC,DEBC,DFAC,AEAC=35,DE=6,AEAC=35,DE=6,求求BFBF的长的长. .【解析【解析】由由DEDEBC,BC,得得因为因为DE=6,DE=6,所以所以BC=10,BC=10,又又DFAC,DFAC,所以所以

9、 , ,所以所以BF=4.BF=4.DEAE3BCAC5 ，BFBDCE2BCABAC5【加固训练【加固训练】1.1.如图如图, ,点点E E是平行四边形是平行四边形ABCDABCD的边的边ABAB延长线上一点延长线上一点, ,且且DCBE=32,DCBE=32,求求ADBFADBF的值的值. .【解析【解析】因为点因为点E E是平行四边形是平行四边形ABCDABCD的边的边ABAB延长线上一延长线上一点点, ,且且DCBE=32,DCBE=32,则利用相似比得到则利用相似比得到ADBF=52.ADBF=52.2.2.如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中,AEEB=13,BDDC=21,

10、AEEB=13,BDDC=21,ADAD与与CECE相交于点相交于点F,F,求求 的值的值. .EFAFFC FD【解析【解析】过点过点D D作作DGABDGAB交交ECEC于点于点G G，则则 ，而，而即即 ，所以，所以AE=DGAE=DG，从而有从而有AF=DFAF=DF，EF=FG=CGEF=FG=CG，故故DGCDCG1BEBCEC3AE1BE3 ，AEDGBEBEEFAFEFAF131.FC FD2EF AF22 考向二考向二相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质【典例【典例2 2】(2016(2016信阳模拟信阳模拟) )如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D D是是

11、BCBC边上的中点边上的中点, ,且且AD=AC,DEBC,DEAD=AC,DEBC,DE与与ABAB相交于点相交于点E,ECE,EC与与ADAD相交于点相交于点F.F.(1)(1)求证求证: :ABCABCFCD.FCD.(2)(2)若若S SFCDFCD=5,BC=10,=5,BC=10,求求DEDE的长的长. .【解题导引【解题导引】(1)(1)利用利用BECBEC和和ADCADC都是等腰三角形都是等腰三角形, ,从而底角分别相等证明从而底角分别相等证明. .(2)(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出ABCABC的面积的面积, ,再通

12、过过点再通过过点A A作作BCBC的垂线利用平行线分线的垂线利用平行线分线段成比例求解段成比例求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为DEBC,DEBC,点点D D是是BCBC边上的中点边上的中点, ,所以所以EB=EC,EB=EC,所以所以B=ECD.B=ECD.又又AD=AC,AD=AC,所以所以ADC=ACD,ADC=ACD,所以所以ABCABCFCD.FCD.(2)(2)过点过点A A作作AMBC,AMBC,垂足为点垂足为点M,M,因为因为ABCABCFCD,BC=2CD,FCD,BC=2CD,所以所以又因为又因为S SFCDFCD=5,=5,所以所以S SABCABC=2

13、0.=20.又又S SABCABC= = BCBCAM= AM= 1010AM=20,AM=20,解得解得AM=4.AM=4.2ABCFCDSBC()4.SCD1212又又DEAM,DEAM,所以所以因为因为DM= DC= ,DM= DC= ,BM=BD+DM=5+ BM=BD+DM=5+ 所以所以 , ,解得解得DE= .DE= .DEBD.AMBM125251522，DE5154283【规律方法【规律方法】1.1.证明相似三角形的一般思路证明相似三角形的一般思路(1)(1)先找两对内角对应相等先找两对内角对应相等. .(2)(2)若只有一个角对应相等若只有一个角对应相等, ,再判定这个角的

14、两邻边是再判定这个角的两邻边是否对应成比例否对应成比例. .(3)(3)若无角对应相等若无角对应相等, ,就要证明三边对应成比例就要证明三边对应成比例. .2.2.相似三角形的性质的应用相似三角形的性质的应用(1)(1)可用来证明线段成比例、角相等可用来证明线段成比例、角相等; ;可间接证明线段可间接证明线段相等相等. .由相似三角形构造成比例线段时由相似三角形构造成比例线段时, ,可以利用等角所对的可以利用等角所对的边对应成比例构造等式边对应成比例构造等式, ,避免边与边的对应出错避免边与边的对应出错. .(2)(2)求解线段长度问题求解线段长度问题: :充分利用所求线段与已知线段充分利用所

15、求线段与已知线段长度之间的关系长度之间的关系, ,化归到相应三角形中化归到相应三角形中, ,通过构造相似通过构造相似三角形求解三角形求解. .【变式训练【变式训练】(2016(2016商丘模拟商丘模拟) )如图如图, ,在在ABCABC中中, , BCAC,BCAC,点点D D在在BCBC上上, ,且且DC=AC,ACBDC=AC,ACB的平分线的平分线CFCF交交ADAD于于点点F,F,点点E E是是ABAB的中点的中点, ,连接连接EF.EF.(1)(1)求证求证:EFBC.:EFBC.(2)(2)若四边形若四边形BDFEBDFE的面积为的面积为6,6,求求ABDABD的面积的面积. .【

16、解析【解析】(1)(1)因为因为CFCF平分平分ACB,ACB,所以所以ACF=DCF.ACF=DCF.又因为又因为DC=AC,DC=AC,所以所以CFCF是是ACDACD的中线的中线, ,所以点所以点F F是是ADAD的中点的中点. .因为点因为点E E是是ABAB的中点的中点, ,所以所以EFBD,EFBD,即即EFBC.EFBC.(2)(2)由由(1)(1)知知,EFBD,EFBD,所以所以AEFAEFABD,ABD,所以所以 又因为又因为AE= AB,SAE= AB,SAEFAEF=S=SABDABD-S-S四边形四边形BDFEBDFE=S=SABDABD-6,-6,所以所以 , ,所

17、以所以S SABDABD=8,=8,所以所以ABDABD的面积为的面积为8.8.122AEFABDSAE() .SAB2ABDABDS61( )S2【加固训练【加固训练】1.1.如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D D为为BCBC边的中点边的中点, ,点点E E为为ADAD上的一点上的一点, ,延长延长BEBE交交ACAC于点于点F.F.若若 , ,求求 的值的值. .AE1AD4AFAC【解析【解析】如图如图, ,过点过点A A作作AGBC,AGBC,交交BFBF的延长线于点的延长线于点G.G.则则AGEAGEDBE,DBE,AGFAGFCBF,CBF,因为因为 , ,所以所以 所

18、以所以AE1AD4AE1.ED3AGAE1.BDED3因为点因为点D D为为BCBC的中点的中点, ,所以所以BC=2BD,BC=2BD,所以所以 所以所以 所以所以AG1.BC6AFAG1FCBC6 ，AF1.AC72.(20162.(2016郑州模拟郑州模拟) )如图如图, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,点点P P是是BCBC上上的点的点, ,且且BP=3PC,BP=3PC,点点Q Q是是CDCD的中点的中点, ,求证求证: :ADQADQQCP.QCP.【证明【证明】在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,因为因为Q Q是是CDCD的中点的中点, ,所以所以 =2.=2.

19、因为因为 =3,=3,所以所以 =4.=4.又因为又因为BC=2DQ,BC=2DQ,所以所以 =2.=2.ADQCBPPCBCPCDQPC在在ADQADQ和和QCPQCP中中, , , ,且且D=C=90D=C=90, ,所以所以ADQADQQCP.QCP.ADDQQCCP考向三考向三直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理【典例【典例3 3】如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,BAC=90,BAC=90,ADBC,ADBC于点于点D,DFACD,DFAC于点于点F,DEABF,DEAB于点于点E,E,求证求证: :(1)AB(1)ABAC=BCAC=BCAD.AD.(2)AD(2

20、)AD3 3=BC=BCCFCFBE.BE.【解题导引【解题导引】(1)(1)可以利用可以利用RtRtABCABC的面积的两种表示的面积的两种表示证明证明. .(2)(2)分别在分别在RtRtADB,RtADB,RtACDACD和和RtRtBACBAC中利用射影定理中利用射影定理后进行等量代换后进行等量代换. .【规范解答【规范解答】(1)(1)在在RtRtABCABC中中,ADBC,ADBC,所以所以S SABCABC= AB= ABAC= BCAC= BCAD.AD.所以所以ABABAC=BCAC=BCAD.AD.1212(2)(2)在在RtRtADBADB中中,DEAB,DEAB,由射影

21、定理可得由射影定理可得BDBD2 2=BE=BEAB,AB,同理同理CDCD2 2=CF=CFAC,AC,所以所以BDBD2 2CDCD2 2=BE=BEABABCFCFAC.AC.又在又在RtRtBACBAC中中,ADBC,ADBC,所以所以ADAD2 2=BD=BDDC,DC,所以所以ADAD4 4=BE=BEABABCFCFAC,AC,又又ABABAC=BCAC=BCAD.AD.即即ADAD3 3=BC=BCCFCFBE.BE.【母题变式【母题变式】1.1.本例中若本例中若AB=5,AD=4,AB=5,AD=4,求求ACAC的长的长. .【解析【解析】由由AB=5,AD=4,AB=5,A

22、D=4,得得BD=3,BD=3,又又ABAB2 2=BD=BDBC,BC,所以所以BC= BC= 所以所以AC=AC=25,32220BCAB.32.2.本例中若本例中若BDDC=12,BDDC=12,试判断试判断E,FE,F的位置的位置. .【解析【解析】显然显然RtRtABCABCRtRtDBADBARtRtDACDAC, ,根据相似三角形的性质根据相似三角形的性质,E,F,E,F也是也是BA,ACBA,AC的三等分点的三等分点, ,即即BEAF1.EAFC2【规律方法【规律方法】射影定理的应用技巧射影定理的应用技巧(1)(1)要注意将要注意将“等积式等积式”转化为相似三角形中的转化为相似

23、三角形中的“比例比例式式”或将或将“比例式比例式”转化为转化为“等积式等积式”. .(2)(2)证题时证题时, ,要注意作垂线构造直角三角形要注意作垂线构造直角三角形, ,确定直角边确定直角边与其射影与其射影, ,这是解直角三角形时常用的方法这是解直角三角形时常用的方法. .(3)(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用注意射影定理与勾股定理的结合应用. .易错提醒易错提醒: :对于直角三角形对于直角三角形, ,射影定理一定成立射影定理一定成立, ,但满足但满足该结论的三角形不一定是直角三角形该结论的三角形不一定是直角三角形. .【变式训练【变式训练】如图所示如图所示,AD,BE,AD,BE是是

24、ABCABC的两条高的两条高, , DFAB,DFAB,垂足为点垂足为点F,F,直线直线FDFD交交BEBE于点于点G,G,交交ACAC的延长线于的延长线于点点H,H,求证求证:DF:DF2 2=GF=GFHF.HF.【证明【证明】因为因为H+BAC=90H+BAC=90, ,GBF+BAC=90GBF+BAC=90, ,所以所以H=GBF.H=GBF.因为因为AFH=GFB=90AFH=GFB=90, ,所以所以AFHAFHGFB,GFB,所以所以HFAFBFGF，所以所以AFBF=GFHF.AFBF=GFHF.因为在因为在RtRtABDABD中中,FDAB,FDAB,所以所以DFDF2 2=AFBF,=AFBF,所以所以DFDF2 2=GFHF.=GFHF.【