第2课时平面与平面垂直课件2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章

空间向量与立体几何

2.4.2第2课时

平面与平面垂直平面与平面垂直的判定定理利用线面垂直证明面面垂直如果一个平面经过另一平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直线面垂直的判定定理

如何利用向量的知识判断平面的位置关系呢？思考：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？请用坐标表示出来.

位置关系向量表示图示向量运算坐标运算α1⊥α2n1⊥n2n1∙

n2=0a1a2＋b1b2＋c1c2

=0

n1

n2例1

如图，已知平面α，β，直线AB⊥平面α，且AB⊂平面β．求证：平面α⊥平面β．分析：只需证明平面α，β的法向量相互垂直．结论：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直.例2

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点.求证：平面BEF⊥平面

ABC.建立空间直角坐标系思路两个平面相互垂直两平面的法向量垂直推出两平面垂直法向量数量积等于0求出两平面的法向量垂直

求平面的法向量的具体步骤：建系→求方向向量→设法向量→列方程组→定值求解1.建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标2.求出平面内两条相交直线的方向向量坐标3.设平面法向量坐标4.利用向量数量积为0(垂直)列出两个方程5.给定平面法向量坐标其中的一个值,求另外两个值方法归纳1.

如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.证明：方法一如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，即n＝(0，1，－1).即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.(1)向量法：设n1，n2

分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔____________⇔

.(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.n1⊥n2n1·n2=0注意：利用法向量证明面面垂直时，往往结合几何图形去寻找特殊情况下的法向量，先建立坐标系、将法向量的坐标直接写出.若不便写出时，先设出坐标，根据垂直关系，数量积为0，列方程组求解.平面与平面垂直的判定方法1.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于（

）A.4 B.-4 C.5 D.-5解：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.D2.如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=2，AD=4，点F是PB中点，点E在边BC上移动．证明∶无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．证明：3.在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：设AB＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0).因为AS⊥平面ABCD，因为n1·n2＝0，所以平面B