浅析欧拉角及四元数

1、Machine Perception and Interaction Group (MPIGMPIG) 欧拉角和四元数郑雪鹤MPIG Seminar 0048Machine Perception and Interaction Group (MPIGMPIG) 郑雪鹤MPIG Seminar 0048Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角的基本概念欧拉角的基本概念1.描述定点定点转动刚体的位形需要三个独立坐标变量。2.描述定轴定轴转动刚体的位形只需要一个独立坐标变量，即转角。3.将定点转动的过程分解为三个相互独立的定轴转动，相应的三

2、个相互独立的转角，即欧拉角。Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角的基本概念欧拉角的基本概念(1) Roll 滚转角Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角的基本概念欧拉角的基本概念(2) Pitch 俯仰角Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角的基本概念欧拉角的基本概念(3) Yaw 偏航角 Machine Perception and Interaction Group (MPIG)三个欧拉角的独立性三个欧拉

3、角的独立性)(x)(y) ,(zzx yy )(z ) (xz x y ORollRoll PitchPitch Yaw YawMachine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角表示旋转矩阵欧拉角表示旋转矩阵绕Z轴旋转Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角表示旋转矩阵欧拉角表示旋转矩阵绕Y轴旋转Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角表示旋转矩阵欧拉角表示旋转矩阵绕X轴旋转Machine Perception and Int

4、eraction Group (MPIG)欧拉角表示旋转矩阵欧拉角表示旋转矩阵 旋转顺序下的旋转矩阵Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角表示旋转矩阵欧拉角表示旋转矩阵 旋转顺序下的旋转矩阵Machine Perception and Interaction Group (MPIG)总结总结确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形 , ,)(x)(y) ,(zzx yy )(z ) (xz x y OMachine Perception and Interaction Group (MPIG)总结总结确定欧拉角

5、在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形 , ,奇异点奇异点不唯一不唯一Machine Perception and Interaction Group (MPIG)总结总结确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形 , ,Machine Perception and Interaction Group (MPIG)总结总结确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时刻的位形 , ,奇异点奇异点万向万向节锁节锁不唯一不唯一Machine Perception and Interaction Group (MPIG)总结总结确定欧拉角 在任意时刻的大小，也就确定

6、了刚体在任意时刻的位形 , ,Machine Perception and Interaction Group (MPIG)总结总结 理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向 但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁 这时就会丢失一个方向上的旋转能力 也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果 除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴 由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值。Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数四元数四元数四元数qu

7、aternionMachine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数四元数其中i，j，k为四元数的三个虚部，这三个虚部满足关系式：Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数的四元数的基本性质基本性质1. 加法和减法2.乘法Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数的四元数的基本性质基本性质乘法Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数的四元数的基本性质基本性质乘法由于最后一项

8、外积的存在，该乘法通常是不可交换的，除非共线Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数的四元数的基本性质基本性质3. 共轭4. 模长5.两个四元数乘积的模即为模的乘积， 这保证单位四元数 相乘后仍是单位四元数。Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数的四元数的基本性质基本性质6. 逆（1） 四元数和自己的逆的乘积为实四元数1：（2） 单位四元数的逆等于共轭Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数表示旋转四元数表示旋转M

9、achine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数表示旋转四元数表示旋转假设某个旋转是绕单位向量：则描述该转动的四元数可以表示成:反之，我们亦可通过任意一个长度为1的四元数，计算对应旋转轴与夹角右手法则旋转Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数表示旋转四元数表示旋转用一个虚四元数来描述一个三维空间点：用另一个四元数表示旋转：XYZn np pp pMachine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角转四元数欧拉角转四元数设三次旋转对应的四元数分别为：则：绕x轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度绕z轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度绕y轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度Machine Perception and Interaction Group (MPIG)欧拉角转四元数欧拉角转四元数设三次旋转对应的四元数分别为：则：Machine Perception and Interaction Group (MPIG)四元数四元数转欧拉角转欧拉角旋转序为Z-Y-X时，旋转矩阵可以表示为:Machine Perception